4.2.1 等差数列的概念（第2课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.2.1《等差数列的概念》（第2课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：掌握等差数列的通项公式，理解等差数列的性质（如下标和性质），能运用等差数列模型解决实际问题，体会数学建模思想. 课标分析： 本节课是等差数列概念的深化应用，在第1课时学习了等差数列的定义和通项公式的基础上，进一步探究等差数列的性质及其实际应用.课标强调“掌握”和“理解”，教学中应从实际情境（设备折旧、钢管堆放等）出发，引导学生建立等差数列模型，并通过观察、类比发现等差数列的“下标和”性质.重点在于等差数列性质的应用（如 当 ），难点是灵活运用性质简化计算，以及在实际问题中正确建立数列模型.本节课对培养逻辑推理、数学运算和数学建模素养具有重要作用. 2、 教材分析 “等差数列的概念（第2课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第2.1节的后续内容.教材在第1课时介绍等差数列定义和通项公式的基础上，第2课时进一步探讨等差数列的性质及实际应用.教材通过求解设备折旧问题，帮助学生建立等差数列模型；通过探究等差数列中项与项的关系，归纳出重要性质：若 ，则 .同时，教材还介绍了在等差数列中灵活设元（如设 等）的技巧.本节内容是等差数列知识的综合升华，也是后续学习等差数列前 项和、等比数列的基础. 3、 学情分析 学生已经掌握了等差数列的定义、通项公式及基本量计算，能够由 和 求任意项.但是，对于等差数列中的“下标和”性质（每一项可以看作自变量 的一次函数），学生还需要从函数的角度加深理解.在实际问题中，如何识别等差的规律并建立合理的数列模型，对学生来说有一定难度.灵活设元（如三个数成等差数列设为 ，四个数设为 等）也需要通过练习巩固.教师应通过典型例题、变式训练和实际情境，帮助学生掌握等差数列的性质和应用. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从具体数列实例中抽象出等差数列的性质（下标和性质），理解其代数本质. 1. 逻辑推理素养：能利用通项公式推导等差数列的性质，并能运用性质进行推理与简化计算. 1. 数学运算素养：能灵活运用等差数列的通项公式和性质求值，能解决已知若干项求其他项、灵活设元求数列等问题. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如设备折旧、钢管堆放、台阶高度等）抽象为等差数列模型，并利用通项公式或性质求解. 1. 数学语言素养：能用符号语言准确表达等差数列的性质，并能进行规范的推理书写. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：等差数列的性质——若 ，则 ；灵活设元（对称设项）的技巧；等差数列在实际问题中的应用. 1. 难点：性质的理解与灵活运用；实际问题的数列建模；复杂情况下设元技巧的掌握. 6、 教学过程 教师活动 1. 展示预习问题： （1）在等差数列 中，若 （），则 ______ （填“=”、“>”或“<”）. 答案：. （2）已知等差数列 中，，则 ______. 答案：. （3）三个数成等差数列，常设为______，______，______；四个数成等差数列，常设为______，______，______，______. 答案：，，；，，，. （4）某设备价值每年减少固定数额，这种变化规律是______模型. 答案：等差数列. 2. 请学生回答，教师点评并强调性质的应用. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 等差数列的通项公式是什么？已知 ，，求 和 . (2) 学生回答：；由 ，，解得 ，. (3) 追问：观察这两个条件，，而 ，你能发现什么规律吗？能不能直接求 ？ 2.引入等差数列的性质探究. 环节三：合作探究 1. 等差数列的性质（下标和性质）（5分钟） 教师设问：已知等差数列 ，计算 与 （即 ）的关系， 与 的关系. 学生利用通项公式计算： ， ，所以 . 类似地，，. 引导猜想：对于等差数列，若 ，则 . 证明：， 同理 ，由 知等式成立. 特别地，若 ，则 . 强调：该性质是等差数列的重要工具，可以简化计算（如已知两项和求中间项）. 2. 等差数列的性质应用 (灵活设元)（5分钟） 教师提出问题：三个数成等差数列，其和为 ，积为 ，求这三个数. 设这三个数为 ，则 ⇒ ， ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ . 所以三个数为 或 . 对于四个数成等差数列，通常设为 ，这样对称设元可以简化求和（和 = ）及平方和等运算. 3. 等差数列的实际应用（5分钟） 教师以设备折旧问题为例： 某公司购置一台价值220万元的设备，每年贬值 万元，使用10年后价值低于购进价的5%（即 万元），求 的取值范围. 解：第 年后的价值 . 第10年后（即 ）： ⇒ ⇒ ⇒ . 又因为 ，所以 万元. 强调：解决问题的关键是建立等差数列模型，并正确确定项数. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：在等差数列 中，已知 ，求 的值. 解：由性质 ，得 ，所以 . 例2：在等差数列 中，，求 的值. 解：，所以 ⇒ . 例3：已知三个数成等差数列，它们的和为 ，平方和为 ，求这三个数. 解：设三个数为 ，则 ⇒ ， ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ . 所以三个数为 或 . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列命题中，正确的有（ ） A. 若 是等差数列，则 B. 若 ，则 对任意数列都成立 C. 在等差数列中，（） D. 在等差数列中，若 ，则 答案：A、C、D 解析：A中 ，正确；B错误，只对等差数列成立；C是等差中项性质；D中 ，正确. 例5：在等差数列 中，已知 ，，求通项公式. 解：由性质， ①， ②， ②-①得 ⇒ ，代入①得 ⇒ ⇒ . 所以 . 答案：. 例6：已知递减等差数列 的前三项为 ，求该数列的通项公式以及第 项 . 解：由等差中项， ⇒ ⇒ . 前三项为 ，所以 ，公差 （递增数列，与题目“递减”矛盾，需检查题目表述.若要求等差数列，实际为递增，可修正为“递增”.教师可按原题处理，说明等差数列可增可减.） 通项公式 . 例7：某员工每年的工资按固定数额增加，第一年工资为 8 万元，第三年工资为 12 万元. （1）求每年的工资增长额； （2）求第 10 年的工资. 解：工资构成等差数列，设公差为 . ⇒ ⇒ （万元）. （2）（万元）. 答案：每年增长 2 万元，第 10 年工资 26 万元. 例8：一个三角形三个内角的度数成等差数列，且三个内角的正弦也成等差数列，求三个内角的大小. 解：设内角为 ，且 . 由 成等差数列得 ，代入 得 ⇒ ⇒ . 再由角的正弦成等差数列得 ，即 （因为 ）. 计算 ，左边 . 右边：. 所以 ⇒ ⇒ ⇒ ，从而 . 故三内角均为 ，即等边三角形. . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 等差数列的性质：若 ，则 ；特别地，. (2) 灵活设元技巧（三个数设 ；四个数设 ）. (3) 等差数列在实际问题中的建模步骤（找首项、公差、确定项数）. (4) 利用性质可以简化计算（不必每次都使用通项公式）. 1. 教师强调： (1) 性质的使用前提是验证数列为等差数列. (2) 实际问题的项数要仔细确认（如第 年后的价值对应 等）. 3.对称设元可以简化运算，但要注意公差的正负. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第25页习题4.2第5、6、8题. (2) 配套课时达标检测《等差数列的概念（第2课时）》. 1. 拓展作业： (1) 已知等差数列 中，，，求该数列的通项公式. 1. 预习引导： 预习下一节“等差数列的前 项和”，思考如何用倒序相加法求和. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课通过探究等差数列中项与项的关系，学生顺利推导出下标和性质，并能运用该性质简化计算.灵活设元的技巧通过具体例题（知和知积求三数）让学生掌握了对称设元的方法.实际应用题（设备折旧、工资增长）的建模训练，帮助学生将生活问题转化为数学模型.练习中设计了选择、填空、计算和应用题，学生参与积极.不足之处：部分学生在利用性质时，容易忽略等差数列的条件；在设未知数时，对角线设元（如三个数有时设 ）容易弄错符号.后续需加强变式训练，特别是实际问题的项数确定.整体上，本节课为后续学习等差数列前 项和及等比数列打下良好基础. 学科网（北京）股份有限公司 $