精品解析：重庆市巴南区 部分校2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025—2026学年度下期中期定时作业八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. ，， D. 2，， 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 矩形的对角线相互垂直 5. 如图，有一个圆柱，它的高为，底面周长为，在圆柱的底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的处的食物，则需要爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 6. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 7. 如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 2.5 D. 4 9. 如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小： ④； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：（本题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案直接填在答题卡相应位置的横线上． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 12. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 13. 如图，一个大正方形由四个全等的直角三角形和正方形组成．若，，则正方形的面积为______． 14. 如图，已知在矩形中，于点（垂足在线段上），，则的度数是______． 15. 如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______． 16. 如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”．如：，∵，∴是“和数”．又如：，∵，∴不是“和数”．已知M是一个“和数”，则M的最小值为______；交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，在M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，若能被11整除，则满足以上条件的“和数”M的最大值为______． 三、解答题（本大题9个小题，第17题8分，第18题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题都必须按要求写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 在学习了矩形的相关知识后，甲同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线上一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形，它们面积相等． 根据甲同学的发现，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，E为对角线上一点，连接，过D作于点F．请用尺规过点B作的垂线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：矩形，于点F，于点G．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，______① ∴． ∵______②，， ∴， ．∴． 在和中，， ∴． ∴______③． 而，______④． ∴． 19. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 20. 化简求值：，其中，． 21. 如图，四边形为矩形，，，，且作交于点E． （1）证明：； （2）求点E到的距离． 22. 在平行四边形中，，E为中点，连接． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点F为上一点，若，，，求的长度． 23. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点O出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． （1）求对角线的长度； （2）当时，求t的值； （3）如图2，y轴上有一动点E，连接和，在M、N运动过程中，当时，请直接写出此时M的坐标和的最小值． 25. 如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连结交对角线于点F． （1）如图，若，，求的长度； （2）如图，若，点G，H为边的两点，连接，，，且满足．求证：． （3）如图，若，，将沿射线方向平移，得到，连接，，当的值最小时，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下期中期定时作业八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，需满足被开方数非负且根指数为2． 【详解】解：选项A：，根指数为2，被开方数中，，因此，无论取何值，该式子均有意义，故符合题意； 选项B：，根指数为3，属于三次根式，不符合题意； 选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式，不符合题意； 选项D：，根指数为2，但被开方数需满足，当时无意义，因此不满足“一定”是二次根式的条件，不符合题意； 2. 下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. ，， D. 2，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，通过验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形即可． 【详解】解：A、三边长为3，4，5，最长边为5， ， 能构成直角三角形， B、三边长为5，12，13，最长边为13， ， 能构成直角三角形； C、三边长为，，，最长边为， ， 不能构成直角三角形； D、三边长为2，，，最长边为， ， 能构成直角三角形． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵二次根式乘法法则为， ∴，A计算正确； B、∵根据二次根式的性质， ∴，B计算正确； C、∵与的被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并， ∴，C计算错误； D、∵二次根式除法法则为， ∴，D计算正确． 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 矩形的对角线相互垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质与判定定理，逐项判断即可． 【详解】解：A选项，因为平行四边形的对角线互相平分，不一定相等 所以选项A错误，不符合题意； B选项，因为一般平行四边形不存在对称轴，不是轴对称图形，所以选项B错误，不符合题意； C选项，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，所以对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以选项C正确，符合题意； D选项，因为矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，所以选项D错误，不符合题意． 5. 如图，有一个圆柱，它的高为，底面周长为，在圆柱的底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的处的食物，则需要爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出圆柱侧面展开图，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程，根据勾股定理，即可． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，如图， ∵圆柱的高为，底面周长为， ∴，， ∴， ∴需要爬行的最短路程为． 6. 估算的值（ ） A. 在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D. 在8和9之间 【答案】D 【解析】 【分析】先把转化为，再运用无理数估算方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴，即， ∴的值在8和9之间． 7. 如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察得出被开方数是连续自然数，且第k行有个数，先计算前6行的总个数，第7行从左向右数第8个数的被开方数，化简后即可得到结果． 【详解】解：观察数阵可知，被开方数是从1开始的连续自然数，且第行共有个数， ∴前6行的数的总个数为， ∴第7行从左向右数第8个数是整个数阵的第个数，即被开方数为50， ∴所求数为． 8. 如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 2.5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】证明，三角形的中位线定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果. 【详解】解：∵平行四边形中，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是和的中点，，， ∴， ∴. 9. 如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小： ④； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】①利用分式的性质进行分母有理化即可；②先确定的小数部分，然后分母有理化化简即可；③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；④通过分母有理化找到运算规律，然后化简求值即可；⑤先将分母有理化，根据倒数得出，进一步化简求值即可． 【详解】解：，所以分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； 若a是的小数部分，则，∴，故②错误； ,, ,, ∴, ∴ 故③正确； ， ， ； 故④错误； ， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：， 故⑤正确． 二、填空题：（本题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案直接填在答题卡相应位置的横线上． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故答案为：． 13. 如图，一个大正方形由四个全等的直角三角形和正方形组成．若，，则正方形的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，即可得到小正方形的边长，即可求出面积． 【详解】解：大正方形由四个全等的直角三角形和正方形组成，，， ，， ， ． 14. 如图，已知在矩形中，于点（垂足在线段上），，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据矩形的性质，对角线相等，可得，推出，根据题意，设，根据，解方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，是对角线， ∴，，， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ 15. 如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，结合线段垂直平分线的性质得出，可得当点与点重合时，取最大值，取最小值，则，利用勾股定理列方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵将矩形纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为， ∴是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，取最小值， ∵当点与点重合时，取最大值， ∴当点与点重合时，取最大值，取最小值， 设则， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 16. 如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”．如：，∵，∴是“和数”．又如：，∵，∴不是“和数”．已知M是一个“和数”，则M的最小值为______；交换M的百位数字和十位数字得到一个三位数N，在N的末位数字后添加数字1得到一个四位数P，在M的十位数字与个位数字之间添加M的百位数字得到一个四位数Q，若能被11整除，则满足以上条件的“和数”M的最大值为______． 【答案】 ①. 121 ②. 792 【解析】 【分析】根据“和数”的定义即可表示，分别将表示，找出符合被整除的数即可． 【详解】解：设的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴，且，，均为的整数， 要使得最小，则，， ∴， ∴； 设， 则， ∴，， 则， ∴， 当时，∵，不满足条件； 当时，∵， ∴，，不能被11整除，不满足条件； 当时，∵， ∴，，能被11整除，满足条件； 则M的最大值为：． 三、解答题（本大题9个小题，第17题8分，第18题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题都必须按要求写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则，进行计算，即可； （2）先根据二次根式的除法运算，再根据完全平方公式，平方差公式进行计算，最后根据二次根式的加减运算，进行计算，即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在学习了矩形的相关知识后，甲同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线上一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形，它们面积相等． 根据甲同学的发现，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，E为对角线上一点，连接，过D作于点F．请用尺规过点B作的垂线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：矩形，于点F，于点G．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，______① ∴． ∵______②，， ∴， ．∴． 在和中，， ∴． ∴______③． 而，______④． ∴． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）证明，得到，利用面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵，， ∴，． ∴． 在和中，， ∴． ∴． 而，． ∴． 19. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，再结合勾股定理逆定理计算即可得出结果； （2）根据四边形的面积，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，，， ， ∴是直角三角形， ； 【小问2详解】 解：由题意得： 四边形的面积 ∴四边形的面积为． 20. 化简求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】先由分式的混合运算法则化简，再将，代入化简的结果中计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴． 21. 如图，四边形为矩形，，，，且作交于点E． （1）证明：； （2）求点E到的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可求证； （2）过点E作垂足为H，利用勾股定理可得到，再由三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点E作垂足于点H， ∵，，， ∴，， ∴在中，， ∵三角形的面积， ∴， ∴， ∴点E到的距离为． 22. 在平行四边形中，，E为中点，连接． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点F为上一点，若，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得， ，则，，由直角三角形的性质可得，再由等边对等角得出，进而可得，即可得证； （2）由题意可得是线段的中垂线，则，由（1）知，即是直角三角形，由平行四边形的性质可得，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ， ∴，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ∴， ∴； ∴平分； 【小问2详解】 解：∵E为中点，且， ∴是线段的中垂线， ∴， 由（1）知，即是直角三角形， ∴由勾股定理可得， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得：， ∴． 23. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点O出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． （1）求对角线的长度； （2）当时，求t的值； （3）如图2，y轴上有一动点E，连接和，在M、N运动过程中，当时，请直接写出此时M的坐标和的最小值． 【答案】（1） （2）或3 （3）的坐标为，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意并结合矩形的性质可得，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）过点M作垂足为点H，则四边形是矩形，从而可得，，根据动点的速度可知，，则，表示出，再结合勾股定理计算即可得出结果； （3）先证明四边形为矩形，得出，，根据动点的速度可知，，则，列出关于的一元一次方程，求解即可得出M的坐标为，，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称的性质可得，，再由，并结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：过点M作垂足为点H，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据动点的速度可知，， ∴， ∴， ∴在中， ∵，， ∴， ∴， 解得或3； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据动点的速度可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M的坐标为，， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 25. 如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连结交对角线于点F． （1）如图，若，，求的长度； （2）如图，若，点G，H为边的两点，连接，，，且满足．求证：． （3）如图，若，，将沿射线方向平移，得到，连接，，当的值最小时，请直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作，垂足为H，根据已知求出，再由30度直角三角形性质求出，进而由勾股定理求出，，由即可解题； （2）延长、交于点M，在上取点N，使，通过是等边三角形证明，得，再证明即可得出结论； （3）方法1：延长到Q，使，作等边，在PQ上取一点M，使，连接、、，通过可得，再证明四边形是平行四边形，可得，进而可得，，三点共线，此时，值最小． 方法2：如图，与交于点M，连接、、、取BC的中点，连接、，作，利用四边形是平行四边形，可得，根据菱形的对称性可得，由中位线定理可得，进而将所求转化为，求出的最小值即可解题． 【小问1详解】 解：过点E作，垂足为H， ∵在平行四边形中，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 又∵，即： ∴，， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 证明：延长、交于点M，在上取点N，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长到Q，使，作等边，在PQ上取一点M，使，连接、、， ∴， 由平移可知，，且， ∵，，由（1）可知， ∴是等边三角形，，， ∴在平行四边形是菱形，， ∴， ∵在等边中， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 过点Q作，垂足为H， ∵在等边中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴当，，三点共线时，取得最小值， 此时，如图， ∵当，，三点共线时，交BD于K， ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即：当平移将沿射线方向平移个单位时，，，三点共线，此时，值最小， ∴最小值为：． （方法2：如图，与交于点M，连接、、、取BC的中点，连接、，作， 由方法1可知：，， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移可知，，且， 又∵在平行四边形中，，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵由方法1可知：平行四边形是菱形， ∴垂直平分线， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴当A、M、N三点共线时，最小，此时最小，最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质、线段和最值等知识，涉及知识点较多，综合性强，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $