精品解析：重庆市江津区先锋初级中学校等2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

2025-2026学年度七年级数学下册期中定时测试卷 （共150分，时间100分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0.53 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，据此解题． 【详解】解：是分数，0.53是有限小数，是无理数，是整数， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键，有理数和无理数统称为实数，有理数分为整数和分数，无理数是无限不循环小数． 2. 在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：点的横坐标小于0，纵坐标大于0，则点所在的象限是第二象限． 3. 如图，在下列给出的条件中 ，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定可得答案． 【详解】A、∵，∴，故该选项符合题意； B、∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列命题中正确的个数有（ ） ①同旁内角互补；②点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段；③平移变换中，各组对应点连成的线段平行且相等；④在同一平面内，a，b，c是三条不重合的直线，若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】逐个判断四个命题的真假，统计正确命题的个数即可． 【详解】解：①只有两直线平行时，同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，故①错误． ②点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，垂线段本身是图形，不是距离，故②错误． ③平移变换中，对应点连成的线段可能共线，命题只说平行，表述错误，故③错误． ④在同一平面内讨论直线位置关系，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，当时，，故④正确． 综上，正确的命题只有1个． 5. 如图，在一片农田中，有一口水井A，农户要从水井A铺设水管到田埂处进行灌溉，为了节省水管材料，以下铺设方式中，哪种是最合理的（ ） A. 方向 B. 方向 C. 方向 D. 方向 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：为了节省水管材料，则需要距离最短， 根据垂线段最短，可得方向最合理． 6. 已知关于x，y的二元一次方程有一组解为，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，解题的关键是将方程解代入方程，即可求出的值．已知二元一次方程的解，代入等式必成立，由此求出的值． 【详解】解：将代入方程，则： ， 解得：， 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键． 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 8. 估计的值（ ） A. 在1到2之间 B. 在2到3之间 C. 在3到4之间 D. 在4到5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 即 ， ， 即 ， 因此 的值在1到2之间． 9. 如图，直线与相交于点O，射线在内部，且于点O．若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂线的定义和角平分线的定义得到的度数，再由邻补角互补可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10. 已知为整式，且，其中为正整数，为自然数，令．下列说法： ①若时，和满足，则； ②不存在和的值，使； ③若时，，，则满足条件的所有整式的和为．其中正确的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义整式，涉及整式运算、解方程组等知识，读懂题意，理解题中新定义的整式运算法则，根据不同说法，代值验证即可得到答案．理解题中新定义整式是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， 和满足， 解得， ， 故①正确； 若，则， 即， ， 当时，， 即存在和的值，使， 故②错误； 若时，满足条件的所有整式的和为， 由可知，只能取或， 当时，，则， ，解得， 为正整数， 或， 即或； 当时，，则， ，解得， 为正整数， 或， 当时，则，方程组无满足条件的解； 当时，则，即； ； 满足条件的所有整式的和为， 故③错误； 综上所述，正确的说法是①，共1个， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点到轴的距离为________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为． 12. 关于、的方程组的解满足，则的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得，则，再根据已知条件建立方程求解即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于、的方程组的解满足， ∴， ∴． 13. 已知、都是实数，且满足，则的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，被开方数为非负数，据此先求出的值，再代入求出的值，最后计算的立方根即可． 【详解】解：根据算术平方根的性质，被开方数大于等于， 可得 解得， 将代入 ， 得 ， 则， 因为，所以的立方根是． 14. 在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的平方根为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程组的解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②和①，就可解得a，b的值，进而即可求解. 【详解】解：将代入②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴，即：的平方根是． 15. 将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可知，第排有个数，且第排最大的被开方数为．当为奇数时，从左向右被开方数递增；当为偶数时，从左向右被开方数递减．先通过估算平方数确定所在的行数，再根据偶数行的排列规律计算列数，最后代入求值． 【详解】解：由图可知，第排有个数，第排有个数，，第排有个数 前排共有个数 所以第排最大的被开方数为 因为，且 所以位于第排，即 因为为偶数，由图可知偶数排从左向右被开方数递减第排第个数为即 所以 所以． 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数，因为，所以是“和方数”；四位数．因为，所以不是“和方数”，则最大的“和方数”为______；若四位数是“和方数”，将“和方数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被整除，则满足条件的的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据“和方数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴为正整数， ∴的值为7或16， 当时，或或，均不符合题意， ∴， 此时时有最大值， ∴， ∴最大的“和方数”为9614， 由题意可得，最大的“和方数”为， 设，则，， ∴ ， ， ， ∵能被整除， ∴是整数， ∴或是的倍数， ∵， ∴，，，，，， ∵的各数位上的数字互不相等且均不为，，，， ∴， ∴满足条件的的最小值是， 故答案为：，． 三、解答题（共88分） 17. 计算 （1） （2）解方程． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解得或 18. 解二元一次方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 将②代入①得， 解得， 将代入②得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由①得， 将③代入②得， 解得 将代入①得 ∴原方程组的解为 19. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“短距”为______； （2）若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； （3）若点为“完美点”，求点的“短距”． 【答案】（1）1 （2）5 （3）1或2 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解“短距”和“完美点”的定义是解题关键． （1）根据“短距”的定义和点到坐标轴的距离求解即可得； （2）根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据第一象限内的点的横、纵坐标均大于0求解即可得； （3）先根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据“短距”的定义求解即可得． 【小问1详解】 解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以点的“短距”为1， 故答案为：1． 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，，此时点的坐标为，位于第一象限内，符合题意； 当时，，此时点的坐标为，位于第二象限内，不符合题意； 综上，的值为5． 【小问3详解】 解：∵点为“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为1； 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为2， 综上，点的“短距”为1或2． 20. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：∵， ∴ ________ （ ________ ）， ∵（已知）， ∴________ （ ________ ）， 即， ∴， ∵（已知）， ∴（ ________ ）， ∴ （ ________ ）， 又∵（已知）， ∴（ ________ ）． 【答案】，两直线平行，内错角相等；，垂直的定义；同角的余角相等；，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行 【解析】 【分析】先利用平行线性质和垂直定义，通过同角的余角相等证出，再用平行线的传递性，由推出． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（垂直的定义）， 即， ∴， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， 又∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两条直线互相平行）． 21. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”根据上述定义，回答下列问题： （1）已知点，则它的“双移点”为________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为________； （2）画出和，并求出的面积． （3）若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）作图见解析，10 （3）或 【解析】 【小问1详解】 解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 点，先向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到； 【小问2详解】 解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 如图，画出和， ，边上的高， ； 【小问3详解】 解：点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 点在轴上，则到轴的距离，也就是的边上的高， 且 ， ， ∴的坐标为或． 22. 某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等．学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元． （1）求A种劳动工具和B种劳动工具的单价． （2）现有两家商店分别推出了优惠套餐．甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售．乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售．已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量． 【答案】（1）A种劳动工具的单价为50元，B种劳动工具的单价为30元 （2）6件 【解析】 【分析】（1）设A种劳动工具的单价为x元，B种劳动工具的单价为y元．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买A种劳动工具m件，则购买B种劳动工具件．分别列出甲乙两商店所需的费用，然后根据费用一样建立一元一次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A种劳动工具的单价为x元，B种劳动工具的单价为y元． 依题意得 解得 答：A种劳动工具的单价为50元，B种劳动工具的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买A种劳动工具m件，则购买B种劳动工具件． 则在甲商店购买总费用为， 在乙商店购买总费用为． 当时， 解得． 答：购买6件A种劳动工具时，在甲、乙两商店购买的总费用一样． 23. 如图，于点D，于点F，且 （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1）平行，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，推出，即可得出； （2）根据，，，即可求出的度数，利用平行线的性质，即可得出的度数． 【小问1详解】 解：，理由： ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．正确的识图，确定角的关系，证明两直线平行，是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，M为第三象限内一点． （1）若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． （2）若点M为，连接，，将沿x轴方向向右平移得到（点A，M的对应点分别为点D，E），若的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 【答案】（1）①；②或 （2）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）①根据点到两坐标轴的距离相等，可列方程求解；②根据且，即可求得答案； （2）根据平移的性质，可得，，再结合三角形和四边形的周长，即可求得，即得答案． 【小问1详解】 解：①到两坐标轴的距离相等，且在第三象限， ， ， ； ②，， ， 且，， 或； 【小问2详解】 解：沿x轴方向向右平移得到， ，， 的周长为m， ， 四边形的周长为， ， ， ， 点M为， 点E的坐标为． 25. 结合图形，解答下列各题： （1）问题：如图所示，若，，求的度数． （2）问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，利用与平行的性质，推出也平行于；再依据平行线的性质，通过内错角相等求出的度数，借助同旁内角互补算出的度数，最后将与相加，得到的度数； （2）过点作，结合与平行的条件，得出平行于;利用平行线内错角相等的性质，分别得到与、与的等量关系，再根据角的组成关系，通过等量代换整理出与、的数量关系； （3）根据角平分线的定义，将表示为的一半、表示为的一半，结合第（2）题可得出、，代入角平分线的等量关系，整理后得到与的数量关系，即可计算出的度数． 【小问1详解】 解：如图1，过点作， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：． 理由：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）的结论，同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度七年级数学下册期中定时测试卷 （共150分，时间100分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0.53 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在下列给出的条件中 ，能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的个数有（ ） ①同旁内角互补；②点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段；③平移变换中，各组对应点连成的线段平行且相等；④在同一平面内，a，b，c是三条不重合的直线，若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在一片农田中，有一口水井A，农户要从水井A铺设水管到田埂处进行灌溉，为了节省水管材料，以下铺设方式中，哪种是最合理的（ ） A. 方向 B. 方向 C. 方向 D. 方向 6. 已知关于x，y的二元一次方程有一组解为，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A. 或 B. C. 或 D. 或 8. 估计的值（ ） A. 在1到2之间 B. 在2到3之间 C. 在3到4之间 D. 在4到5之间 9. 如图，直线与相交于点O，射线在内部，且于点O．若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知为整式，且，其中为正整数，为自然数，令．下列说法： ①若时，和满足，则； ②不存在和的值，使； ③若时，，，则满足条件的所有整式的和为．其中正确的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点到轴的距离为________． 12. 关于、的方程组的解满足，则的值为________． 13. 已知、都是实数，且满足，则的立方根是________． 14. 在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的平方根为________． 15. 将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为________． 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数，因为，所以是“和方数”；四位数．因为，所以不是“和方数”，则最大的“和方数”为______；若四位数是“和方数”，将“和方数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被整除，则满足条件的的最小值是______． 三、解答题（共88分） 17. 计算 （1） （2）解方程． 18. 解二元一次方程组 （1） （2） 19. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“短距”为______； （2）若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； （3）若点为“完美点”，求点的“短距”． 20. 完成下面的证明： 如图，已知，，，求证：． 证明：∵， ∴ ________ （ ________ ）， ∵（已知）， ∴________ （ ________ ）， 即， ∴， ∵（已知）， ∴（ ________ ）， ∴ （ ________ ）， 又∵（已知）， ∴（ ________ ）． 21. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”根据上述定义，回答下列问题： （1）已知点，则它的“双移点”为________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为________； （2）画出和，并求出的面积． （3）若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标． 22. 某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等．学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元． （1）求A种劳动工具和B种劳动工具的单价． （2）现有两家商店分别推出了优惠套餐．甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售．乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售．已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量． 23. 如图，于点D，于点F，且 （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，M为第三象限内一点． （1）若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． （2）若点M为，连接，，将沿x轴方向向右平移得到（点A，M的对应点分别为点D，E），若的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 25. 结合图形，解答下列各题： （1）问题：如图所示，若，，求的度数． （2）问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $