第四章因式分解题型突破（八题型）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念辨析-方法掌握-综合应用”为逻辑主线，系统覆盖因式分解全题型，融合定义理解、公式应用与实际问题解决，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断因式分解|4题|定义辨析法（整式积形式判断）|从概念本质出发，区分因式分解与整式乘法| |求参问题|4题|待定系数法（对比系数求解）|逆向应用因式分解结果，强化恒等变形推理| |公因式|4题|三定法（定系数、字母、指数）|为提公因式法奠定基础，培养符号意识| |提公因式法|4题|整体提取法（含符号变形）|直接应用公因式知识，训练代数变形能力| |平方差公式|4题|公式特征法（两项异号平方）|衔接整式乘法，构建公式应用逻辑| |完全平方公式|5题|配方识别法（三项式结构分析）|深化公式理解，提升模式识别能力| |综合分解|3题|步骤分解法（提公因式后套公式）|整合多种方法，培养综合思维| |应用|7题|模型转化法（几何/代数问题建模）|联结实际情境，发展应用意识与创新意识|

第四章因式分解题型突破2025-2026北师大版 八年级下册（八题型） 题型一：判断是否因式分解 1．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列分解因式错误的一项是（    ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形，是分解因式的个数是（   ） ①；② ③；④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________. ①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9) 题型二：已知因式分解的结果求参 1．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2.如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 3．若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 4.如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝　 　． 题型三：公因式 1．把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x 2．若（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，则A为（　　） A．x2+y2 B．x2﹣xy+y2 C．x2﹣3xy+y2 D．x2+xy+y2 3.多项式中各项的公因式是 ． 4．将因式分解，则应提取的公因式为 ． 题型四：提公因式法分解因式 1.分解因式：　 　． 2．因式分解． 3．分解因式． 4．分解因式： (1)；(2)． 题型五：平方差公式法分解因式 1.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 2.下列因式分解正确的是(　　) A． x2﹣4=(x+4)(x﹣4) B． x2+2x+1=x(x+2)+1 C． 3mx﹣6my=3m(x﹣6y) D． 2x+4=2(x+2) 3.分解因式：ab2－a=____________． 4.分解因式： (1)；(2)． 题型六：完全平方公式法分解因式 1.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 2．把2xy﹣x2﹣y2分解因式，结果正确的是（　　） A．（x﹣y）2 B．（﹣x﹣y）2 C．﹣（x﹣y）2 D．﹣（x+y）2 3.若x2+（k﹣2）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 4.因式分解：（2x﹣y）2+4（2x﹣y）+4． 5.因式分解：（3a+2b）2﹣2（a+b）（3a+2b）+（a+b）2． 题型七：分解因式综合 1.把下列多项式因式分解： (1)(2) 2.因式分解： (1)；(2)． 3.因式分解： (1)；(2)； (3)；(4)． 题型八：分解因式的应用 1．已知，，则等于（ ） A．13 B．14 C．12 D．7 2.计算：101×1022﹣101×982=（ ） A．404 B．808 C．40400 D．80800 3.对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的整数是（　　） A．3 B．6 C．10 D．9 4.如图，边长为、的长方形周长为20，面积为16，则的值为　　 A．80 B．160 C．320 D．480 5．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了a，分解结果为，则 ． 6.已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状并说明理由． 7．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小胡同学用换元法对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣2x＝y， 原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步） ＝y2+2y+1（第二步） ＝（y+1）2（第三步） ＝（x2﹣2x+1）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 　 　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解． 【答案】 第四章因式分解题型突破2025-2026北师大版 八年级下册（八题型） 题型一：判断是否因式分解 1．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．下列分解因式错误的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．下列从左到右的变形，是分解因式的个数是（   ） ①；② ③；④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 4．下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________. ①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9) 【答案】②③⑥ 题型二：已知因式分解的结果求参 1．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 4.如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝　 　． 【答案】﹣140． 题型三：公因式 1．把2（x﹣3）+x（3﹣x）提取公因式（x﹣3）后，另一个因式是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C．2﹣x D．﹣2﹣x 【答案】C． 2．若（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•A，则A为（　　） A．x2+y2 B．x2﹣xy+y2 C．x2﹣3xy+y2 D．x2+xy+y2 【答案】D． 3.多项式中各项的公因式是 ． 【答案】 4．将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【答案】 题型四：提公因式法分解因式 1.分解因式：　 　． 【答案】解：． 2．因式分解． 【答案】 【详解】解： ； 3．分解因式． 【答案】 【详解】解：原式． 4．分解因式： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五：平方差公式法分解因式 1.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 【答案】C 2.下列因式分解正确的是(　　) A． x2﹣4=(x+4)(x﹣4) B． x2+2x+1=x(x+2)+1 C． 3mx﹣6my=3m(x﹣6y) D． 2x+4=2(x+2) 【答案】D 3.分解因式：ab2－a=____________． 【答案】a(b+1)(b－1) 4.分解因式： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型六：完全平方公式法分解因式 1.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 【答案】 2．把2xy﹣x2﹣y2分解因式，结果正确的是（　　） A．（x﹣y）2 B．（﹣x﹣y）2 C．﹣（x﹣y）2 D．﹣（x+y）2 【答案】C． 3.若x2+（k﹣2）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 【答案】B． 4.因式分解：（2x﹣y）2+4（2x﹣y）+4． 【答案】解：（2x﹣y）2+4（2x﹣y）+4＝（2x﹣y+2）2． 5.因式分解：（3a+2b）2﹣2（a+b）（3a+2b）+（a+b）2． 【答案】解：原式＝[（3a+2b）﹣（a+b）]2 ＝（2a+b）2． 题型七：分解因式综合 1.把下列多项式因式分解： (1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：． 解：． 2.因式分解： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.因式分解： (1)；(2)； (3)；(4)． 【答案】(1)(2) (3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八：分解因式的应用 1．已知，，则等于（ ） A．13 B．14 C．12 D．7 【答案】C 2.计算：101×1022﹣101×982=（ ） A．404 B．808 C．40400 D．80800 【答案】D 3.对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的整数是（　　） A．3 B．6 C．10 D．9 【答案】C． 4.如图，边长为、的长方形周长为20，面积为16，则的值为　　 A．80 B．160 C．320 D．480 【答案】 5．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了a，分解结果为，则 ． 【答案】 6.已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状并说明理由． 【答案】解：△ABC是等腰三角形， 理由：∵b2+2ab＝c2+2ac， ∴b2﹣c2+2ab﹣2ac＝0， （b﹣c）（b+c）+2a（b﹣c）＝0， （2a+b+c）（b﹣c）＝0， ∵2a+b+c≠0， ∴b﹣c＝0，即b＝c， ∴△ABC是等腰三角形． 7．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小胡同学用换元法对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣2x＝y， 原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步） ＝y2+2y+1（第二步） ＝（y+1）2（第三步） ＝（x2﹣2x+1）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 　 　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解． 【答案】解：（1）故选：C； （2）（x2﹣2x+1）2 ＝（x﹣1）4； 故答案为：（x﹣1）4； （3）设x2+6x＝y， 原式＝y（y+18）+81 ＝y2+18y+81 ＝（y+9）2 ＝（x2+6x+9）2 ＝（x+3）4． 学科网（北京）股份有限公司 $