吉林省吉林市田家炳高级中学等校2025-2026学年度下学期期中考试高一数学试卷

2025—2026学年度下学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知i是虚数单位，若复数z满足(1-i)z=2+i,则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.如图，用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图为△ABC,且BC与x轴平行，AB'= V2,B'C'=2,则AC= A.6 B.V10 C.2V2 D.2W3 B 3.已知单位向量d在单位向量b上的投影向量为五，则：-2= B.3 C3 D.1 4.在△ABC中，BC=4,BA=5,且△ABC的面积为5，则角B的大小为 A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 5.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边 长分别为1和2，则它的高为 32π 64π 16π 8π A.7 .7 0 6在△A.不=C,P是上-点，若源=m丽+言花，则 实数m的值为 中 B.1 ·5 7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱BB1,CC1的中点分别为E,F,且点G在侧面ABB1A1 内，若FG/平面A1C1E,则点G的轨迹长度为 A.5 B.2 C.2 D.2V2 2 设AABc的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,者acosB-bcosA=C,则an的值为 tanB B. A.-4 5 c.5 D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知复数z满隄名+1 z-1 5=1-2i,则 A.∑的虚部为-i B.zZ=2 C.z为纯虚数 D.z和z是方程x2-2x+2=0的两个根 10.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,E,F,G 分别是AB,BC,PB的中点，则 A.EF//AC B.平面GEF∥平面PAC C.三棱锥PAGC的体积为 3 D.四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为8π 1L.在△ABC中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作一直线分别与AB,AC交于点M,N,设 A正=2AD,AM=xAE,AN=yAC,其中元，x,y∈(0,1)，则下列结论正确的是 A.若BC=4,AC·AB=2,则AD=V6 B.若EA.EB=EB,E元=E元.EA,则△ABC是等边三角形 4 D若1=景则x:公的数小值为1+2号 2W2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(2,-14),石=(3,4)，则a在b方向上的投影向量的坐标为 13.某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度AB,在塔附近选取了相距 60米的C,D(C,D与该塔的塔底B在同一水平面上)两个测量点，从C点观 测该塔塔顶A的仰角为π6，从D点观测该塔塔顶A的仰角为π4，且∠CDB= π 3 4 则这座塔的高度AB= 14.如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5cm和10cm,母线AB=20cm, 从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点.则绳子的最短长度 为cm;当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为cm 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知向量a=(1,3),b=(m,-2),c=（-4,3)且2a+b1c.… D求5+d: (2)求向量a与b的夹角8： (3)若a+b)∥(k柘+c,求实数k的值.· 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E,F,G分别是PD,AC, PA的中点，平面PAB∩平面EFG=L. 证明：(1)EFM: (2)平面EFGl平面PBC. B 15分)在△c中，，心e分别是角息C所对的边，b=7,c=2,B=营 (1)求a的值； (2)求sin(B-A)的值. 18.(17分)如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=V2AB=2,P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥S-ABCD的表面积： (2)若直线SB∥平面ACP,求证：P为棱SD的中点： 6)若SP3PD,侧棱SC上是否存在一点B,使得BE/平面PAC.若存在，求运的值：若不存在. EC 试说明理由， D 19.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1, a 2b-c COsA CosC (1)求角A; ②若D是线段BC的中点，AD= 2 ,求S△ABC (3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围. 高一期中数学答案 一、选择题 题号 答案 D D B A A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BD ABD ACD 三、填空题 11.(-6,-8) 12.30米 14.50:4 四、解答题 15.【答案】(1)V102)0=3 (3)k=2 【详解】因a=(1,3),6=(m,-2),则2a+6=(2+m,4), 又c=(-4,3),且(2a+6⊥c 所以(2a+·c=-4(2+m)+12=0,解得m=1.…(4分) (1)所以6+=(-3,1)，故6+=V32+1卫=√10.…(7分) (2)c=(1,3),6=(1,-2), 所以cos0= a.6_1×1+3×(-2)。-V2 a6√10×√5 2 又0≤9≤，因此0=-0分 (3)a+i=(2,1),k6+c=(k-4,-2k+3), 因为(a+而川(k6+, 所以2(-2k+3)-(k-4)=0,解得k=2.…(13分) 16.【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，连接BD,由底面ABCD是平行四边形，得F是BD的中点， 而E是PD的中点，则EF/PB,又EFt平面PAB,PBC平面PAB,则EF/平面PAB 而平面PAB∩平面EFG=FG,FGC平面BFG,所以BK//L1..(8分) (2)由G,F分别是PA,AC中点，得FG/PC, 又FGt平面PBC,PCC平面PBC,则FG/平面PBC, 由(1)知EF/PB,又EF丈平面PBC,PBC平面PBC,则EF/平面PBC, 又EFnFG=F,EF,FGC平面EFG,所以平面EFG/平面PBC..(15分) 亿.【答案①0=3②)4 【详解】(1)△ABC冲，b=V7,c=2,B=T 由余弦定理可得b2=a2+c2-2 ac cos B, 即7=a2+4-2×2a×23 1 整理可得：a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1(舍)， 所以a=3.(7分) (②)由余弦定理可得c0sA= b2+c2-a2_7+4-9_V7 2bc 2V7×2 14 在三角形中，可得sinA=√个-cos2A= 3√W21 14’ 所以sin(B-A)=sin BcosA-cos BsinA=y3×V7_1x3V2_V2 2×14-21 14 4·(15分) 18【答案】02+2V76)存在，瓷-2，理由见解折 【详解】(1)因为SA=√2AB=2,所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 1 1 因为SA=SD=2,AD=V5,所以侧面积为4×2×V2×√4-2=2W, 所以正四棱锥S-ABCD的表面积为2+2√7.…(5分) (2)连接BD,交AC于O,则O为中点，连接OP, 因为直线SB/平面ACP,且平面SBD∩平面ACP=OP, 所以SB/OP, 因为0为中点，所以P为棱SD的中点.…(11分) B)在侧棱SC上在在一点E,使得BE平面ACP,满定花=2 理由如下：取SD的中点Q,连接BQ, 因为SP=3PD,所以PQ=QD,又O为BD的中点， 在△BDQ中，BQ/OP,又OPC平面PAC,BQt平面PAC,所以BQ/平面PAC, 过Q作QE/CP,交SC于E,连接BE, 又CPC平面PAC,QEt平面PAC, 所以QE/平面PAC,又BQ∩QE=Q,BQ,QEC平面BEQ, 所以平面BEQ/平面PAC,又BEc平面BEQ, 所以BE/平面PAC,由QE/PC,得SE=SQ EC QP' 由SP=3PD,Q为sD的中点，得SQ =2, OP 所以瓷-2，即侧植sC上存在一点c,当满足瓷-2时，BE/平面%C.一1分剂 19.【答案A=子② 8 (3)(1+√3,3) 【详解】(1)由正弦定理可知sin4= 2sin B-sin C cosA cos C .'.sin A cos C=2sin B cos A-sin C cos A, .'.sin A cos C sin C cos A sin(A+C)=2 sin B cos A, 又A+B+C=π，sin(A+C)=sin(π-B)=sinB, .'.sin B 2sin B cos A, 1 '.'sin B>0,..cos A= .A∈(0，π)，A= 3·5分)） (2)由(1)及余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cos A,即1=b2+c2-bc,① 又因为a而-ad+4d,则心-（传a证+d), 则A=a成+Ad+a.d, 、1 T 24 4 2 3 所以+ 1 1 c2+bc,② 4 4 电②×4①得bc三2/ 所以S△ABC= besin A=1x1x /3 V3 ×21 2 8·(11分) 2π 1 B)由①得A则B+C,即smC cos B+sin B, 由正弦定理可知b= asin B sin B,c= 2 asinC 2 sin C, sin A sin A V3 2 sin B+ v3 1 所以b+c= =(sin B+sin C)= √3 cos B+sin B 2 2 =2s(B+): 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<,0<F-B< 3 2 其<B<号<B+君< 6 3 则me+)(，即2血e+)2 则a+b+c∈(1+√3,3]， 故△ABC的周长的取值范围为(1+√3,3].(17分)