河南省实验中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

河南省实验中学2025一2026学年下期期中试卷答案 题号 1 2 4 、6 6 7 P 9 10 答案 D C A C D C C D ACD ACD 题号 11 答案 AB 12.2+√2 13.7v6 14.√2 6 15.(1)a=1(2)c=-1或c=4. 【详解】(1)复数z=a+2i,22=2-i,a∈R, 则互=0+24-20.2+a+41 22-i55 (2a-2=0 因为三是纯虚数，所以5 a+4 ，解得a=1 5 (5*0 (2)由(1)得z,=1+2i,322=(1+2i)(2-i)=4+3i 由题意得，点O,A,B的坐标分别为(0,0)，(4,3)，(c,2-c), 所以0A=(4,3),0B=(c,2-c),因为AB=08-0A=5, 所以V(4-c)+(1+c)2=5,解得c=-1或c=4 13 16.2子a9 20 【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理及2 asin A=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得： 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,化简可得：b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理得csA6+C二C=-号，又0<A<元，所以A=2π 2bc 3 …7 (2)AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC= 31 由SABC=SABD+SAC4D可得 Ibcsin 2z=I cx ADxsin+bx ADxsin 2 321 32 3 因为b=4,c=5,即有20=5AD+41D,放4D=20 9 15 答案第1页，共4页 17.【详解】(1) 取PB的中点Q,连接QF,EQ, 因为点E,F分别为AD,PC的中点， 由题意可证得Or1/BC,且Qr-BC=QE,BC/1DE, 所以QE/IDE,且QE=DE, 所以四边形DEQF为平行四边形，所以DF/1QE, 而DF丈平面PBE,QEC平面PBE, 所以DFII平面PBE. 6 (2)设平面PCD∩平面PBE=I, 由(1)可得DF/I平面PBE, DFG平面PCD, 所以DF/Il. 10 (3) 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN,BD, 因为E为AD的中点，所以EN//BD,ENE平面FBD,BDC平面FBD, 所以ENII平面FBD, A t时=1 15 18.(1)-1;(2)-9;(3)AP.AC不是定值，取值范围为[72,81 【详解】)因为亚-配，不-2m,所以F-C+F号c-号沉-而号亚 又因为厅=丽+而，所以=号分所以x+2y=1 1 4 (2)因为C-丽+D,所以C旺=（丽+而兮0-孤-0-号而名D, 31 在菱形4BCD中，AB=A0=6,所以AC.EF=-2AD-4Dc0s∠BAD=-×36-×36×-9,所以 6 6 6 6 AC.EF=-9 9 (3)以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 由菱形边长为6，∠BAD=60°，得A(0,0),B(6,0),D(3,3V3),C(9,3√3)， 因为G配.易为.曲示=2历可有3， 答案第2页，共4页 P在线段EF上，则AP=A正+EF,九∈[0，]： 亚-停.C=0,所孤C=8,又c乐-9 所以AP.AC=(AE+EF)·AC=81-9元，又因为∈[0，]，所以AP.AC∈[72,81] 故不是定值，取值范围为[72,81] 17 1901@29:e2+2w5 【详解】(I)~AB+AC=AB-AC,则AB+AC=AB-AC， .AB'+24B.AC+AC'=AB'-24B.AC+AC', 4B4C=0→61C,故4=受 .4 (2)由(1)知4=牙，所以△ABC的三个角都小于120， 由费马点定义知∠APB=∠BPC=∠APC=120°， 设PA=x,PB=y,PC=z,由SAPs+S,Brc+SAc=SABc, 整理得5+g5+5-×2,整理得+z+z .4v5 +-x. 221 22 22 则两阳+丽+网c=(引(》如〔》分4 ..9 3 3 (3)因为点P为△ABC的费马点，所以∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， PB =m PA,PC=nPA,PA=x,m>0,n>0,x>0, 由PB+PC=tPA,得m+n=t. 由余弦定到得4=r+m-2mcos-++小2， 4C2=x+r2x-2r2cos20=(n+n+) BCP-mx+nx-2mmxcos-(m+n+mn)x, 3 由AC+AB=BC，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mm）x2, m+n+2=mn,又m>0,n>0,所以m+n+2=mn≤ m+n2 2 当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,解得m=n=1+√3时，等号成立， 又m+n=t,所以t2-4t-8≥0，解得t≥2+2V3或t≤2-2W3(舍去)， 答案第3页，共4页 故t的最小值为2+2√3. 17 答案第4页，共4页 河南省实验中学2025——2026学年下期期中试卷 高一数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ） A. 如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面 B. 如果，，m、n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，m、n共面，那么 D. 如果，那么m平行于经过n的任何平面 3. 已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量的夹角（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ） A. B. C. －1 D. －1 7. 在中，角所对的边为，若，则BD长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 与夹角为锐角时，则的取值范围为 D. 当时，在上的投影向量为 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则的面积为 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若且有两解，则的取值范围是 11. 在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（包括边界），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则点F的轨迹长度是 C. 当点Q在直线上运动时，的最小值是 D. 若点F是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是____________. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14. 已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的最大值是____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）. 15. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. （1）求a的值； （2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 16. 已知中，，，分别为内角，，的对边，且； （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 在菱形中，，，，. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求； （2）若，，且点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求的最小值． 河南省实验中学2025——2026学年下期期中试卷 高一数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）. 【15题答案】 【答案】（1） （2）或. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）1 【18题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）不是定值，取值范围为. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $