精品解析：吉林省第二实验高新学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷（五四制）

吉林省第二实验学校2025—2026学年度下学期八（1）年级期中考试数学试卷 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 3. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，． 其中完全正确的是（ ） A. 甲同学 B. 乙同学 C. 都正确 D. 都不正确 4. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 5. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 6. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 7. 如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，，则（ ） A. B. C. D. 8. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，则_______． 10. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为_____． 11. 如图，在的正方形网格中点，，都在格点上，则_____ 12. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，已知图中阴影部分停车位的占地面积和为，设停车场内车道的宽度为，根据题意，可列方程为_____． 13. 如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为_____． 14. 如图，矩形中，，连接，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点，连接． 下列四个结论： ①四边形是菱形；②；③；若， 则． 其中正确的结论是_______________．（填序号） 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知，如图，四边形中，，，．求证：． 17. 随着无人配送技术的持续迭代升级，该服务已在部分地区落地推行．年月，某无人配送站订单量为万单，通过技术优化与路线调整，月订单量增长至万单，若月平均增长率保持不变，求该配送站的月平均增长率． 18. 已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 19. 如图，某校宣传栏BC后面处种有一排与宣传栏平行的树，即，且相邻两棵树的间隔为．一人站在宣传栏前面的A处，正好看到DE两端的树，其余的树均被宣传栏挡住．若，则该宣传栏后面DE处共有多少棵树（不计宣传栏的厚度）？ 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，E． （1）求证： （2）当时，求的面积 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，在线段上取一点，连接，使得； （2）图②中，在内部取一点，连接，使得； （3）图③中，在内部取一点，连接，使得． 22. 【问题背景】中，，，为上的动点，小明拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转． 【用数学的眼光观察】 （1）如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：_____； ①；②；③；④． 【用数学的知识计算】 （2）当，时，则的值为_____； 【用数学的思维思考】 （3）将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，与相似吗？请说明理由． 23. 如图，，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） （1）请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围： （2）当是直角三角形时，求的值； （3）当与相似时，直接写出的值． 24. 如图，在中，，，为锐角，且，动点从点出发，沿边向终点运动，连接，将绕点顺时针旋转得到线段． （1）点到的距离为_____； （2）当时，求的长； （3）当点在内部时，求的取值范围； （4）点是边上一点，且，当直线与的两边垂直时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校2025—2026学年度下学期八（1）年级期中考试数学试卷 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义（对边比斜边）求解． 【详解】解：∵， ∴ 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 2. 如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 3. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，． 其中完全正确的是（ ） A. 甲同学 B. 乙同学 C. 都正确 D. 都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可． 【详解】解：依题意，甲同学的解法错误，方程两边不能同时除以x，这样会漏解； 乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确， 因此完全正确的是乙同学． 4. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接， 则相交于一点O， ∴这两个三角形的位似中心是点O． 故选：B． 5. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为2，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，位似的性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，位似的性质是解题的关键． 由，可知，证明，则，与的位似比为，则与的面积比为，然后求面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴与的位似比为， ∴与的面积比为， ∴的面积为， 故选：D． 6. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：设这个微信群共有x人， 依题意有x（x-1）=90， 解得：x=-9（舍去）或x=10， ∴这个微信群共有10人． 故选B. 7. 如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 8. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转及点的坐标变化规律，能根据题意得出每旋转四秒点A对应点的坐标循环出现及熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质找到规律，A点的坐标以每6秒为一个周期依次循环，进而得出第2025时，点的对应点的坐标． 【详解】解：∵，叶片每秒绕原点O逆时针转动， ∴A点的坐标以每6秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第秒时，点的对应点的坐标与点绕原点O逆时针转动的对应点坐标相同，这时的点与点关于原点对称， 故第2025秒时，点的对应点的坐标为， 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，设，，代入计算求值即可． 【详解】解：， 设，， 则有． 10. 如图，在中，，分别是，的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知分别为的中点，利用三角形中位线定理可得与的数量关系，进而求解． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线． ． ， ． 11. 如图，在的正方形网格中点，，都在格点上，则_____ 【答案】## 【解析】 【分析】过点C作于点E，设小正方形网格的边长为1，利用求出，再利用勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：过点C作于点E，设小正方形网格的边长为1， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 12. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，已知图中阴影部分停车位的占地面积和为，设停车场内车道的宽度为，根据题意，可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是分析阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式列出方程． 将阴影部分拼接后可看作一个长方形，其长为停车场的长减去车道宽度，宽为停车场的宽减去车道宽度，再根据长方形面积公式列方程． 【详解】解：由题意可知，把阴影部分拼接起来，可形成一个长方形，这个长方形的长为米，宽为米， 根据长方形的面积公式“面积长宽”，已知阴影部分停车位的占地面积和为， 所以可列方程为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，利用角平分线的定义求出和的度数，再利用平行线的性质求出的度数，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长，证明为等腰三角形得到，最后在中求出的长即可求解． 【详解】解： 平分 在中， 在中， ． 14. 如图，矩形中，，连接，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交于点，连接． 下列四个结论： ①四边形是菱形；②；③；若， 则． 其中正确的结论是_______________．（填序号） 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】利用矩形的性质和线段垂直平分线证明，进而可得出四边形是菱形，无法证明或是平分线，即不可得出，由菱形的面积公式可得出，由菱形和矩形的性质即可证明，则过点E作交于点H，利用勾股定理即可求得，则为等边三角形，即可判定． 【详解】解： 根据作图可得是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确． ∵无法证明或是平分线， ∴无法确定，故②错误． 由菱形的面积可得，故③错误． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 过点E作交于点H，如图， 则， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 则．故正确． 综上：①④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，需熟记各特殊角的三角函数值，并正确计算绝对值和有理数运算． （1）运用特殊角的三角函数值计算； （2）运用特殊角的三角函数值计算和绝对值化简． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 16. 已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【解析】 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 17. 随着无人配送技术的持续迭代升级，该服务已在部分地区落地推行．年月，某无人配送站订单量为万单，通过技术优化与路线调整，月订单量增长至万单，若月平均增长率保持不变，求该配送站的月平均增长率． 【答案】该配送站的月平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该配送站的月平均增长率为，利用该配送站月订单量该配送站月订单量（该配送站的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该配送站的月平均增长率为． 根据题意，得， ， ， ， 解得：（舍），， 经检验，是方程的解，符合题意． 答：该配送站的月平均增长率为． 18. 已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 【答案】 证明：∵在四边形中，F、G分别是的中点． ∴是的中位线， ∴． 同理推知，是的中位线， 则． 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论． 【详解】略 19. 如图，某校宣传栏BC后面处种有一排与宣传栏平行的树，即，且相邻两棵树的间隔为．一人站在宣传栏前面的A处，正好看到DE两端的树，其余的树均被宣传栏挡住．若，则该宣传栏后面DE处共有多少棵树（不计宣传栏的厚度）？ 【答案】处共有棵树 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用——植树问题，解题时关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，树的棵数与间隔数的关系． 根据，得到，根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解线段的长度，再根据“树的棵数=间隔数”，求得树的棵数即可． 【详解】解：如图，延长交于点． ， ． ， ， ，即， ． （棵）， 处共有棵树． 故答案为：处共有棵树． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，E． （1）求证： （2）当时，求的面积 【答案】（1） 证明：如图，连接 的垂直平分线分别交于点， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接根据线段垂直平分线的性质可得 再求解 可得 从而可得答案； （2）根据，可得，从而得到，再由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶∵的垂直平分线分别交于点，， ∴， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，在线段上取一点，连接，使得； （2）图②中，在内部取一点，连接，使得； （3）图③中，在内部取一点，连接，使得． 【答案】（1） 点E为所求作； （2） 如图，与的交点为所求作； （3） 如图，与的交点为所求作． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的作图，掌握相似三角形的性质是作图的关键． （1）先连接，与的交点为的中点，连接，证明，从而得出； （2）先延长点在方格中的横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作； （3）先延长点在方格中的横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 【问题背景】中，，，为上的动点，小明拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转． 【用数学的眼光观察】 （1）如图①，当三角板的两边分别交、于点、时，以下结论正确的是：_____； ①；②；③；④． 【用数学的知识计算】 （2）当，时，则的值为_____； 【用数学的思维思考】 （3）将三角板绕点旋转到图②情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、，与相似吗？请说明理由． 【答案】（1）②③④ （2） （3） 解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，利用外角性质得出，即可证明，可判定②正确；根据相似三角形的性质可判定③④正确；根据没有边相等的条件，可得与不一定全等，可判定①错误；可得答案； （2）根据相似三角形的性质得出，代入各边长，即可得出的值； （3）根据外角性质得出，结合即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∴，，故③④正确， ∵没有边相等的条件， ∴与不一定全等，故①错误， ∴结论正确的是②③④． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【小问3详解】 略 23. 如图，，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） （1）请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围： （2）当是直角三角形时，求的值； （3）当与相似时，直接写出的值． 【答案】（1） ， （2）​或 （3）​或 【解析】 【分析】（1）因为点P的速度是每秒，从A出发沿运动，所以的长可直接用速度乘时间表示；因为，根据可表示出的长；所以先算出P、Q运动的最长时间，即可确定t的取值范围． （2）因为是直角三角形，且，所以分两种情况讨论：和；同时要注意t的取值范围，对解进行筛选． （3）因为与相似，且是公共角，所以分两种情况：和；根据对应边成比例，代入含t的代数式建立方程；结合t的取值范围，求解方程得到t的值． 【小问1详解】 ：点P速度为，点到达点用时， ∴ ， ：点Q速度为，从B走到A总用时，， ∴； 【小问2详解】 ， ∵， ∴直角只能是或，分情况讨论： ①当时， ， ∴． 当时，得 ，解得， 符合题意． 当时，，则，解得：，不符合题意． ②当时， ， ∴． 当时，代入得，解得，超出，舍去； 当时，，代入得，解得，符合题意． 综上，的值为​或． 【小问3详解】 两个三角形有公共角，仅需夹的两边成比例，分两种对应情况： 当（即）时：  当时，代入，得 ，解得，符合题意． 当时，代入，得 ，解得，不符合题意，舍去． 当（即）时： 当时，代入得，解得，不符合题意，舍去． 当时，，代入得，解得，符合题意． 综上，的值为​或． 24. 如图，在中，，，为锐角，且，动点从点出发，沿边向终点运动，连接，将绕点顺时针旋转得到线段． （1）点到的距离为_____； （2）当时，求的长； （3）当点在内部时，求的取值范围； （4）点是边上一点，且，当直线与的两边垂直时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，解即可； （2）先由勾股定理求解，设，则，再对运用勾股定理建立方程求解即可； （3）找出两个临界位置，即点在和上，结合旋转的性质构造全等三角形，再解直角三角形求解即可； （4）分两种情况讨论：当时，垂足记为点；当时，分别画出符合题意的图形求解． 【小问1详解】 解：过点作于点， 则， ∴点B到的距离为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 则， 设，则 ∵ ∴， 解得或 ∴的长为1或5； 【小问3详解】 解：当点重合时，则，如图： 由旋转可得， ∴此时点在边上，此时； 当点在边上时，如图，过点作于点， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， 设 ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， 解得 此时, ∴点Q在内部时，的取值范围为； 【小问4详解】 解：当时，垂足记为点，过点作于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴由三角形内角和定理可得， ∴， 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，如图： 同理可得， ∴， ∴， ∴； 综上：当直线与的某一边垂直时，的长为10或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $