精品解析：　吉林省吉林市丰满区吉林松花江中学2025-2026学年下学期八年级数学期中质量检测

吉林松花江中学八年级数学期中质量检测 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. C. D. 2，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，逐一验证即可得到结果． 【详解】解：A、， ∴ 不能构成直角三角形； B、 ， ∴ 不能构成直角三角形； C、 ， ，能构成直角三角形，符合题意； D、 ， ∴不能构成直角三角形． 2. 下列函数中是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是正比例函数，故此选项符合题意； B、的自变量在分母上，不是正比例函数，故此选项不合题意； C、的自变量的次数是2，不是正比例函数，故此选项不合题意； D、不是正比例函数，故此选项不合题意； 3. 如图，在中，，为的中点，若，则的长度是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结果. 【详解】解：在中，，为的中点，， ∴. 4. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对边相等 D. 对角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质．熟练掌握菱形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质，平行四边形的性质判断作答即可． 【详解】解：由题意知，菱形的对角线互相平分，对角线互相垂直，对边相等，对角相等； 平行四边形的对角线互相平分，对边相等，对角相等； ∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：B． 5. 实数在数轴上的位置如图所示，化简：的值是（ ） A. 1 B. C. -3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴可推出，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴  ． 6. 《中小学生午休课桌椅通用技术要求》国家标准于2026年2月1日起正式实施．《要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，在同一条直线上，靠背的长度为．下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】由的度数可求，再在中运用勾股定理可解答． 【详解】解：A、∵， ∴ 又， ∴，故选项A错误； B、由A知，故选项B错误； C、∵， ∴ 又， ∴， ∴，故选项C正确； D、由C知，故选项D错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 要使代数式有意义，则的值可以是____． 【答案】2026（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数， 因此列不等式得： 解得， 因此可以取任意大于或等于的数，此处取． 8. 将函数的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律即可求解． 【详解】解：将的图象向上平移个单位后，所得直线的解析式为：． 9. 如图，“辽契丹文八角铜镜”收藏于吉林省博物院，形状可看作正八边形，它的一个外角的度数是___________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】正多边形的外角和为360度，且正多边形的每一个外角的度数都相同，据此求解即可． 【详解】解： ∴它的一个外角的度数是 ． 10. 如图，在中，，则正方形的面积是________； 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积， 故答案为：20． 11. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，勾股定理的应用，关键是求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标．先求出直线与坐标轴的交点坐标，，再利用勾股定理计算出，然后根据圆的半径相等得到，进而求出的长，即可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得，则； ∴， 当时，，则， ∴， ∴， ∵以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C， ∴， ∴， ∴C的坐标为， 故答案为∶． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 13. 已知一次函数的图象经过M（0，2），N（1，3）两点，求此一次函数的解析式． 【答案】一次函数解析式为y=x+2 【解析】 【分析】设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把M（0，2），N（1，3）代入得到关于k，b的方程组，求出k和b的值即可． 【详解】设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 依题意得， 解得， ∴一次函数解析式为y=x+2． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交于点 ；②分别以点 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③连接并延长，交于点．求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】先结合平行四边形的性质，得出，根据作图过程得平分，进行等量代换得，等角对等边得，又结合30度角所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理列式计算得，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：过点作于点，则 四边形是平行四边形 ， 由尺规作图可知，平分， ， ， ， ， ， ， ； 由勾股定理得 的周长． 15. 如图所示，有经验的渔民叉鱼时，需瞄准看到鱼的下方才能精准叉到鱼．这是因为，水中鱼的实际位置为点O，鱼反射的光从水中斜射向空气时会发生折射，人眼看到的虚像位置升高到点，即鱼看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，，，渔民看到虚像的视线，水面到鱼实际位置的距离，求鱼的虚像和实际鱼的位置O之间的距离是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 在中利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴ 答：鱼的虚像和实际鱼的位置O之间的距离是． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． （1）在图①中以为边画一个面积为的平行四边形； （2）在图②中以为边画一个正方形； （3）在图③中以为边画一个菱形，且该菱形不是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合面积画图即可； （2）根据正方形的性质，利用勾股定理，结合网格特征画图即可； （3）根据菱形的性质，结合网格特征画图即可． 【小问1详解】 解：如图，，， ∴， ∴平行四边形即为所求． 【小问2详解】 解：如图，， 由网格特征可知，， ∴四边形是正方形，正方形即为所求． 【小问3详解】 解：如图，， ∵， ∴四边形是菱形，且不是正方形，菱形即为所求． 17. 已知函数，其中是自变量． （1）若此函数的图象平行于直线，求的值； （2）若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 【答案】（1） （2）；四 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，值相等，列出方程进行求解即可； （2）根据一次函数的增减性，求出的范围，根据的符号，判断函数经过的象限即可. 【小问1详解】 解：由题意，， 解得； 【小问2详解】 解：∵此函数值随值的增大而增大， ∴， ∴； ∵，， ∴函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限. 18. 像等两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）化简：________； （2）计算：； （3）已知正整数满足，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）将等式左侧进行分母有理化后，进行合并，根据恒等式的特点，确定的值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， 又∵， ∴， ∴． 19. 2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为，小松和小江行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题： （1）机器人小松比机器人小江先出发________； （2）机器人小江提速后的速度为________； （3）求的值． 【答案】（1）15 （2）30 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）先求出机器人小江的原速度，进而可知机器人小江提速后的速度； （3）先根据小江提速后的速度求出m的值，进而求出机器人小松的速度，进而可求n的值． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，机器人小松比机器人小江先出发； 【小问2详解】 解：机器人小江的原速度， ∵小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍， ∴机器人小江提速后的速度为； 【小问3详解】 解：∵， ∴； ∴机器人小松的速度为， ∴． 20. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6.5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，直角三角形的判定以及直角三角形斜中半定理，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行证明； （2）先根据勾股定理的逆定理，证得，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”求得的长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 21. 解决问题 （1）如图①，在中，点和点分别是、的中点．则与的关系是_______． （2）如图②，已知，，，分别是四边形各边的中点，与是四边形的对角线． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，则_______； ③直接写出当与满足怎样的关系时，四边形是正方形． 【答案】（1）， （2）①见解析；②；③， 【解析】 【分析】（1）运用中位线的判定与性质，即可作答 （2）①先结合中位线的判定与性质得出最后由一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形 ②根据先结合中位线的判定与性质得出，又因为四边形是平行四边形，故四边形是矩形，再结合勾股定理列式计算，即可作答． ③与②同理得出四边形是矩形，再结合一组邻边相等的矩形是正方形，即可作答． 【小问1详解】 解：∵点和点分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，； 【小问2详解】 解：①∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； ②由①得四边形是平行四边形, ， ∵ ∴ ∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 即， 连接， ． ③依题意，当，时，四边形是正方形，过程如下： 与②同理，由得出四边形是矩形； ∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． 22. 【教材呈现】如下是人教版八年级下册数学教材74页的部分内容． 例4 如图21.3-12，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．求证：四边形是菱形． 分析：已知，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形是平行四边形．由题意可知，还需证明． （1）【问题解决】请结合图①写出例4的证明过程； （2）【类比探究】在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图②，矩形中，，过对角线上一点，作的垂线，交边于点，求的长． 小明同学是这样思考的： 点是的中点，过点作的垂线，交、于点 （如图③），就可以证明；结合例4积累的经验，就可以求出的长． 请结合小明的思路回答下列问题： ①【问题一】结合图③证明：； ②【问题二】_________； ③【拓展应用】如图④，矩形中，，点分别是线段上的动点，且与互相垂直，则的最小值为________． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②；③ 【解析】 【分析】（1）先证出，则，则得出四边形是平行四边形，然后根据和菱形的判定即可得证； （2）①证出四边形是平行四边形即可得证； ②连接，，先求出的长，再根据菱形的性质可得，在中，利用勾股定理求出的长，进而利用勾股定理求出的长，得出的长即可； ③过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，连接，先求出，，则可得，进而可得当点三点共线时，的值最小，最小值为，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ②解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由例4可知，四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴． ③解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由（2）②得：，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点三点共线时，的值最小，最小值为， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林松花江中学八年级数学期中质量检测 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. C. D. 2，2，3 2. 下列函数中是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，为的中点，若，则的长度是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对边相等 D. 对角相等 5. 实数在数轴上的位置如图所示，化简：的值是（ ） A. 1 B. C. -3 D. 6. 《中小学生午休课桌椅通用技术要求》国家标准于2026年2月1日起正式实施．《要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，在同一条直线上，靠背的长度为．下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 要使代数式有意义，则的值可以是____． 8. 将函数的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式是___________． 9. 如图，“辽契丹文八角铜镜”收藏于吉林省博物院，形状可看作正八边形，它的一个外角的度数是___________． 10. 如图，在中，，则正方形的面积是________； 11. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为___________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 13. 已知一次函数的图象经过M（0，2），N（1，3）两点，求此一次函数的解析式． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交于点 ；②分别以点 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③连接并延长，交于点．求的周长． 15. 如图所示，有经验的渔民叉鱼时，需瞄准看到鱼的下方才能精准叉到鱼．这是因为，水中鱼的实际位置为点O，鱼反射的光从水中斜射向空气时会发生折射，人眼看到的虚像位置升高到点，即鱼看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，，，渔民看到虚像的视线，水面到鱼实际位置的距离，求鱼的虚像和实际鱼的位置O之间的距离是多少？ 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． （1）在图①中以为边画一个面积为的平行四边形； （2）在图②中以为边画一个正方形； （3）在图③中以为边画一个菱形，且该菱形不是正方形． 17. 已知函数，其中是自变量． （1）若此函数的图象平行于直线，求的值； （2）若此函数值随值的增大而增大，则的取值范围是______；该函数不经过第_______象限． 18. 像等两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）化简：________； （2）计算：； （3）已知正整数满足，直接写出的值． 19. 2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为，小松和小江行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题： （1）机器人小松比机器人小江先出发________； （2）机器人小江提速后的速度为________； （3）求的值． 20. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 21. 解决问题 （1）如图①，在中，点和点分别是、的中点．则与的关系是_______． （2）如图②，已知，，，分别是四边形各边的中点，与是四边形的对角线． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，则_______； ③直接写出当与满足怎样的关系时，四边形是正方形． 22. 【教材呈现】如下是人教版八年级下册数学教材74页的部分内容． 例4 如图21.3-12，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．求证：四边形是菱形． 分析：已知，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形是平行四边形．由题意可知，还需证明． （1）【问题解决】请结合图①写出例4的证明过程； （2）【类比探究】在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图②，矩形中，，过对角线上一点，作的垂线，交边于点，求的长． 小明同学是这样思考的： 点是的中点，过点作的垂线，交、于点 （如图③），就可以证明；结合例4积累的经验，就可以求出的长． 请结合小明的思路回答下列问题： ①【问题一】结合图③证明：； ②【问题二】_________； ③【拓展应用】如图④，矩形中，，点分别是线段上的动点，且与互相垂直，则的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $