专题01 定义、命题与证明重难点题型专训（2个知识点+9大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题01 定义、命题与证明重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+1拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 写出命题的逆命题 题型六 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型七 以代数为背景的推理与论证 题型八 定理与证明 题型九 互逆定理 拓展训练一 多条件命题推理证明 知识点一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列语句是命题的是（  ） A．加 B．任何一个数的绝对值不小于零 C．过点A作直线l的平行线 D．直线a与b垂直吗？ 2．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 知识点二：证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设__________． 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列语句属于命题的是（   ） A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！ C．画出两条相等的线段 D．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【例2】（25-26七年级下·重庆·月考）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 1．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 2．（25-26八年级上·全国·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期中）命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是______，结论是______． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【经典例题三 判断命题真假】 【例1】（25-26七年级下·山东滨州·期中）下列命题中，其中是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．同旁内角相等，两直线平行 C．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【例2】（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号） 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．若则 D．负数没有立方根 2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 3．（25-26八年级上·河南许昌·期末）观察下列算式： 算式：； 算式：； 算式：； (1)按照以上三个算式的规律，请写出算式：______； (2)上述算式用文字可表述为“比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差均能被整除”．若设偶数为（为正整数），请用含的式子表示这个规律，并证明； (3)请直接判断“比任意一个奇数大的数与此奇数的平方差均能被整除”是______命题．（填“真”或“假”） 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题．正确的反例是（   ） A．两个角互为邻补角 B．，的补角， C．，的补角， D．，的补角， 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用一组a，b的值说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，若小亮取a=3，则b=________． 1．（24-25七年级下·陕西延安·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形． (2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． (3)对于任意两数a，b，如果，那么． 【经典例题五 写出命题的逆命题】 【例1】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．同角的补角相等 B．关于某条直线对称的两个图形是全等形 C．等角的余角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是______．（填序号） 1．（25-26七年级下·福建龙岩·月考）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 3．（25-26七年级上·上海·寒假作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 【经典例题六 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 1．（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 2．（25-26八年级上·广西梧州·月考）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【经典例题七 以代数为背景的推理与论证】 【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·月考）甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为_______． 1．（2025八年级上·江苏泰州·模拟预测）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 2．（24-25七年级下·四川成都·月考）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 3．（25-26八年级上·北京东城·期中）破译密码：根据下面五个已知条件，可推断出正确的密码是______．    6 2 8 只有一个号码正确且位置正确 6 1 9 只有一个号码正确但位置不正确 8 7 6 只有两个号码正确但位置都不正确 5 3 2 三个号码都不正确 2 5 7 只有一个号码正确但位置不正确 【经典例题八 定理与证明】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【例2】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．（2025八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理：_____． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【经典例题九 互逆定理】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“平行四边形的对角线互相平分”的逆定理是（   ） A．对角线互相平分的图形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线不平分的四边形不是平行四边形 D．平行四边形的对角线不一定互相平分 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 1．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 2．（2025八年级上·全国·专题练习）互为逆定理的两个定理中，一个定理的_________和_________恰好是另一个定理的_________和_________． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【拓展训练一 多条件命题推理证明】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（   ） A．都大于 B．都小于 C．没有一个小于 D．没有一个大于 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 1．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）利用反证法证明命题“若一个的三边长、、有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“_____直角三角形”（填“是”或“不是”）. 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． A基础训练 1．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列命题中正确的个数有（    ） ①同旁内角互补；②点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段；③平移变换中，各组对应点连成的线段平行且相等；④在同一平面内，a，b，c是三条不重合的直线，若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·江西·月考）下列语句中，假命题有（   ） （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2025七年级下·浙江·专题练习）下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 5．（2025七年级下·全国·模拟预测）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 B 提高训练 6．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 7．（2026·北京石景山·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有____________个． 9．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 10．（24-25七年级下·四川成都·月考）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． C 培优训练 11．（2026·江苏盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 12．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，，，．求的度数． 13．（24-25七年级下·浙江金华·期末）对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数． (1)填空：2025_____稳定数（填“是”或“不是”）； (2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； (3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 15．（25-26模拟预测七年级下·北京·月考）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 定义、命题与证明重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+1拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 写出命题的逆命题 题型六 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型七 以代数为背景的推理与论证 题型八 定理与证明 题型九 互逆定理 拓展训练一 多条件命题推理证明 知识点一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列语句是命题的是（  ） A．加 B．任何一个数的绝对值不小于零 C．过点A作直线l的平行线 D．直线a与b垂直吗？ 【答案】B 【分析】本题考查命题的概念，根据“可以判断真假的陈述句”逐一判断选项即可得到答案． 【详解】A选项没有对事情做出判断，不符合题意． B选项对任意数的绝对值与0的大小关系做出了判断，同时是陈述句，符合命题的定义． C选项是作图操作指令，没有做出判断，不符合题意． D选项是疑问句，不是陈述句，不符合题意． 2．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】举反例说明其为假命题即可． 【详解】解：取，，符合， 此时， ∴如果，那么，这个命题是假命题． 知识点二：证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：反证法证明，若，则时，应假设， 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设__________． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法的证明．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可． 【详解】解： “已知．求证：”．第一步应先假设． 故答案为：． 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列语句属于命题的是（   ） A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！ C．画出两条相等的线段 D．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 【答案】D 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、是疑问句，没有对事件做出判断，不属于命题，不符合题意； B、是祈使句，没有对事件做出判断，不属于命题，不符合题意； C、是操作要求，没有对事件做出判断，不属于命题，不符合题意； D、对二元一次方程的概念做出了明确判断，符合命题的定义，属于命题，符合题意． 【例2】（25-26七年级下·重庆·月考）下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【答案】④ 【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题， ①对墙的颜色作出判断，是命题； ②对的运算结果作出判断，是命题； ③对的取值性质作出判断，是命题； ④仅为化简操作的指令，未对任何事情作出判断，不是命题． 1．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 【答案】D 【详解】此题考查了命题的定义， 根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．需逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假． 【分析】A．“画”是祈使句，描述动作而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题． B．“三条直线两两相交，有几个交点呢？”是疑问句，未陈述事实，无法判断真假，故不是命题． C．“今天真冷呀！”是感叹句，且“冷”是主观感受，无法客观判断真假，故不是命题． D．“天水是中国历史文化名城”是陈述句，且天水确为中国历史文化名城（事实为真），可明确判断真假，因此是命题． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 【答案】（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题 【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 根据命题的定义即可求解． 【详解】解：由命题的定义可得（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题． 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期中）命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____． 【答案】两条平行线被第三条直线所截 【分析】命题的一般叙述形式为“如果……那么……”，其中“如果”所引出的部分是题设，“那么”所引出的部分是结论． 【详解】解：命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”可改写为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”，因此这个命题的题设为两条平行线被第三条直线所截． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ， （两直线平行，同旁内角互补） ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是______，结论是______． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可求解． 【详解】解：如果，那么， ∴这个命题的条件是，结论是， 故答案为：①，② ． 3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【答案】(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 【经典例题三 判断命题真假】 【例1】（25-26七年级下·山东滨州·期中）下列命题中，其中是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．同旁内角相等，两直线平行 C．如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】根据直角的性质 平行线的判定 实数的性质 垂直的基本定理，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】解：∵所有直角的度数都是 ∴如果两个角是直角，那么它们相等，故A是真命题； ∵平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，不是同旁内角相等，两直线平行 ∴B是假命题； ∵若两个实数的平方相等，则两个实数相等或互为相反数，例如，但 ∴C是假命题； ∵只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项未限定同一平面 ∴D是假命题． 【例2】（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，已知题设：，下列结论中：①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有______．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，由可推出和，进而利用等式的性质判断结论④，对于结论①和③，需要或四边形为平行四边形才能成立，题设条件不足． 【详解】解：∵ ， ∴，故结论②是真命题， ∵ ， ∴ ， ∴，即，故结论④是真命题； 与是直线与被直线所截形成的内错角，只有当时，才成立，题设未给出，故结论①不是真命题 只有当四边形是平行四边形时，对角才成立，题设仅给出，无法判定四边形是平行四边形，故结论③不是真命题； 综上所述，与题设组成的命题是真命题的有②④． 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．等腰三角形的两底角相等 C．若则 D．负数没有立方根 【答案】B 【分析】根据所学的数学知识，真命题的定义，判断解答即可． 本题考查了真命题，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： ∵ A项中同位角相等需两直线平行，否则不一定相等， ∴ 本选项假命题，不符合题意； ∵ B项中等腰三角形两腰相等，根据等边对等角，两底角相等， ∴本选项真命题，符合题意； ∵ C项中若，则， ∴ 本选项假命题，不符合题意； ∵ D项中负数有立方根， ∴ 本选项假命题，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，则 假 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 3．（25-26八年级上·河南许昌·期末）观察下列算式： 算式：； 算式：； 算式：； (1)按照以上三个算式的规律，请写出算式：______； (2)上述算式用文字可表述为“比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差均能被整除”．若设偶数为（为正整数），请用含的式子表示这个规律，并证明； (3)请直接判断“比任意一个奇数大的数与此奇数的平方差均能被整除”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)真． 【分析】本题考查了完全平方公式应用，判断命题真假，数字类规律探索，掌握知识点的应用是解题的关键． （）观察算式的规律，即可得到答案； （）设偶数为（为正整数），则，即可证明命题； （）设奇数为（为整数），则，即可求解． 【详解】（1）解：算式：； 算式：； 算式：； ， 算式：； 故答案为：； （2）解：， 证明：设偶数为（为正整数）， ∴ ， ∵能被整除， ∴比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差均能被整除； （3）解：设奇数为（为整数）， ∴ ， ∵能被整除， ∴比任意一个奇数大的数与此奇数的平方差均能被整除，是真命题， 故答案为：真． 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题．正确的反例是（   ） A．两个角互为邻补角 B．，的补角， C．，的补角， D．，的补角， 【答案】C 【分析】本题考查补角的定义，以及假命题的反例，解题的关键要熟记补角的定义，然后进行判断即可． 【详解】解：“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题． 其反例应满足“存在一个角的补角小于这个角”， A、两个角互为邻补角，无法判断大小，不符合题意； B、，的补角，，即补角等于这个角，不符合题意； C、，的补角，，即补角小于这个角，符合题意； D、，的补角，，即补角大于这个角，不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）用一组a，b的值说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，若小亮取a=3，则b=________． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】找出一个小于3的值，使a2＜b2即可得答案． 【详解】当b=-4时， ∵3＞-4，32＜42， ∴“若a>b，则a2>b2”是假命题， 故答案为：-4 【点睛】本题考查命题，正确找出反例是解题关键． 1．（24-25七年级下·陕西延安·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反例，理解反例的概念是解题的关键． 根据反例就是要符合命题的题设，但不符合命题的结论的例子逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴a和b必为一正、一负，故A、D两个选项，不符合题意； B．符合，但与结论相反，即该选项是命题的反例，符合题意； C．符合，但与结论相符，即该选项不是命题的反例，不符合题意． 故选：B． 2．（2025·北京·模拟预测）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形． (2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． (3)对于任意两数a，b，如果，那么． 【答案】(1)原命题真，见解析；逆命题假，反例：直角三角形角度45°，45°，90°． (2)原命题真，见解析；逆命题真，见解析． (3)原命题假，反例见解析 ；逆命题假，反例：取，，，满足，但． 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键． （1）原命题：设内角为x，，，用内角和定理求角，验证最大角为，判定为真．逆命题：举等腰直角三角形（内角比）的反例，判定为假． （2）原命题：用相反数定义（）推导和为0，判定为真．逆命题：由和为0推出，符合相反数定义，判定为真． （3）解题思路原命题：举的例子，验证，判定为假．逆命题：举的例子，验证但，判定为假． 【详解】（1）原命题：如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形． 真命题． 证明：设三个内角分别为x，，，由内角和为得，解得，最大角为，故为直角三角形． 逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么它的三个内角的度数之比为． 真假判断：假命题． 反例：等腰直角三角形的度数为45°，45°，90°，内角比为，不是． （2）原命题：两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． 真假判断：真命题． 证明：互为相反数的两个数满足（），则． 逆命题：两个非0数，如果它们的和等于0，那么这两个数互为相反数． 真假判断：真命题． 证明：若（），则，符合相反数的定义． （3）原命题：对于任意两数a， b，如果，那么． 真假判断：假命题． 反例：取，满足，但，，此时，不满足． 逆命题：对于任意两数a， b，如果，那么． 真假判断：假命题． 反例：取，，，满足，但． 【经典例题五 写出命题的逆命题】 【例1】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．同角的补角相等 B．关于某条直线对称的两个图形是全等形 C．等角的余角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】先将原命题改写成“如果…那么…”的形式，互换题设和结论得到逆命题，再根据相关几何概念和定理逐一判断逆命题的真假即可． 【详解】A项：原命题为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”，逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角”，也可能是等角的补角，故逆命题错误； B项：原命题为“如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形是全等形”，逆命题为“如果两个图形是全等形，那么这两个图形关于某条直线对称”，全等图形位置任意，不一定关于某条直线对称，逆命题错误； C项：原命题为“如果有两个角是相等的角的余角，那么它们相等”，逆命题为“如果有两个角相等，那么这两个角是相等的角的余角”，也可能是同角的余角，故逆命题错误； D项：原命题为“如果两条直线平行，那么同旁内角互补”，逆命题为“如果同旁内角互补，那么两条直线平行”，这是平行线的判定定理，逆命题正确． 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是______．（填序号） 【答案】 【分析】此题考查了互逆命题，根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数，是真命题， 则它逆命题为：如果一个数为负数，那么这个数的立方根是负数，是真命题， ∴该命题和它的逆命题都是真命题， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·福建龙岩·月考）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 【答案】C 【分析】先确定逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】、“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，此命题的逆命题正确，不符合题意； 、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的逆命题是“平行四边形的两组对边分别相等”，此命题的逆命题正确，不符合题意； 、“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，此命题的逆命题不正确，符合题意； 、“若，则”的逆命题是“若，则”，此命题的逆命题正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了命题与逆命题，熟练掌握基础知识是解题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题的真假性． 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 3．（25-26七年级上·上海·寒假作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 【答案】(1)原命题是真命题．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题． (2)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是假命题． (3)原命题是真命题．逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题． (4)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是真命题． 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； 【详解】（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题； （2）解：∵，，满足，但不满足； ∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题； 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （3）解：∵相反数的和为零， ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题； （4）解：∵当时，或． ∴原命题是假命题； 逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题． 【经典例题六 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 1．（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 2．（25-26八年级上·广西梧州·月考）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【详解】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【经典例题七 以代数为背景的推理与论证】 【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·月考）甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为_______． 【答案】2人 【分析】本题考查理解题意的能力，准确理解运用每人各自中靶的环数之积都是72和4人中靶的总环数恰为4个连续整数条件成为解题的关键． 根据所给的每人各自中靶的环数之积都是72，找到乘积是72的所有情况，那样能找出每个人的打靶环数的可能情况，根据4人中靶的总环数恰为4个连续整数，据此即可解答． 【详解】解：，共7种情况，在这7种情况中，总环数分别为， 人中靶的总环数恰为4个连续整数， 其中3个人的总环数一定为15，14，13，第4个人总环数为16或， 打中过4环的人数为2人． 故答案为：2人． 1．（2025八年级上·江苏泰州·模拟预测）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 【答案】 【分析】此题主要考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 【详解】解：首先两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大，所以越大，乘积越大， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为：． 2．（24-25七年级下·四川成都·月考）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 3．（25-26八年级上·北京东城·期中）破译密码：根据下面五个已知条件，可推断出正确的密码是______．    6 2 8 只有一个号码正确且位置正确 6 1 9 只有一个号码正确但位置不正确 8 7 6 只有两个号码正确但位置都不正确 5 3 2 三个号码都不正确 2 5 7 只有一个号码正确但位置不正确 【答案】798 【分析】先判断出密码中必有数字7且在百位上，再判断出密码中必有式子8且在个位上，最后判断出密码中必有9，即可得出结论． 【详解】解：密码532，三个号码都不正确， 密码中没有数字：2，3，5， 密码257只有一个号码正确但位置不正确， 密码中必有数字7，并且不能在个位， 密码876只有两个号码正确，但位置都不正确， 密码7不能在十位，密码中8，6只有一个正确， 密码中的7只能在百位， 密码628中只有一个号码正确且位置正确， 密码中必有数字8，且在个位， 密码619中只有一个号码正确当位置不正确， 密码中只有数字9，且在十位， 正确的密码为798， 故答案为：798． 【点睛】此题是推理与论证题目，判断出密码中必有数字7且在百位上是解本题的关键． 【经典例题八 定理与证明】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 2．（2025八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理：_____． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】任意写出一个角相等的定理即可． 【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】见解析． 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 【详解】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 【经典例题九 互逆定理】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“平行四边形的对角线互相平分”的逆定理是（   ） A．对角线互相平分的图形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线不平分的四边形不是平行四边形 D．平行四边形的对角线不一定互相平分 【答案】B 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：∵“平行四边形的对角线互相平分”的题设为“四边形是平行四边形”，结论为“对角线互相平分”， ∴“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”， ∵“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题， ∴定理“平行四边形的对角线互相平分”的逆定理是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 1．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）互为逆定理的两个定理中，一个定理的_________和_________恰好是另一个定理的_________和_________． 【答案】 条件 结论 结论 条件 【分析】本题考查了逆定理．根据逆定理的定义，互为逆定理的两个定理中，一个定理的条件和结论分别是另一个定理的结论和条件． 【详解】解：设原定理为“若，则”，其逆定理为“若，则”． 因此，原定理的条件和结论恰好是逆定理的结论和条件． 故答案为：条件、结论、结论、条件 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【拓展训练一 多条件命题推理证明】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（   ） A．都大于 B．都小于 C．没有一个小于 D．没有一个大于 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，找出至少有一个大于或等于的反面，得到答案． 【详解】解：已知五个正数的和等于1， 用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于， 先要假设这五个正数都小于， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 1．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）利用反证法证明命题“若一个的三边长、、有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“_____直角三角形”（填“是”或“不是”）. 【答案】是 【分析】此题考查了反证法，根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可，解题的关键是正确理解反证法的意义及步骤． 【详解】利用反证法证明命题“若一个的三边长、、有关系时，则这个三角形不是直角三角形”，第一步要先假设“是直角三角形”， 故答案为：是． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． A基础训练 1．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列命题中正确的个数有（    ） ①同旁内角互补；②点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段；③平移变换中，各组对应点连成的线段平行且相等；④在同一平面内，a，b，c是三条不重合的直线，若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】逐个判断四个命题的真假，统计正确命题的个数即可． 【详解】解：①只有两直线平行时，同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，故①错误． ②点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，垂线段本身是图形，不是距离，故②错误． ③平移变换中，对应点连成的线段可能共线，命题只说平行，表述错误，故③错误． ④在同一平面内讨论直线位置关系，同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，当时，，故④正确． 综上，正确的命题只有1个． 2．（25-26七年级下·江西·月考）下列语句中，假命题有（   ） （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，判断为真的命题就是真命题，判断为假的命题就是假命题． 根据平行线的基本事实，平行线的性质和判定等，逐项判断，即可求解． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； （2）不相等的两个角一定不是对顶角，是真命题； （3）直角的补角必是直角，是真命题； （4）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； （5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； （6）两角之和为，这两个角不一定是邻补角，原命题是假命题； （7）若则，是真命题． 假命题有4个． 故选：C 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 4．（2025七年级下·浙江·专题练习）下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法． 【详解】解：假设：“好”，则“客”，因为积的末尾是“客”，故“好”或9．若“好”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，则“居”，因为不同的汉字代表不同的数字，引出矛盾．故“好”．显然“好”； 假设：“好”，因为积是五位数，则“客”，因为积的末尾是“客”，故只有“客”，从而“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，因为积是五位数，不同的汉字代表不同的数字，则“客“，但若“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“客”，因为积的末尾是“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾． 故只有“好”． 故选：C． 5．（2025七年级下·全国·模拟预测）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． B 提高训练 6．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）“两边相等的三角形是等腰三角形”有逆定理吗？______．（填“有”或“没有”） 【答案】有 【分析】本题考查的是逆定理，原命题是等腰三角形的定义，其逆命题“等腰三角形有两边相等”也成立，因此有逆定理． 【详解】解：原命题“两边相等的三角形是等腰三角形”是等腰三角形的定义，其逆命题为“等腰三角形有两边相等”，该逆命题同样成立，故存在逆定理． 故答案为：有． 7．（2026·北京石景山·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件，此时，，且，故不满足，故可以说明该命题是假命题． 8．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有____________个． 【答案】1 【分析】根据平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算进行判断即可． 【详解】解：①两条直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； ②如果，那么或，故原命题是假命题； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故原命题是真命题； ④例如，则，故原命题是假命题； 即真命题的有1个， 故答案为：1． 【点睛】本题考查命题与定理、平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 10．（24-25七年级下·四川成都·月考）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． C 培优训练 11．（2026·江苏盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 【答案】真命题，证明见解析 【分析】根据不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变 ,可得， ，由此即可判断命题的真假性． 【详解】证明： ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ 因此原命题是真命题． 12．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线性质以及三角形外角的性质，掌握平行线性质和三角形外角的性质是解题的关键. 根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角的性质即可解答. 【详解】解：如图，延长交于点M． ， ， ． 又， ． 13．（24-25七年级下·浙江金华·期末）对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数． (1)填空：2025_____稳定数（填“是”或“不是”）； (2)已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； (3)命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2)1908或1919 (3)是假命题，见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，真假命题的判定，二元一次方程的整数解的含义； （1）根据稳定数的定义可得答案； （2）设十位数字为，个位数字为，根据题意，得，可得，再进一步求解即可； （3）举反例可得：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039，可得四位数5039不是稳定数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴2025不是稳定数； （2）解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得 ∴或 所求的稳定数为1908或1919． （3）解：是假命题，反例如下： 四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039 然而四位数5039不是稳定数 “两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 15．（25-26模拟预测七年级下·北京·月考）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 【答案】同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案． 【详解】解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行， 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线， 这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $