专题01 整式乘法重难点题型专训（3个知识点+9大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

该初中数学整式乘法专题复习讲义通过知识框架系统梳理了3个核心知识点，以单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式为脉络，结合法则解析和即时训练，呈现从基础到综合的递进关系，突出运算规律和易错点。 讲义亮点在于分层题型设计，9大基础题型覆盖计算、求值等核心能力，4项拓展训练融入图形面积（如阴影面积计算）、规律探究（如多项式乘法规律）等，培养几何直观与推理意识。自我检测分基础、提高、培优层，助力学生阶梯提升，教师可据此实施精准教学。

专题01 整式乘法重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 (x+p)(x+q)型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式的化简求值 拓展训练一 整式乘法混合运算 拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积 拓展训练三 多项式乘法中的规律性问题 拓展训练四 整式乘法中的新定义计算 知识点一：单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【即时训练】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘单项式法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积，保留原有单独字母即可得到结果． 【详解】解： = ． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算：______． 【答案】6 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式乘以单项式的运算法则为：系数相乘，同底数幂相乘，指数相加，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 知识点二：单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【即时训练】 1．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，需运用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘再将所得的积相加．先运用乘法分配律将式子展开，再计算各项结果，最后与选项对比得出答案 【详解】解：， 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆合川·期末）计算：_____． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 知识点三：多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算，所得结果的一次项系数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，直接利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可. 【详解】解： ； ∴结果的一次项系数是； 故选A 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则______． 【答案】2 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则展开，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，正确计算是解题的关键． 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（24-25七年级下·安徽池州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：A． 【例2】 （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）定义新运算：，则的运算结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，单项式的乘法、合并同类项，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算即可求解． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·甘肃天水·月考）的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了单项式乘以单项式．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解： 故选：A 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）“三角”表示，“方框”表示，则________． 【答案】 【分析】考查新定义和单项式与单项式相乘相结合，按照法则计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．（2025七年级上·广东江门·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，设，，则，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：设，， 则， 原式 ． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）与互为倒数，则=________． 【答案】6 【分析】本题考查了倒数的性质，互为倒数的两数乘积为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ 故答案为：． 1．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例1】（2025七年级下·河南·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；通过单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，即可解答． 【详解】解： ， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为______ （提示：） 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据前几个式子得到规律，，即可求解． 【详解】解：根据规律可得 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【详解】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）脱式计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)885 【分析】该题考查了有理数的混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是正确计算． （1）先计算括号，再计算除法； （2）先计算括号内的除法，再计算括号内的加减法，再计算括号外的除法； （3）令，，则，代入化简即可求解； （4）按分母分组后即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：令，， 则， ． （4）解： ． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期中）如果，那么的值为（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式、正数和负数，熟练掌握单项式乘多项式是解本题的关键． 根据有理数的乘法的法则可得答案． 【详解】解：， ，， ． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对定义一种新运算：．如：．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为_______．（用含有m和n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图1和图2的阴影面积，可推出，则可推出，图3的阴影面积，据此求解即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即 ∴图3的阴影面积， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·期中）如图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米，米，则房子的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)96平方米 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减法与求值，依据题意，正确列出代数式是解题关键． （1）将房子各区域的面积相加即可； （2）将x、y的值代入（1）的结论即可得房子的面积． 【详解】（1）解：这套房子的总面积为： ， （平方米）， 答：这套房子的总面积为平方米； （2）解：当米，米时， 房子的面积（平方米）， 答：房子的面积为96平方米． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 1．（25-26八年级上·北京·开学考试）若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，，…，都是正数，如果， ，那么M，N的大小关系是 （   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，将和用表示后，通过作差法判断的符号即可求解． 【详解】设， ∴， ， ∴ ， ∵，，…，都是正数， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，通过错误的计算结果逆向求出参数的值，再代入正确的整式乘法式子计算正确结果． 【详解】解： ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项． 设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果． 【详解】 解：设 “” 为正数a，则， ∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁． 若，得且， 均解得，故甲符合题意； 若，得且， 解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意； 综上，只有甲符合题意， 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把一个多项式乘以错抄成除以，结果得到，则该多项式是______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，根据多项式乘多项式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可知该多项式为： 故答案为： 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【答案】（1）；；；；（2）发现的规律为（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】（1）通过多项式乘法法则，计算前几个具体的多项式乘积，得到对应结果，为规律探究提供基础。 （2）根据前几步的计算结果，归纳出一般规律，再通过多项式展开的方法对规律进行证明，验证其正确性。 （3）将所求的等比数列求和式进行变形，构造出符合所发现规律的形式，代入规律公式进行简便计算。 【详解】（1）解：； ； ； ； …… 故答案为：；；； （2）解：根据以上等式发现：，理由如下： ∵左边 右边， ∴； （3）解： 【经典例题七 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据多项式的乘法法则即可化简求解． 【详解】∵， ∴ ， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则． 【例2】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，观察两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，且（a，b均为整数），则______，______． 【答案】 3 【分析】本题考查规律探索，观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到和，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，，或，， ∵， ∴，， 故答案为：；3． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】根据，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 2．（24-25七年级下·江西抚州·月考）若，则______，______． 【答案】 9 / 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，第一空根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，据此代值计算即可；第二空根据积的乘方的逆运算法则和同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ； 故答案为：9；． 3．（25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（24-25八年级上·河南三门峡·期末）若式子的计算结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出的结果，再根据结果中不含的一次项，即含的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵式子的计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·吉林·月考）要使关于多项式化简后不含的二次项，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 根据题意，得，结合展开式中不含，得，解答即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含， ∴， 解得． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，整式的加减运算，根据为常数，可得化简后式子中x项的系数为0，由此可解． 【详解】解： ， 与的积减去与的积，其差为常数， ， ， 故选C． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，____________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程． 根据题意，表达式在取不同值时结果恒为，说明表达式与无关，因此的系数和的系数均为，结合，可求解和的值． 【详解】解：展开并化简表达式： ∵表达式值恒为， ∴与无关， 则，, ∴ ∴ 解得： 因此，, 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·月考）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 【经典例题九 多项式乘多项式的化简求值】 【例1】（24-25八年级上·山西临汾·期中）已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 【答案】A 【分析】由多项式乘以多项式进行化简和变形，然后整体代入计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则正确的进行化简是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 1．（2025七年级下·湖南邵阳·模拟预测）实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是求代数式的值．熟练掌握多项式乘多项式法则，等式变形，整体代入，是解题的关键． 根据整式的乘法法则计算，结果中保留，由得，根据即得． 【详解】解：∵ ， 且， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·安徽六安·月考）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则______； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是_____． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）（1） 化简：； （2） 先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2），24 【分析】本题考查整式的化简和求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接合并同类项化简即可； （2）先去括号，合并同类项，再代入数值计算． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 【拓展训练一 整式乘法混合运算】 【例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】根据整式乘法的混合运算法则进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解：原式 当，时， 原式 【点睛】本题考查整式的乘法混合运算，解题的关键是熟练运用整式乘法的混合运算法则，本题属于基础题型． 1．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据题意列出抄错的式子计算，得到A即可； （2）把（1）中的结果代入原式计算得到正确答案即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， （2）解：由（1）知： ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了整式的加减和整式的乘除，解决此题的关键是先根据题意算出A，再把A代入原式子得到正确答案，解决此题的关键是读懂题意，正确算出A的式子． 2．（2025·河北沧州·一模）如图，将上层的两个关于的整式（，为常数）相乘得到下层的整式． (1)求和的值； (2)记，，若为整数，试判断的结果能否被4整除？说明理由． 【答案】(1)， (2)能被4整除，理由见解析 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算出，再根据题意可得，，即可得到答案； （2）先将（1）中和的值代入，再根据运算法则求得，结合为整数，即可判断． 【详解】（1）解：由题意，， ， ，， 解得：，． （2）解：能被4整除，理由如下， ，， ，， ， 为整数， ，是两个连续的整数，其中必有一个为偶数， 能被4整除，即的结果能被4整除． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 【拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·广东汕尾·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 【答案】23 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于23张． 故答案为：23． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘法是解题的关键；根据图形可利用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图形得阴影部分的面积为： ． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 【答案】(1)； (2)660000． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及整式的运算，熟练掌握用割补法求不规则图形的面积和代数式的运算是解题的关键． （1）用大矩形的面积减去凹进去的小矩形的面积，即可表示出广场的面积． （2）将、的值代入（1）中得到的面积表达式，求出广场的面积，再乘以每平方米的费用，即可得到总费用． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：当米，米时， 平方米， 总费用(元) 3．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【拓展训练三 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（24-25七年级下·四川达州·期中）观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现：， 当，时，得 ， ． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）观察下列各式及其展开式： 请你猜想的展开式第三项的系数是_________． 【答案】45 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索，由题意可得出第个式子中，第三项的系数为，再结合为第个式子，代入计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：第1个式子中，第三项的系数为， 第2个式子中，第三项的系数为， 第3个式子中，第三项的系数为， 第4个式子中，第三项的系数为 …， ∴第个式子中，第三项的系数为， ∴的展开式第三项的系数，即第个式子中，第三项的系数为， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·四川达州·月考）（1）【观察】 ①_____； ②______； ③______；… （2）【猜想】由此可得： ______； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 【答案】（1）①；②；③；（2）；（3） 【分析】本题考查了多形式与多项式的乘法的规律问题，灵活运用规律求解是解答本题的关键． （1）根据多项式乘以多项式解答即可； （2）根据已知等式找出规律解答即可； （3）根据（2）规律解答即可． 【详解】解：（1）①； 故答案为： ②； 故答案为： ③； 故答案为： （2）由此可得：； 故答案为：； （3）原式 ． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 3．（25-26八年级上·北京·月考）数学活动课上，学习小组发现：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．为了探究这一结论所蕴含的数学规律，计算了下列三组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值）． 第一组 第二组 第三组 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． (1)发现如下规律：两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积___________（填“越大”或“越小”或“不变”）； (2)若两个正数的和为，设这两正数分别为和．请你利用整式乘法的知识解释上述规律； (3)请用上述规律解决问题：的最大值是___________． 【答案】(1) 越大 (2) 见解析 (3) 【分析】本题考查数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题． （1）比较每组中两个数的和、差、积，即可求解； （2），，当越小时，越小，越大，即可求解； （3），，由（1）可得当时，取得最大值，把代入计算即可． 【详解】（1）解：第一组：， ，，，， ， ， 第二组：， ，，，， ， ， 第三组：， ，，，， ， ， ∴两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积越大． 故答案为：越大． （2）解：∵两正数分别为和， ∴这两正数差的绝对值为， ∵为定值，，， ∴ 当越小时，越小，越大， ∴当越小时，和的积越大， 当时，和的积最大为． ∴两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积越大． （3）解：，， 由（1）可得，越小，越大， ∵， ∴当时，取得最大值，此时取得最大值， 由可得， 解得， 当时，． ∴的最大值是． 故答案为：． 【拓展训练四 整式乘法中的新定义计算】 【例1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有，例如：，由此可知等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的混合运算，读懂题目中定义的新运算是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·江西南昌·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则． 一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即） ， 如果， 则称B是A的“好多项式”， 如果， 则称B是A的“极好多项式”． 若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的乘法及项数的理解，熟练掌握多项式的乘法是解题关键．根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【详解】解： ， ∵B是A的“极好多项式”，则， 即，只有两项， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是先根据二阶行列式的定义将所求行列式转化为整式的减法运算，再利用多项式乘多项式法则和平方差公式展开并化简，最后代入的值计算． 【详解】解：根据二阶行列式的定义， ， 当时，原式． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 3．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． A基础训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 利用单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意；     D．，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若多项式，为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等，利用多项式乘以多项式的运算法则可得，即可得，进而由多项式相等的条件可得，，解之即可求解，弄清多项式相等的条件是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， 解得，， 故选：． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 4．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）关于x的二次三项式，关于x的三次三项式，下列说法中正确的个数为（    ） ①当多项式乘积不含时，则； ②当M能被整除时，； ③； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． ①根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再由题意可得； ②由题意可知，则，即可求得； ③由题意可得，从而得到，分别求出c、d、e的值即可判定． 【详解】解：① 多项式乘积不含， ，则， 故①符合题意； ②， ， 即， 故②符合题意； ③， ， ， 解得：， ， 故③不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为b的小正方形的面积为10， 故选：B． B 提高训练 6．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的运算，方法一：利用多项式乘以多项式法则计算得，则，再代入计算即可；方法二：把代入等式即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴， ∴， ∴； 方法二：当时，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 8．（25-26八年级上·山东济宁·月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式的运算，熟练掌握单项式乘多项式“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式的法则计算左边式子，再通过对比等式两边确定被污染的部分． 【详解】解： ， ∵， ∴对比得，即． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列各式的规律： ； ； ； … 可得______． 【答案】/ 【分析】本题考查整式乘法的运算规律，先根据算式结果的特点归纳出此种算式的规律，再运用该规律进行求解．解题的关键是能准确归纳出该运算规律． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·北京·期中）在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，利用图形正确列式是解题的关键．用长方形面积减去空白部分的面积分别表示出、，再利用整式的混合运算计算它们的差即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， 由得， 解得：， 故答案为：． C 培优训练 11．（24-25八年级上·甘肃武威·月考）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握该运算规则是解题的关键．对代数式，先计算乘法，然后去括号，接着从左到右进行计算，得到答案，从而得证． 【详解】解： 是任意的正整数， 总能被6整除 对于任意的正整数，代数式的值总能被6整除． 12．（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 14．（24-25七年级下·重庆江津·月考）如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”． （1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为______； （2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是______． 【答案】 32，46 【分析】本题考查多项式乘以多项式和新定义“友谊数对”，理解和掌握新定义是解题的关键，需要学生具备一定的分析能力． （1）根据“友谊数对”的定义即可得到，，，之间满足的等量关系，化简得； （2）根据列等式，化简解方程可得的值，可得这两个两位数． 【详解】解：（1）∵和是一对“友谊数对”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵和是一对“友谊数对”，，，，，， ∴， ∴， 解得， ∴，，，， ∴两个两位数分别是，． 故答案为：，． 15．（25-26八年级上·河南南阳·月考）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和，按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有______项；的系数和是______； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是______． (3)运用：若今天是星期四，那么再过天是星期______． 【答案】(1)6；64 (2)①1；② (3)五 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案； ②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1， 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1； 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1， ∴的系数和为： ； （2）解：① ； ②展开后共项， 第一项是：， 第二项是：， 第三项是：， 第三项是：， 即的展开式中含项的系数是； （3）解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为， 因此今天是星期四，再过天是星期五． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式乘法重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 (x+p)(x+q)型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式的化简求值 拓展训练一 整式乘法混合运算 拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积 拓展训练三 多项式乘法中的规律性问题 拓展训练四 整式乘法中的新定义计算 知识点一：单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【即时训练】 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算：______． 知识点二：单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【即时训练】 1．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆合川·期末）计算：_____． 知识点三：多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算，所得结果的一次项系数是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则______． 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（24-25七年级下·安徽池州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）定义新运算：，则的运算结果是_______． 1．（24-25八年级上·甘肃天水·月考）的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）“三角”表示，“方框”表示，则________． 3．（2025七年级上·广东江门·专题练习）计算： 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）与互为倒数，则=________． 1．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则____________． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例1】（2025七年级下·河南·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为______ （提示：） 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 3．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）脱式计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期中）如果，那么的值为（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对定义一种新运算：．如：．计算：___________． 1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为_______．（用含有m和n的式子表示） 3．（24-25七年级上·全国·期中）如图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米，米，则房子的面积为多少平方米？ 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则______． 1．（25-26八年级上·北京·开学考试）若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 3．（24-25八年级上·河南周口·月考）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知，，…，都是正数，如果， ，那么M，N的大小关系是 （   ） A． B． C． D．不确定 【例2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把一个多项式乘以错抄成除以，结果得到，则该多项式是______． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【经典例题七 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【例2】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，观察两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，且（a，b均为整数），则______，______． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）【阅读材料】代数式大小的比较 我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以． 【解决问题】若，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．由的取值而定 2．（24-25七年级下·江西抚州·月考）若，则______，______． 3．（25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（24-25八年级上·河南三门峡·期末）若式子的计算结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 【例2】（24-25七年级上·吉林·月考）要使关于多项式化简后不含的二次项，则m的值为________． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，____________． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·月考）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【经典例题九 多项式乘多项式的化简求值】 【例1】（24-25八年级上·山西临汾·期中）已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 【例2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 1．（2025七年级下·湖南邵阳·模拟预测）实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 2．（24-25七年级下·安徽六安·月考）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则______； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是_____． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）（1） 化简：； （2） 先化简，再求值：，其中，． 【拓展训练一 整式乘法混合运算】 【例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算：． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 1．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 2．（2025·河北沧州·一模）如图，将上层的两个关于的整式（，为常数）相乘得到下层的整式． (1)求和的值； (2)记，，若为整数，试判断的结果能否被4整除？说明理由． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【拓展训练二 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东汕尾·期末）某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）计算图中阴影部分的面积． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 3．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【拓展训练三 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（24-25七年级下·四川达州·期中）观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）观察下列各式及其展开式： 请你猜想的展开式第三项的系数是_________． 1．（24-25七年级下·四川达州·月考）（1）【观察】 ①_____； ②______； ③______；… （2）【猜想】由此可得： ______； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 3．（25-26八年级上·北京·月考）数学活动课上，学习小组发现：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．为了探究这一结论所蕴含的数学规律，计算了下列三组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值）． 第一组 第二组 第三组 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． (1)发现如下规律：两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积___________（填“越大”或“越小”或“不变”）； (2)若两个正数的和为，设这两正数分别为和．请你利用整式乘法的知识解释上述规律； (3)请用上述规律解决问题：的最大值是___________． 【拓展训练四 整式乘法中的新定义计算】 【例1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有，例如：，由此可知等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江西南昌·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则． 一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即） ， 如果， 则称B是A的“好多项式”， 如果， 则称B是A的“极好多项式”． 若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则_______． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 3．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． A基础训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若多项式，为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）关于x的二次三项式，关于x的三次三项式，下列说法中正确的个数为（    ） ①当多项式乘积不含时，则； ②当M能被整除时，； ③； A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 B 提高训练 6．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则______． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义新运算：，则的运算结果是_____． 8．（25-26八年级上·山东济宁·月考）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列各式的规律： ； ； ； … 可得______． 10．（25-26七年级上·北京·期中）在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． C 培优训练 11．（24-25八年级上·甘肃武威·月考）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 12．（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 14．（24-25七年级下·重庆江津·月考）如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”． （1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为______； （2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是______． 15．（25-26八年级上·河南南阳·月考）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和，按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有______项；的系数和是______； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是______． (3)运用：若今天是星期四，那么再过天是星期______． 学科网（北京）股份有限公司 $