专题01 二元一次方程（组）的概念重难点题型专训（2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理二元一次方程（组）的概念体系，将“二元一次方程（组）的概念”“解”两大知识点按定义、判定条件、解的特点等逻辑分层呈现，搭配即时训练题强化理解，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型分层+拓展应用”的设计，如“已知方程组的解求参数”题型培养运算能力，“正整数解求解”结合实际问题发展模型意识，自我检测分基础、提高、培优三级，助力不同学生提升，为教师精准教学提供有效支持。

专题01 二元一次方程（组）的概念重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 拓展训练一 根据定义求字母参数值 拓展训练二 二元一次方程正整数解求解 知识点一：二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程 · 一般形式： ， · 三大判定条件（缺一不可） ① 整式方程（分母不含未知数、无根号未知数） ② 只 2 个未知数（x、y） ③ 含未知数项次数 = 1（不是 xy 这种二次乘积） · 解的特点：一个二元一次方程有无数组解 2、二元一次方程组 · 定义：两个整式方程，共含2 个未知数，所有含未知数项次数都是 1，组合成方程组 · 特殊规则：方程组里可以有一元一次方程，依然算二元一次方程组例：{x+y=5x=3​ 是二元一次方程组 【即时训练】 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程中，二元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：A、，含有3个未知数，不符合二元一次方程定义； B、，不是整式方程，不符合二元一次方程定义； C、中项的次数为2，不符合二元一次方程定义； D、，满足二元一次方程的所有条件． 2．（24-25八年级上·陕西西安·月考）下列方程组中是二元一次方程组的是______．（填写序号） ①②③④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④． 故答案为：④． 知识点二：二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京延庆·期中）若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 直接把代入到方程中求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴把代入到方程中，得，解得． 2．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）写一个解是的二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 根据，列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（25-26八年级上·福建三明·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程， 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断． 【详解】解：A：，含，次数为2，不符合题意； B：，含x和y两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合题意； C：，分母含x，不是整式方程，不符合题意； D：，只含一个未知数，不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）当______时，是二元一次方程． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的最高次数为，且方程含有两个未知数，因此得到关于的条件，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是二元一次方程 ∴，且 ∴，且 解得， ∴． 1．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）若是关于的二元一次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把所给的方程化为，然后根据二元一次方程的定义可得和的系数不为零，即可求得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 根据二元一次方程的定义可得： ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 2．（24-25七年级·全国·假期作业）如果（a﹣2）x+（b+1）y＝13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？ 【答案】a≠2，b≠﹣1 【分析】根据二元一次方程含有两个未知数可知a﹣2≠0，b+1≠0，即可求出a，b所满足的条件． 【详解】解：∵（a﹣2）x+（b+1）y＝13是关于x，y的二元一次方程， ∴a﹣2≠0，b+1≠0， ∴a≠2，b≠﹣1． 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义：即含有两个未知数的方程，根据定义求参数满足的条件，难度一般． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·月考）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入二元一次方程中得到关于a方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程的一个解， ∴，解得：． 故选B． 【例2】（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了______个标有数字的球． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解，设标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个，根据题意列出，然后出正整数解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设摸出标有数字和球的个数分别为个，个，则标有数字的球有个， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴， ∴标有数字的球有个， 故答案为：． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n的值可能是（    ）    A．130 B．140 C．150 D．160 【答案】B 【分析】本题考查的是直六棱柱的展开图及二元一次方程的应用，设剪成底面的长方形x张，则剪成侧面的长方形张，列出方程，找出适合x、n的正整数解即可解决． 【详解】解：设剪成底面的长方形x张，则剪成侧面的长方形张， 每个直六棱柱由两个底面正六边形和六个侧面小长方形组成， 小长方形总数为正六边形总数的3倍， ， 解得：， 都是正整数，且为偶数， 是28的倍数， 的值可能是140， 故选：B． 2．（2025八年级·全国·模拟预测）现有一个9×13的方格表，从左上角开始，第一行依次为1，2，…，13；第二行依次为14，15，…，26；…，一直写到最后一行．将此方格表里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2，…，9；第二列从上到下依次为10，11，…，18；…，一直写到最后一列．在两种写法里，有的小方格里的数是相同的，这样的小方格共有_________个． 【答案】5 【分析】本题考查了数的不同表示方法，列出等式，转化为二元一次方程的整数解问题解答即可． 【详解】根据题意，得在第一种写法中，第m行n列的数是； 在第二种写法中，第m行n列的数是， 则， 即，又， 故，3，5，7，9共5个， 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解_________． (2)若为自然数，求满足条件的正整数x的值． (3)2023-2024学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)4、5、6、7、9、15 (3)有3种购买方案：方案1：购买笔记本11个，钢笔3支；方案2：购买笔记本6个，钢笔6支；方案3：购买笔记本1个，钢笔9支 【分析】（1）根据题意得出，即可求解； （2）根据为自然数，可得能被12整除，即可求解； （3）设购买了m个笔记本，n支钢笔，则，，求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：∵为自然数， ∴能被12整除， ∴、2、3、4、6、12； 解得：、5、6、7、9、15； （3）解：设购买了m个笔记本，n支钢笔， ， ∴①时，；②时，；③时，； ∴有3种购买方案： 方案1：购买笔记本11个，钢笔3支； 方案2：购买笔记本6个，钢笔6支； 方案3：购买笔记本1个，钢笔9支． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【详解】解：A选项不是二元一次方程组，因为含有三个未知数； C选项中的次数是2，所以不是二元一次方程组； D选项中不是二元一次方程，因为分母中含有未知数； 只有B选项符合二元一次方程组的条件． 故选：B． 【例2】（24-25七年级·全国·假期作业）若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是________． 【答案】-2或-3 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：根据是关于，的二元一次方程组， 则，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 或，，， 解得，，． 所以代数式的值是． 故填：-2或-3 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 1．（24-25七年级下·广西桂林·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程组需要满足：两个一次方程，共含有两个未知数且每个方程都是整式方程. 【详解】解：A，B，D选项中的方程组均为二元一次方程组，C选项中含有二次项，不是二元一次方程组. 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 3．（24-25七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答． 【详解】（1）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （2）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程．二元一次方程组定义∶两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（24-25七年级下·山东济宁·期末）解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的定义，将方程组的解代入各个选项中的方程组，判断其是否成立即可． 【详解】解：当，时，，，， 故是方程组的解． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的前提． 【例2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】所求二元一次方程只需满足是它的解即可，据此构造方程即可． 【详解】解：∵所求方程与所给方程组成的方程组的解为， ∴所求方程的解为， ∵， ∴是符合要求的二元一次方程． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 3．（24-25八年级上·陕西西安·月考）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若是方程的解，则a的值为_________. 【答案】 【分析】把方程的解代入方程即可得到答案． 【详解】将代入方程得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解方程的问题，掌握代入法是解题的关键． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）小明解得方程组解为，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（    ） A．10和4 B．2和－4 C．－2和4 D．－2和－4 【答案】B 【分析】把，代入，得，把，代入，得． 【详解】解：把，代入，得 ★， ★，即， 把，代入，得 ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握将解代入原方程组求出有关的数值是解题关键． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则______. 【答案】 【分析】利用加减消元法可求得、的值，再代入，继而求得答案． 【详解】， 得：， 得：， ∵关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴把，代入得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解以及二元一次方程的解法．此题难度适中，注意掌握消元思想的应用． 3．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵； （2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b． 【详解】（1）解：整理方程得，， 因此矩阵形式为：； （2）根据矩阵形式得到方程组为： ， 将代入上述方程得，， 解得：． 【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算． 【拓展训练一 根据定义求字母参数值】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：根据二元一次方程的定义可得：， 解得． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为 _____． 【答案】0 【分析】根据二元一次方程的定义：有2个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，得出的等量关系，解出答案即可． 【详解】解：由题意得， ，， ∴，， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握并理解二元一次方程的定义是解本题的关键． 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 2．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程是二元一次方程，求m，n的值． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，得到，，，求解即可得到m，n的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是1． 【拓展训练二 二元一次方程正整数解求解】 【例1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，其中a，b是正整数，则的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】把代入二元一次方程得，再根据a，b是正整数，可得a、b值，据此即可解答． 【详解】解：把代入二元一次方程，得 ， ∵a，b是正整数， ∴或或， ∴或7或 6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和求二元一次方程的整数解，理解方程解的意义是解答本题的关键． 【例2】（24-25八年级上·重庆城口·期末）设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级收缩数”．例如正整数中，因为，，所以是“级收缩数”，其中．最小的“级收缩数”是______；若一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为，且这个数能被整除，则满足条件的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，不定方程的应用，二元一次方程组的解；因为是“级收缩数”，那么千位与百位的数字之和等于，千位数字可选数字，则百位数字为；十位与个位数字的和为，十位可选最小的数字0，则个位数字为，那么可得最小的“级收缩数”；设“级收缩数”的千位数字为，十位数为，判断出其他数位上的数字，根据这个数千位数字与十位数字之积为以及这个数能被整除可得所求的数． 【详解】解：是“级收缩数”， ． 求最小的“级收缩数”， 千位数字可选数字， 百位数字为． 十位与个位数字的和为， 十位可选最小的数字， 个位数字为． ∴最小的“级收缩数”为：； 设“级收缩数”的千位数字为，十位上的数字为，则百位数字为，个位上的数字为． ∵千位数字与十位数字之积为， ∴(不合题意，舍去)或或或． ∴“级收缩数”为或或． ∵这个数能被整除，上述个数只有是的整数倍， ∴“级收缩数”为：． 故答案为：，． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）在学习了《二元一次方程》后，数学兴趣小组的同学们探究了多元一次方程正整数解问题．如：方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，， 那么方程的正整数解的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程的正整数解个数，由题意可得方程（且为正整数）的正整数解有个，由方程得，进而通过对取值把三元一次方程转化为二元一次方程的情况进行求解即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，， ∴方程（且为正整数）的正整数解有个， ∵， ∴， 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； ∴总解数为， 选项：． 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）正整数满足等式，那么___________，___________． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了解二元一次方程．将原式化简得到，结合a，b为正整数求出符合题意的即可． 【详解】解：， 即， ∵为正整数， ∴只有，符合要求， 故答案为：2，1． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）综合与实践 【问题情境】 我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ． 【实践探究】 但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下： 由，得 ∵x，y是正整数， 也是正整数， ∴可用观察法，得 ② ； ∴原方程的正整数解为：③ ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容； (2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数． 【答案】(1)；3或10； 或 (2)17 【分析】本题主要考查了解二元一次方程： （1）①处求出方程的正整数解即可；②处满足是正整数，且要满足是正整数，据此可求出③处的答案； （2）设这个正整数为m，（k为正整数），则，再由m与23的差是6的倍数，可设，据此可得，再保证是整数的前提下也要保证，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，且x、y都是正整数， ∴； ∵是正整数， ∴当时，， 当时，； 当时，，不符合题意； ∴原方程的正整数解为： 或； 故答案为：；3或10； 或 （2）解：设这个正整数为m，（k为正整数）， ∴， ∵m与23的差是6的倍数， ∴可设， ∴， ∴是整数，且要保证， ∴当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； ∵k随n增大而增大，m随k增大而增大， ∴m的最小值即为17． A基础训练 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，逐个判断如下： ①，项的次数为，不是二元一次方程； ②，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ③，是分式，该式不是整式方程，不是二元一次方程； ④，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ⑤，未知数项的次数为，不是二元一次方程； ⑥，不是等式，不属于方程，不是二元一次方程； ⑦，含有三个未知数，不是二元一次方程； 综上，符合条件的二元一次方程共个． 2．（24-25七年级下·云南昭通·期末）下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【详解】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期中）学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的文具盲盒，二等奖奖品为单价10元钢笔套装．专项资金恰好用完，且两种奖品均有购买，则购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程，设购买一等奖奖品个，二等奖奖品个，，均为正整数，可得，结合奖品数量为正整数的条件，即可求得答案． 【详解】设购买一等奖奖品个，二等奖奖品个，，均为正整数． 根据题意，可得 变形，得 因为是正整数， 所以为整数，即为偶数． 因为， 所以． 所以． 所以的可取的值为，，，，，，，共个，每个对应唯一的正整数． 所以，共有种购买方案． 5．（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． B 提高训练 6．（25-26八年级上·四川成都·月考）二元一次方程的非负整数解有__________个． 【答案】 【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，准确的计算是解决本题的关键． 将方程化为，根据非负整数条件确定x的取值范围，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵方程的解为非负整数， ∴，，即， 解得． ∵x为非负整数， ∴，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有4组非负整数解． 故答案为：4． 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）若方程是关于，的二元一次方程，则______，______． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，准确把握“含有两个未知数，且未知数的次数都为”这一核心条件是解题的关键．根据二元一次方程的定义，分别对未知数，的次数建立等式和，进而求出和的值． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ，， 解得：，， 故答案为：，． 8．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在括号内填写一个二元一次方程，使所成方程组的解是，_________． 【答案】x＋y=3（答案不唯一） 【分析】根据x、y的值，任意写一个关于x、y的二元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴x+y＝3， 故答案为：x+y＝3，本题答案不唯一． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解．此题是开放题，要学生理解方程组的解的定义，围绕解列不同的算式即可列不同的方程组． 9．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出的值代入计算即可 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：7． 10．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． C 培优训练 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知关于、的方程是二元一次方程，求、的值． 【答案】． 【分析】根据二元一次方程的定义得出且，再求出、即可． 【详解】解：关于、的方程是二元一次方程， 且， 解得：，． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出和是解此题的关键． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＝3，求k的值． 【答案】 【分析】先利用加减消元法解含参数的二元一次方程组，再将求出的x，y代入2x+y＝3可得关于k的方程，解方程即可求解. 【详解】解：①-②，得5y＝10k-9，解得：y＝2k ， 把y＝2k代入②，得， 解得：x 把x，y＝2k代入方程2x+y＝3， 得， 解得：k=. 【点睛】本题主要考查含参数的二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的二元一次方程组的方法. 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即______； (2)填表，使x，y的值是方程的解； x 1 2 3 4 5 y (3)求方程的非负整数解． 【答案】(1) (2)填表见解析 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，以及方程的非负整数解，学会用含一个未知数的代数式表示另一个未知数是解题的关键． （1）要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为1即可． （2）将分别代入，求出的值即可； （3）根据表格，直接写出方程的非负整数解即可； 【详解】（1）解：， 得， 所以， 故答案为：； （2）解：将的值分别代入中得到y的值分别为：； ∴填表如下： x 1 2 3 4 5 y 4 （3）解：当时，不符合题意， 当时，不符合题意， 结合上表可知：方程的非负整数解为：． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知下列三组数：，， (1)哪组数是方程的解？ (2)哪组数既是方程的解，又是方程的解？ 【答案】(1)第一组和第三组 (2)第三组 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解，即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）将三组数分别代入方程，检验即可得到结果． （2）将第一组和第三组分别代入方程，检验即可得到结果． 【详解】（1）解：∵代入 ∴左边，右边， ∵左边右边， ∴是方程的解； ∵代入 ∴左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解； ∵代入 ∴左边，右边， ∵左边右边， ∴是方程的解； 综上可得：第一组和第三组是方程的解． （2）解：∵代入 ∴左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解； ∵代入 ∴左边，右边， ∵左边右边， ∴是方程的解； 综上可得：第三组是方程和的解． 15．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程（组）的概念重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 拓展训练一 根据定义求字母参数值 拓展训练二 二元一次方程正整数解求解 知识点一：二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程 · 一般形式： ， · 三大判定条件（缺一不可） ① 整式方程（分母不含未知数、无根号未知数） ② 只 2 个未知数（x、y） ③ 含未知数项次数 = 1（不是 xy 这种二次乘积） · 解的特点：一个二元一次方程有无数组解 2、二元一次方程组 · 定义：两个整式方程，共含2 个未知数，所有含未知数项次数都是 1，组合成方程组 · 特殊规则：方程组里可以有一元一次方程，依然算二元一次方程组例：{x+y=5x=3​ 是二元一次方程组 【即时训练】 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程中，二元一次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·月考）下列方程组中是二元一次方程组的是______．（填写序号） ①②③④ 知识点二：二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京延庆·期中）若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．4 2．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）写一个解是的二元一次方程组_______． 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（25-26八年级上·福建三明·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）当______时，是二元一次方程． 1．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）若是关于的二元一次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级·全国·假期作业）如果（a﹣2）x+（b+1）y＝13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？ 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·月考）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【例2】（24-25七年级上·山东菏泽·开学考试）盒子里有三种球，分别标有数字和，贝贝从中摸出个球，它们的数字之和是，贝贝摸出了______个标有数字的球． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n的值可能是（    ）    A．130 B．140 C．150 D．160 2．（2025八年级·全国·模拟预测）现有一个9×13的方格表，从左上角开始，第一行依次为1，2，…，13；第二行依次为14，15，…，26；…，一直写到最后一行．将此方格表里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2，…，9；第二列从上到下依次为10，11，…，18；…，一直写到最后一列．在两种写法里，有的小方格里的数是相同的，这样的小方格共有_________个． 3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解_________． (2)若为自然数，求满足条件的正整数x的值． (3)2023-2024学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？ 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级·全国·假期作业）若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是________． 1．（24-25七年级下·广西桂林·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 3．（24-25七年级下·四川泸州·期中）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（24-25七年级下·山东济宁·期末）解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 3．（24-25八年级上·陕西西安·月考）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【例2】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若是方程的解，则a的值为_________. 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）小明解得方程组解为，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（    ） A．10和4 B．2和－4 C．－2和4 D．－2和－4 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则______. 3．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【拓展训练一 根据定义求字母参数值】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为 _____． 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程是二元一次方程，求m，n的值． 【拓展训练二 二元一次方程正整数解求解】 【例1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，其中a，b是正整数，则的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【例2】（24-25八年级上·重庆城口·期末）设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级收缩数”．例如正整数中，因为，，所以是“级收缩数”，其中．最小的“级收缩数”是______；若一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为，且这个数能被整除，则满足条件的数是______． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）在学习了《二元一次方程》后，数学兴趣小组的同学们探究了多元一次方程正整数解问题．如：方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，， 那么方程的正整数解的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）正整数满足等式，那么___________，___________． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）综合与实践 【问题情境】 我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ． 【实践探究】 但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下： 由，得 ∵x，y是正整数， 也是正整数， ∴可用观察法，得 ② ； ∴原方程的正整数解为：③ ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容； (2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数． A基础训练 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·云南昭通·期末）下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期中）学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的文具盲盒，二等奖奖品为单价10元钢笔套装．专项资金恰好用完，且两种奖品均有购买，则购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 5．（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． B 提高训练 6．（25-26八年级上·四川成都·月考）二元一次方程的非负整数解有__________个． 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）若方程是关于，的二元一次方程，则______，______． 8．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在括号内填写一个二元一次方程，使所成方程组的解是，_________． 9．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则______． 10．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． C 培优训练 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知关于、的方程是二元一次方程，求、的值． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＝3，求k的值． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即______； (2)填表，使x，y的值是方程的解； x 1 2 3 4 5 y (3)求方程的非负整数解． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知下列三组数：，， (1)哪组数是方程的解？ (2)哪组数既是方程的解，又是方程的解？ 15．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $