第18章勾股定理及其逆定理 单元测试卷-2025-2026学年沪科版数学八年级下学期.

2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：勾股定理及其逆定理） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数据是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．0.6，0.8，1 3．如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，以数轴的单位长度为边长画一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（    ）． A． B． C． D． 5．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方形网格的边长为1，，，，网格中的格点，以其中三个点为三角形的顶点，可以构成直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知线段，过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的长为（） A．2 B． C．1 D． 9．如图，在中，，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若图中阴影部分（）面积为定值，则下列式子也是定值的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若约为，则约为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径长为____________． 12．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则的值是__________． 13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 14．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 15．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 16．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 18．如图，在中，． (1)求的长度； (2)D是上的一点，并且，求的长． 19．按要求计算： (1)计算：． (2)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图所示，在中，，，，求的长． 20．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 21．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 22．某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计．如图，，，，，上，两点为浇灌点． 小华设计的铺设管道方案：从水源点处直接铺设管道引水分别到浇灌点，． 小明设计的铺设管道方案：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量，两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量出，两点之间的距离为________； (2)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用； (3)若，，，管道铺设费用为50元/米，请比较小华和小明设计的两种铺设管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 23．如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 24．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：勾股定理及其逆定理） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： A、∵最长边为，，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B、∵最长边为，，∴不能构成三角形，故选项不符合题意； C、∵最长边为，，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D、∵ 最长边为，，∴能构成直角三角形，故选项符合题意． 2．下列各组数据是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．0.6，0.8，1 【答案】C 【分析】勾股数需要同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．两个条件缺一不可． 【详解】解：A、，，，故A不是勾股数； B、，，，故B不是勾股数； C、，，且都是正整数，满足勾股数的定义，故C是勾股数； D、 不都是正整数，不符合勾股数定义，故D不是勾股数； 故选：C． 3．如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 4．如图，以数轴的单位长度为边长画一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可． 【详解】解：如图，设表示数1的点为点C， ∵正方形的边长为1， 正方形对角线的长为， ， ∴点A表示的数是． 5．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：设木杆长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ∵， ∴． 6．如图，正方形网格的边长为1，，，，网格中的格点，以其中三个点为三角形的顶点，可以构成直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析即可． 【详解】解：由勾股定理得， ，，，，，， ， 不是直角三角形； ， 为直角三角形； ， 为直角三角形； ， 为直角三角形， 综上，可以构成直角三角形的有3个． 故选：C． 7．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简后判断即可． 【详解】解：A、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； B、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，展示了完全平方公式的几何意义，故符合题意； C、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； D、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意． 8．如图，已知线段，过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的长为（） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，接着根据求出的长度，最后由得到的长． 【详解】解：，， ． ， ． ． ， ． ， ． 9．如图，在中，，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若图中阴影部分（）面积为定值，则下列式子也是定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析正方形的边长与三角形边长的关系，利用平行线间距离相等将阴影部分的面积用表示，再结合勾股定理判断各选项是否为定值． 【详解】解：∵ 以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别为、、， ∴ ，，， ∵ 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵ 点为以为边的正方形上与点相邻的顶点， ∴ ，且， 又∵ ， ∴ ， ∴ 点B到直线的距离等于， ∴ ， ∵ 的面积为定值， ∴ 为定值， ∵ ， ∴ 为定值． 10．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若约为，则约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理及其逆定理和网格的特点可证明是等腰直角三角形，从而得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，且约为， ∴约为． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径长为____________． 【答案】10 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平面展开图为： ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点线段长度，利用水平距离和竖直距离得到直角三角形，勾股定理求出两点线段长度．解决本题的关键是熟练掌握立体图形中两点间最短路径问题的计算方法． 12．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则的值是__________． 【答案】25 【分析】由题意可得，，，进而可得，再根据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，， 由可得，， ∴， ∴， ∴． 13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 14．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 在中，， 由勾股定理可得： 在中， 是直角三角形， 故答案为：． 15．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】6 【分析】设，则，由折叠的性质得到，在中，，解得，即可求得三角形的面积． 【详解】解：长方形纸片中，， 设，则， 将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合， ， 在中，， ， 解得， ， ． 16．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）由勾股定理得，代入计算即可； （2）由勾股定理得，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 18．如图，在中，． (1)求的长度； (2)D是上的一点，并且，求的长． 【答案】(1)8 (2)5 【分析】（1）直接运用勾股定理求解即可； （2）设，则，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴． （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 19．按要求计算： (1)计算：． (2)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图所示，在中，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将二次根式化简后，再合并即可； （2）直接利用勾股定理进而得出的长． 【详解】（1）解： ， ， 原式． （2）解：在中，， ． ， 设，则， ， 解得． 的长为． 20．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 21．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)可以安全通过，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点作交桥洞于点，连接，结合勾股定理求出的长度，计算其与水面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴, ∴， ∴． （2）解：取中点，由题知：， 过点作交桥洞于点，连接，如下图所示： ∴， ∴在中，， ∴， ∴可以安全通过． 22．某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计．如图，，，，，上，两点为浇灌点． 小华设计的铺设管道方案：从水源点处直接铺设管道引水分别到浇灌点，． 小明设计的铺设管道方案：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点，铺设管道． 社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量，两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量出，两点之间的距离为________； (2)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用； (3)若，，，管道铺设费用为50元/米，请比较小华和小明设计的两种铺设管道方案所需的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)15 (2)元 (3)小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】（1）运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）运用勾股逆定理进行列式计算，可得，再计算出总面积即可求解； （3）先计算出，则可计算出小华的方法费用为（元），利用等面积法计算出，则可计算出小明的方法费用为（元），可得小华设计的方案所需费用较少为700元． 【详解】（1）解：当测量时，， ∴． （2）解：如图，连接， ， ， ，， 四边形的面积， 建造绿化地的总费用为（元）． （3）解：，，， ， ， ， ， 小华设计的铺设管道方案所需的费用为（元），小明设计的铺设管道方案所需的费用为（元）， ∵． 答：小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元． 23．如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 (3)能完成卸货，理由见解析 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； （3）解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 24．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $