精品解析：广东惠州市东江高级中学2025-2026学年高二下学期中段诊断数学卷

惠州市东江高级中学2024级高二下中段诊断 数学卷 时间：150分钟 满分：150分 注意事顶： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数，所以，则. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】A 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，则，故的系数为. 4. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，根据已知得出方程，求解得出的值.代入检验，即可得出； 【详解】由已知. 又函数在处取得极小值， 所以有，解得或. 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极小值，满足条件； 当时，有. 解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，函数在处取得极大值，不满足条件，舍去. 综上，. 5. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，直接写出的单调区间，进而得出在区间上的符号，即可求解. 【详解】由图知函数的减区间为，，增区间为， 和分别是的极小值点和极大值点， 所以当时，，当时，， 当和时，， 又由图知时，，时，， 又等价于，所以的解集为. 6. 在惠州市举行的半程马拉松比赛中，江北路段设三个服务点，惠州市东江高级中学5名同学到①､②､③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 150种 B. 90种 C. 60种 D. 25种 【答案】A 【解析】 【详解】将五名同学分成三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三组分配到三个服务点去，共有种， 所以每个服务点至少1人，不同的安排方法共有种. 7. 若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式用表示、，再结合概率和为求出，最后根据期望公式计算． 【详解】已知数列是公比为的等比数列，可得，．  因为随机变量的所有概率之和为，即，将，代入可得： ，合并同类项得，解得．  根据离散型随机变量的期望公式，把，，代入可得： ．  故选：D． 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的二项式系数之和为64 C. 常数项为540 D. 所有项的系数之和为64 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的项的特征得出A，由二项式系数和项的系数之和的计算公式判断B、D，再利用通项公式判断C. 【详解】对于A，因为，所以展开式共有7项，故A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项公式为，， 令，解得，此时常数项为，故C错误； 对于D，令，则所有项的系数和为，故D正确． 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ） A. 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 B. 课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 C. 课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有528种排法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故A错误； 对于选项B，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故B正确； 对于选项C，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故C正确； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D错误. 11. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为.（ ） A. 第次投篮的人是乙的概率为. B. 前次投篮的人都是甲的概率为. C. 第次投篮的人是甲的概率为. D. 第次投篮的人是甲的概率为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意设出事件，结合全概率公式判断A、C，根据相互独立事件乘法公式判断B，设第次投篮的人是甲的概率为，结合数列求出判断D. 【详解】记“第次投篮的人是乙”为事件， “第次投篮的人是甲”为事件，则， 对于A选项，有， ，A正确； 对于B选项，，B正确； 对于C选项， ，C错误； 对于D选项，设第次投篮的人是甲的概率为， ，， 即， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，解得，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】， 令时，即得. 13. 某同学进行投篮练习，他第一次投篮命中的概率为，在第一次投篮命中的情况下，第二次投篮命中的概率为，则该同学连续两次投篮命中的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算连续两次投篮命中的概率. 【详解】设“第一次投篮命中”为事件，“第二次投篮命中”为事件，则“连续两次投篮命中”为事件； 已知，， 根据条件概率公式，变形得， 代入数值计算：. 故答案为：. 14. 如图，一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥，结合图形，求出其高，即可得出体积函数，利用导数判断单调性，求得极值即可得出结果. 【详解】由题意及正四棱锥的性质可知，作平面于， 设该容器的底面边长为cm（），则，， 则该容器的高为cm，设该容器的容积为， 则. 设函数（），得. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. 【小问2详解】 由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在的最值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先求导函数，计算切线斜率，再计算切点，利用点斜式写切线方程即可； （2）先利用导数判断函数单调性，再结合单调性求函数最值即可. 【小问1详解】 函数，则， ，， 曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 的定义域为，且， 令，得；令，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有唯一极大值，也是函数的最大值. 又，， 所以，. 17. 已知的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求： （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）6； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式即可解； （2）根据二项式系数的性质即可求解； （3）由可得，3，6，从而可解． 【小问1详解】 已知的展开式的通项公式为， 因为第五项的，所以第五项的二项式系数：， 因为第三项的，所以第三项的系数为：， 由题意可得，得. 【小问2详解】 由二项式系数的性质可知，展开式中第4项的二项式系数最大， 即， 【小问3详解】 由（1）知，， 又，，由，可得 故展开式中的有理项为：． 18. 甲、乙两人进行比赛，采用三局两胜制，即先胜两局者获胜，比赛结束.已知甲第一局获胜的概率为，从第二局开始，若甲上一局获胜，则该局甲获胜的概率为，若甲上一局失败，则该局甲获胜的概率为，且每局比赛没有平局． （1）求第二局比赛甲获胜的概率； （2）设比赛结束甲获胜的局数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设甲第一局胜、第二局也胜为事件，则， 设甲第一局败、第二局胜为事件，则， 所以第二局比赛甲获胜的概率为． 【小问2详解】 由题意可知，在该三局两胜制下，的可能取值为， ①，则第一局甲输，第二局甲输，比赛结束，所以； ②，则第一局甲胜，第二局、第三局甲输，或第一局、第三局甲输，第二局甲胜， 所以； ③，则第一局、第二局甲胜，或第一局、第三局甲胜，第二局甲输，或第一局甲输，第二局、第三局甲胜， 则， 所以分布列为： X 0 1 2 P 所以． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恰有两个零点，且 （i）求的取值范围； （ii）在定义域内单调递增，求与的函数关系式． 【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，结合函数的定义域，讨论的取值，即可求解函数的单调区间； （2）（ⅰ）根据（1）的结果可知，函数的极大值，解得，再根据零点存在性定理，即可求解；（ⅱ）根据题意可知，恒成立，讨论函数的类型，即可求解与的关系式. 【小问1详解】 因为的定义域为，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， ，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 （i）由（1）知，需满足，在处取得极大值， 且，即， 令，显然在上单调递减，， 所以，又因为， ， 所以在和上各有一个零点，且， 综上所述，． （ii）， 所以恒成立， 当时，不能恒成立，所以， 由均值不等式知：，且时等号成立， 所以需满足， 整理得，所以， 得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市东江高级中学2024级高二下中段诊断 数学卷 时间：150分钟 满分：150分 注意事顶： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 4. 已知函数在处取得极小值，则（   ） A. B. C. 或 D. 3 5. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在惠州市举行的半程马拉松比赛中，江北路段设三个服务点，惠州市东江高级中学5名同学到①､②､③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 150种 B. 90种 C. 60种 D. 25种 7. 若随机变量的分布列如下表，表中数列是公比为2的等比数列，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的二项式系数之和为64 C. 常数项为540 D. 所有项的系数之和为64 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ） A. 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 B. 课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 C. 课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有528种排法 11. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为.（ ） A. 第次投篮的人是乙的概率为. B. 前次投篮的人都是甲的概率为. C. 第次投篮的人是甲的概率为. D. 第次投篮的人是甲的概率为. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 某同学进行投篮练习，他第一次投篮命中的概率为，在第一次投篮命中的情况下，第二次投篮命中的概率为，则该同学连续两次投篮命中的概率为________. 14. 如图，一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在的最值． 17. 已知的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的4倍，求： （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中所有的有理项． 18. 甲、乙两人进行比赛，采用三局两胜制，即先胜两局者获胜，比赛结束.已知甲第一局获胜的概率为，从第二局开始，若甲上一局获胜，则该局甲获胜的概率为，若甲上一局失败，则该局甲获胜的概率为，且每局比赛没有平局． （1）求第二局比赛甲获胜的概率； （2）设比赛结束甲获胜的局数为X，求X的分布列和数学期望． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恰有两个零点，且 （i）求的取值范围； （ii）在定义域内单调递增，求与的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $