专题5.3 分式方程（4大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

专题5.3 分式方程 知识点1：分式方程的定义与识别 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.识别三要素：①是方程；②含分母；③分母中含未知数（三者缺一不可）。 知识点2：分式方程的解法 1.基本思想：化分式方程为整式方程（转化思想）。 2.一般步骤： ①去分母（方程两边同乘最简公分母）； ②解所得的整式方程； ③双检验：检验是否为增根、是否符合题意。 知识点3：增根与无解 概念 含义 满足条件 增根 去分母后整式方程的根，但使原分母为0 ①最简公分母=0；②是整式方程的根 无解 方程无任何实数解 ①有增根；②整式方程本身无解 知识点4：列分式方程解应用题 1.步骤：审→设→列→解→验→答（验根必须两步：方程解+实际意义）。 2.常见模型： 行程： 路程=速度✕时间 工程：工作量=效率✕时间 销售： 【基础必考题型】 【题型1】分式方程的定义辨析 1.核心知识点 分式方程定义；整式方程与分式方程区分 2.解题方法技巧 只看一点：分母里有没有未知数 【例题1】.（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 【变式题1-1】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型2】可直接去分母解分式方程 1.核心知识点 去分母化为一元一次方程；验根 2.解题方法技巧 先找最简公分母；常数项勿忘同乘；解完必验根 【例题2】.（25-26九年级下·江苏连云港·期中）解方程． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 展开整理得， 解得 检验：当时，， 故是原分式方程的解. 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 原分式方程无解 【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验即可； （2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验所得值是否使原方程分母不为0，若使分母为0则为增根，原方程无解． 解题的关键在于正确掌握解分式方程步骤，以及注意检验所得值是否是方程的解． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，， 因此原分式方程的解为； （2）解： ， 检验：当时，， 因此是增根，原分式方程无解． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 【题型3】含参数分式方程—已知解求参数 1.核心知识点 方程解的定义；参数求解；分母≠0限制 2.解题方法技巧 代入解→求参数→回代检验分母不为0 【例题3】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若关于的分式方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解，将代入原方程可得到关于的一元一次方程，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵原分式方程的解为，且时原方程各分母均不为， ∴将代入原方程得： 即 两边同乘去分母得： 去括号得： 移项并合并同类项得： ∴， 故选：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的解为，则m的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，掌握方程的解的意义是解题的关键． 将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·北京丰台·期末）若关于的方程的解是，则的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了方程的解的定义及解分式方程． 根据题意，将代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：将代入方程，得， 交叉相乘，得，即， 解得． 故答案为：8． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·云南怒江·期末）若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了已知分式方程的解求参数，将代入分式方程，求解的值即可． 【详解】解：由题意得 , 解得， 故选：D． 【题型4】含参数分式方程—增根问题 1.核心知识点 增根定义；最简公分母=0；整式方程回代 2.解题方法技巧 令公分母=0→得增根→代入整式方程→求参数 【例题4】.（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·福建泉州·月考）若方程有增根，则增根为_____ ． 【答案】5 【分析】先确定分式方程分母为0时x的值，该值即为增根． 【详解】若方程有增根， 则， 解得， ∴增根为． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南许昌·期末） 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，分式方程有增根的条件是分母为零，则可得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得， ∵原方程有增根， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． 【题型5】含参数分式方程—解为正/负数 1.核心知识点 解的符号；分母≠0；不等式求解 2.解题方法技巧 表出解→列符号不等式→排除增根→写范围 【例题5】.（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 【答案】且 【分析】先解分式方程得到用表示的结果，再根据解为非负数得到，结合分式方程分母不为零得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边同乘，得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不能为， ∴， 解得且． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 【变式题5-2】.（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 【答案】 且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 整理得， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得到的表达式，再根据解为正数且分式有意义的条件列出不等式，求解即可，掌握分式方程的解法是解题的关键。 【详解】解： 去分母，化为整式方程得 展开并整理得 解得 ∵该分式方程的解为正数 ∴，且分母 解不等式得 由得，解得 ∵已满足 ∴的取值范围是． 【培优高频题型】 【题型6】工程问题分式方程 1.核心知识点 工作总量设为1；效率=；合作效率相加 2.解题方法技巧 列表梳理时间/效率；抓住“时间差、合作完成”列方程 【例题6】.（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人分别加工300个零件，甲每天比乙多加工10个，结果甲提前5天完成．设乙每天加工x个零件，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件表示出甲的工作效率，再结合“工作时间工作总量工作效率”得到甲、乙两人的工作时间，最后根据甲提前5天完成的等量关系列方程即可． 【详解】∵设乙每天加工个零件，甲每天比乙多加工10个， ∴甲每天加工个零件， 乙加工300个零件的总时间为天， 甲加工300个零件的总时间为天， ∵甲提前5天完成，即乙的总时间比甲多5天， ∴， 故选：A． 【变式题6-1】.（2026·江苏南京·模拟预测）某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 【答案】每月实际生产智能手机万部． 【分析】设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部，根据工作时间工作总量工作效率结合提前个月完成任务，列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每月实际生产智能手机万部． 【变式题6-2】.（2026·吉林长春·二模）在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 【答案】平均每小时清除10吨 【分析】先设原计划平均每小时清除吨垃圾，再分别表示出原计划用时和实际用时，根据原计划用时实际用时小时这一等量关系列出分式方程，求解并检验后得到答案． 【详解】解：设青年突击队原计划平均每小时清除吨垃圾． 由题意，得． 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：青年突击队原计划平均每小时清除10吨垃圾． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·重庆·期中）2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 【答案】(1)3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. (2)乙组每天检查B型号摩托车50台. 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用. （1）设出3月A、B两种型号的订单量，根据题干给出的3月总订单量和4月总订单量的条件列出二元一次方程组，求解即可得到结果. （2）先根据第一问结果算出4月两种型号的订单量，再设乙组每天检查的数量，根据甲乙完成任务的时间差列出分式方程，求解检验后即可得到结果. 【详解】（1）解 ：设3月A型号摩托车订单量为x台，B型号摩托车订单量为y台. 根据题意可得 ，整理第二个方程得， 解得 ， 答：3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. （2）解：由（1）可得，4月A型号订单量为（台）， 4月B型号订单量为（台）. 设乙组每天检查B型号摩托车m台，则甲组每天检查A型号摩托车台. 根据题意可得， 解得，经检验是分式方程的解， 故乙组每天检查B型号摩托车50台. 【题型7】行程问题分式方程 1.核心知识点 顺速=静速+水速；逆速=静速-水速；时间= 2.解题方法技巧 统一单位；抓住“时间相等/时间差”建立等式 【例题7】.（2026·山东菏泽·一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】C 【分析】设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过路段时的速度． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是米/秒． 【变式题7-1】.（2026·山东济南·二模）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了__________小时． 【答案】 【分析】分别求出甲、乙的速度，再由两车相遇时，距离A城的距离相等建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙追上甲时，乙行驶了． 【变式题7-2】.（2026·黑龙江大庆·一模）中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． 【答案】该动车行驶的平均速度 【分析】设普通列车的平均速度为，根据动车所需时间比普通列车少，列分式方程求解即可． 【详解】解：设普通列车的平均速度为， 根据题意列方程为：， 解得：， 经检验是方程的根且符合题意， 可得：， 答：该动车行驶的平均速度． 【变式题7-3】.（2026·云南保山·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深化实践育人，某校组织学生前往红色教育基地开展研学旅行，计划租赁甲、乙两种型号的大巴车接送师生． 素材一 甲型大巴车比乙型大巴车平均每小时多行驶千米； 素材二 甲型大巴车行驶千米的时间与乙型大巴车行驶千米的时间相同． 请完成以下任务： 任务 求甲、乙两种大巴车的平均行驶速度． 【答案】甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时 【分析】根据“行驶时间相同”的等量关系，设乙车速度为未知数，列分式方程求解． 【详解】解：设乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时，则甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 故甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时． 【题型8】销售/价格问题分式方程 1.核心知识点 单价、数量、总价关系；两次购买模型 2.解题方法技巧 设单价→表数量→用“数量差/数量倍数”列方程 【例题8】.（2026·山东济南·二模）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：设购买篮球a个，总费用为y元， 由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且a为整数， ∵，， ∴y随a增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，元， 答：当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元． 【变式题8-1】.（2026·山东烟台·一模）某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 【答案】(1)每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元 (2)0.2元 【分析】（1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元， 根据题意得 解得， 答：每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元； （2）解：设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，优惠后每本手账本的单价为元，每个钥匙扣的单价为元， 根据题意得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个钥匙扣降低的价格是0.2元． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结合，频频出圈，在隋唐洛阳城应天门遗址广场，文创门店以“洛阳”“河南”等文字为形状，激光雕刻出的立体文字冰箱贴，磨砂质感简约高级．某工艺品店计划推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的冰箱贴，已知甲款冰箱贴价格是乙款冰箱贴价格的倍，且用100元购买甲款冰箱贴的数量比用128元购买乙款冰箱贴的数量少3个，求这两款冰箱贴的单价． 【答案】乙款冰箱贴价格为16元，甲款冰箱贴价格为20元 【分析】设乙款冰箱贴价格为x（元），则甲款冰箱贴价格为（元），根据用100元购买甲款冰箱贴的数量比用128元购买乙款冰箱贴的数量少3个，列出分式方程，求解后检验即可． 【详解】解：设乙款冰箱贴价格为x（元），则甲款冰箱贴价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴甲款冰箱贴价格为（元） 答：乙款冰箱贴价格为16元，甲款冰箱贴价格为20元． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元 (2)共有三种购买方案，具体方案见解析 【分析】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，由此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元； （2）解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个， 依题意，得 解得：， ∵m为整数， ∴m可取42，43，44， 故共有三种购买方案： 方案1：购买42个A型号纪念品， 28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品， 27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品， 26个B型号纪念品． 【压轴素养题型】 【题型9】裂项相消型分式方程 1.核心知识点 ；抵消求和 2.解题方法技巧 拆项→中间抵消→留首尾→简化解 【例题9】.（25-26八年级下·湖南益阳·期末）根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求： (1)； (2)仿照上面运算将拆项； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的加减法及解分式方程，解答的关键是读懂材料，对所求的式子拆项． （1）利用计算即可； （2）先计算，再根据求解即可； （3）利用（2）的结论，将方程整理为，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解， ∴． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下面分数的规律，解决问题： ；；；… (1)若为正整数，按照上面式子的形式，请你猜想__________，并说明理由； (2)__________； (3)解关于的分式方程． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题干的变形规律猜想填空即可；将通分化简即可． （2）根据将原式变形即可求解； （3）根据将分式方程整理解答即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； … ∴；理由如下： ， 成立． （2）解： ． （3）解：， 即， ， ， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， 是原方程的根． 【点睛】注意解分式方程要对方程的解进行检验． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②25 【分析】本题考查了分式规律探究，异分母减法，分式方程，理解题意，观察得到规律，并熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ． （2）解：① ． ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·广东韶关·月考）探索并解决问题． 【计算】 请你计算下列算式，观察并归纳其中的规律： （1） ； （2） ； （3） （4） 【归纳】 - ． 这个结果与上面的计算有什么联系吗？ 【应用】 （1）计算： ⋯； （2）解分式方程： 【答案】【计算】（1）（2）（3）（4）【归纳】；【应用】（1）（2） 【分析】【计算】（1）（2）（3）（4）利用拆项的方法计算即可； 【归纳】由上述解答可总结，前面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差； 【应用】（1）利用总结的规律将每个式子进行拆分，然后进行加减运算即可； （2）利用总结的规律将每个式子进行拆分，合并后得到，解这个分式方程即可，最后要检验得出的解是否为分式方程的增根． 【详解】解：【计算】（1）； （2）原式； （3）原式； （4）原式； 【归纳】原式； 这个结果与上面的计算是有联系的，上面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差； 【应用】（1）原式．．． ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴． 【题型10】新定义运算型分式方程 1.核心知识点 自定义规则翻译；转化为常规分式方程 2.解题方法技巧 照定义列式→化简→解方程→检验 【例题10】.（25-26七年级上·河北保定·期末）对于实数，定义一种新运算“”为，这里等式右边是通常的实数运算．例如：． (1)求的值； (2)求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程； （1）按照新运算的公式计算即可； （2）先将目标式变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 当，，所以是原方程的解。 【变式题10-1】.（25-26八年级下·山东济南·期中）【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________    ②________ (2)【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 【答案】(1)①否；②是 (2) (3)或 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； ②当，时，解分式方程得：， 又，符合“关联数对”的定义， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵k为整数，m为待求的整数， ∴为整数， ∴或， 解得或或0或1． ∵， ∴， ∵且， ∴或． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”．例如：当，时，关于的分式方程的解是，并且，所以成立，因此数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． 1 2 3 17 17 (1)请判断数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，并说明理由． (2)若数对（，）是关于的分式方程的“友好数对”，请求出与的数量关系． (3)在（2）的条件下，填写上表；然后根据上述表格，小明提出了关于的值的一些猜想，请从以下猜想中选出正确的一个，并进行证明． ①的最小值是8； ②当时，随着值逐渐增大，的值逐渐减小． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)填表见解析，猜想①正确，理由见解析 【分析】本题考查解分式方程，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，求出方程的解，分式的值，进行判断即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）根据（2）的结论，进行求解即可，根据，以及完全平方公式进行证明即可． 【详解】（1）解：当时，化为， 解得； 经检验是原方程的解； ∵， ∴， 故数对是关于的分式方程的“友好数对”； （2）解：当时，化为， 解得， ∵数对（，）是关于的分式方程的“友好数对”， ∴， ∴。 ∴， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 填表如下： 1 2 3 8 17 17 8 由表格可知时的值小于时的值， 故②错误； 猜想①正确，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故的最小值是8；故①正确． 易错点 1、解完方程不检验，把增根当作有效解。 2、去分母时漏乘常数项，或分子不加括号导致符号错。 3、混淆增根与无解，含参问题少分类讨论。 4、应用题只验方程解、不验实际意义（如人数为分数）。 5、顺逆水、工程效率关系记错，等量关系找错。 重点 1、分式方程的定义、解法与验根。 2、含参方程：已知解、增根、解的符号三类问题。 3、工程、行程、价格三类应用题模型。 4、列分式方程解应用题的完整步骤与双检验。 难点 1、含参分式方程无解/有增根的分类讨论。 2、复杂情境中等量关系提炼与建模。 3、新定义、裂项法等创新题型的转化能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握分式方程的定义是关键；分式方程是指含有分式的方程，一般指分母中含有未知数的方程．选项B的分母均为常数，因此不是分式方程． 【详解】∵ 分式方程需满足分母中含有未知数， A、分母为x，含未知数，是分式方程； B、分母为3、4、5，均为常数，不含未知数，不是分式方程； C、分母为，含未知数，是分式方程； D、分母为x和，含未知数，是分式方程． ∴ 不是分式方程的是B． 故选B 2．小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“实际总阅读时间原计划总阅读时间多花的10天”这一等量关系，分别表示出各段时间即可列出方程． 【详解】解：∵设总页数为，原计划每天读页， ∴原计划总阅读时间为天． ∵实际先读页，每天读页，剩余页数阅读量降为原来的一半， ∴读前页的时间为天，剩余页数为，后续每天阅读量为，读完剩余页数的时间为天． ∵ 实际比原计划多花天读完， ∴可得方程． 因此A选项正确． 3．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 二、填空题 4．若代数式与的值相等，则_______． 【答案】 【详解】解：根据题意得： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得； 经检验，是原分式方程的解. 5．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数且分母不为零，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程变形为 去分母，两边同乘得： 整理得： 解得： 由分式方程的解为正数，可得，且即 解得：且． 6．若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【详解】（1）解： 检验，当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解： 检验，当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 8．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)的整数值为或1 【分析】本题考查了分式方程的增根，根的正负性与整数解的确定，掌握分式方程增根的处理方法，根的正负性与整数解的条件，结合整式方程求解参数是解题的关键． （1）分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根，代入去分母后的整式方程求的值； （2）将根代入去分母后的整式方程，直接求解的值； （3）先求出整式方程的解，根据根为正数且不为增根，列出不等式求的取值范围； （4）由整式方程的解为正整数，结合为整数，确定为4的正约数，再排除增根对应的值． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 整理，得． 分式方程有增根， ． 把代入，得 解得． （2）解：， ， 解得． （3）解：原分式方程的根为正数， 且， 即且， 解得且． （4）解：由，得． 要使分式方程的根为正整数，且为整数， 则或或， 或或． 由（1）可知，当时，该方程有增根，不符合题意， 的整数值为或． 9．近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 【答案】2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人 【分析】设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，2025年为万人，根据所给数量关系列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，则2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为万人， 由题意得．                 解得，                     经检验，是原方程的解，且符合实际， ，                     答：2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人． 10．河南焦作温县的山药种植历史悠久，所产的“铁棍山药”是享誉全国的地理标志产品．某山药制品专卖店决定采购A，B两种规格的礼盒进行销售，已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一盒A种礼盒的进价比一盒B种礼盒的进价贵40元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1600元购进的B种礼盒的数量相等． (1)求每盒A种礼盒和每盒B种礼盒的进价． (2)为迎接即将举行的河南特色产品展销会，厂家推出优惠活动：每购买一盒A种礼盒，就赠送一盒B种礼盒．已知专卖店计划用于购买礼盒的资金不超过2640元，且B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少6盒．设专卖店购买盒A种礼盒．求总费用（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少盒A种礼盒．此时总费用是多少元？ 【答案】(1)A种礼盒进价120元，B种礼盒进价80元． (2) ，最多可以购买15盒A种礼盒，此时总费用为2520元． 【分析】本题考查了实际生活中的二元一次方程和一元一次不等式问题，正确列出对应方程和不等式是解题关键． （1）分别设出A种礼盒和B种礼盒进价，根据两个信息列出二元一次方程组． （2）关键是专卖店最终拥有的 B种礼盒总数是包括买的和送的，但只有买的需要计算费用，根据总费用A种礼盒数量A种礼盒进价B种礼盒数量B种礼盒进价，列出不等式，注意x取正整数． 【详解】（1）解：设A种礼盒进价x元，B种礼盒进价y元，则可列出方程组： 解得 ， 经检验是原方程的解， 答：A种礼盒进价120元，B种礼盒进价80元． （2）解：A种礼盒费用 ，由于买了x盒A种礼盒，故送了x盒B种礼盒，由题意可知， 则需要出钱的B种礼盒数量 ， 若，此时B种礼盒不需要花钱买， 故总费用A种礼盒数量A种礼盒进价，此时最大为5； 若，此时B种礼盒需要花钱买， 故总费用A种礼盒数量A种礼盒进价B种礼盒数量B种礼盒进价 ， 即 ， 令 ， 解得 ， 由于x取正整数， 所以此时最大为15， 综上，最多可以购买15盒A种礼盒，此时总费用 （元） 答：总费用（元）与之间的函数关系式是，最多可以购买15盒A种礼盒，总费用为2520元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 分式方程 知识点1：分式方程的定义与识别 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.识别三要素：①是方程；②含分母；③分母中含未知数（三者缺一不可）。 知识点2：分式方程的解法 1.基本思想：化分式方程为整式方程（转化思想）。 2.一般步骤： ①去分母（方程两边同乘最简公分母）； ②解所得的整式方程； ③双检验：检验是否为增根、是否符合题意。 知识点3：增根与无解 概念 含义 满足条件 增根 去分母后整式方程的根，但使原分母为0 ①最简公分母=0；②是整式方程的根 无解 方程无任何实数解 ①有增根；②整式方程本身无解 知识点4：列分式方程解应用题 1.步骤：审→设→列→解→验→答（验根必须两步：方程解+实际意义）。 2.常见模型： 行程： 路程=速度✕时间 工程：工作量=效率✕时间 销售： 【基础必考题型】 【题型1】分式方程的定义辨析 1.核心知识点 分式方程定义；整式方程与分式方程区分 2.解题方法技巧 只看一点：分母里有没有未知数 【例题1】.（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 【变式题1-1】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型2】可直接去分母解分式方程 1.核心知识点 去分母化为一元一次方程；验根 2.解题方法技巧 先找最简公分母；常数项勿忘同乘；解完必验根 【例题2】.（25-26九年级下·江苏连云港·期中）解方程． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 展开整理得， 解得 检验：当时，， 故是原分式方程的解. 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 原分式方程无解 【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验即可； （2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程，再检验所得值是否使原方程分母不为0，若使分母为0则为增根，原方程无解． 解题的关键在于正确掌握解分式方程步骤，以及注意检验所得值是否是方程的解． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，， 因此原分式方程的解为； （2）解： ， 检验：当时，， 因此是增根，原分式方程无解． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可求解； （）根据解分式方程的步骤解答即可求解； 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 【题型3】含参数分式方程—已知解求参数 1.核心知识点 方程解的定义；参数求解；分母≠0限制 2.解题方法技巧 代入解→求参数→回代检验分母不为0 【例题3】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若关于的分式方程的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解，将代入原方程可得到关于的一元一次方程，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵原分式方程的解为，且时原方程各分母均不为， ∴将代入原方程得： 即 两边同乘去分母得： 去括号得： 移项并合并同类项得： ∴， 故选：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的解为，则m的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，掌握方程的解的意义是解题的关键． 将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·北京丰台·期末）若关于的方程的解是，则的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了方程的解的定义及解分式方程． 根据题意，将代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：将代入方程，得， 交叉相乘，得，即， 解得． 故答案为：8． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·云南怒江·期末）若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了已知分式方程的解求参数，将代入分式方程，求解的值即可． 【详解】解：由题意得 , 解得， 故选：D． 【题型4】含参数分式方程—增根问题 1.核心知识点 增根定义；最简公分母=0；整式方程回代 2.解题方法技巧 令公分母=0→得增根→代入整式方程→求参数 【例题4】.（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·福建泉州·月考）若方程有增根，则增根为_____ ． 【答案】5 【分析】先确定分式方程分母为0时x的值，该值即为增根． 【详解】若方程有增根， 则， 解得， ∴增根为． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南许昌·期末） 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，分式方程有增根的条件是分母为零，则可得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得， ∵原方程有增根， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． 【题型5】含参数分式方程—解为正/负数 1.核心知识点 解的符号；分母≠0；不等式求解 2.解题方法技巧 表出解→列符号不等式→排除增根→写范围 【例题5】.（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 【答案】且 【分析】先解分式方程得到用表示的结果，再根据解为非负数得到，结合分式方程分母不为零得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边同乘，得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不能为， ∴， 解得且． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 【变式题5-2】.（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 【答案】 且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 整理得， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得到的表达式，再根据解为正数且分式有意义的条件列出不等式，求解即可，掌握分式方程的解法是解题的关键。 【详解】解： 去分母，化为整式方程得 展开并整理得 解得 ∵该分式方程的解为正数 ∴，且分母 解不等式得 由得，解得 ∵已满足 ∴的取值范围是． 【培优高频题型】 【题型6】工程问题分式方程 1.核心知识点 工作总量设为1；效率=；合作效率相加 2.解题方法技巧 列表梳理时间/效率；抓住“时间差、合作完成”列方程 【例题6】.（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人分别加工300个零件，甲每天比乙多加工10个，结果甲提前5天完成．设乙每天加工x个零件，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件表示出甲的工作效率，再结合“工作时间工作总量工作效率”得到甲、乙两人的工作时间，最后根据甲提前5天完成的等量关系列方程即可． 【详解】∵设乙每天加工个零件，甲每天比乙多加工10个， ∴甲每天加工个零件， 乙加工300个零件的总时间为天， 甲加工300个零件的总时间为天， ∵甲提前5天完成，即乙的总时间比甲多5天， ∴， 故选：A． 【变式题6-1】.（2026·江苏南京·模拟预测）某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 【答案】每月实际生产智能手机万部． 【分析】设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部，根据工作时间工作总量工作效率结合提前个月完成任务，列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每月实际生产智能手机万部． 【变式题6-2】.（2026·吉林长春·二模）在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 【答案】平均每小时清除10吨 【分析】先设原计划平均每小时清除吨垃圾，再分别表示出原计划用时和实际用时，根据原计划用时实际用时小时这一等量关系列出分式方程，求解并检验后得到答案． 【详解】解：设青年突击队原计划平均每小时清除吨垃圾． 由题意，得． 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：青年突击队原计划平均每小时清除10吨垃圾． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·重庆·期中）2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 【答案】(1)3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. (2)乙组每天检查B型号摩托车50台. 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用. （1）设出3月A、B两种型号的订单量，根据题干给出的3月总订单量和4月总订单量的条件列出二元一次方程组，求解即可得到结果. （2）先根据第一问结果算出4月两种型号的订单量，再设乙组每天检查的数量，根据甲乙完成任务的时间差列出分式方程，求解检验后即可得到结果. 【详解】（1）解 ：设3月A型号摩托车订单量为x台，B型号摩托车订单量为y台. 根据题意可得 ，整理第二个方程得， 解得 ， 答：3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. （2）解：由（1）可得，4月A型号订单量为（台）， 4月B型号订单量为（台）. 设乙组每天检查B型号摩托车m台，则甲组每天检查A型号摩托车台. 根据题意可得， 解得，经检验是分式方程的解， 故乙组每天检查B型号摩托车50台. 【题型7】行程问题分式方程 1.核心知识点 顺速=静速+水速；逆速=静速-水速；时间= 2.解题方法技巧 统一单位；抓住“时间相等/时间差”建立等式 【例题7】.（2026·山东菏泽·一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】C 【分析】设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过路段时的速度． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是米/秒． 【变式题7-1】.（2026·山东济南·二模）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了__________小时． 【答案】 【分析】分别求出甲、乙的速度，再由两车相遇时，距离A城的距离相等建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙追上甲时，乙行驶了． 【变式题7-2】.（2026·黑龙江大庆·一模）中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． 【答案】该动车行驶的平均速度 【分析】设普通列车的平均速度为，根据动车所需时间比普通列车少，列分式方程求解即可． 【详解】解：设普通列车的平均速度为， 根据题意列方程为：， 解得：， 经检验是方程的根且符合题意， 可得：， 答：该动车行驶的平均速度． 【变式题7-3】.（2026·云南保山·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深化实践育人，某校组织学生前往红色教育基地开展研学旅行，计划租赁甲、乙两种型号的大巴车接送师生． 素材一 甲型大巴车比乙型大巴车平均每小时多行驶千米； 素材二 甲型大巴车行驶千米的时间与乙型大巴车行驶千米的时间相同． 请完成以下任务： 任务 求甲、乙两种大巴车的平均行驶速度． 【答案】甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时 【分析】根据“行驶时间相同”的等量关系，设乙车速度为未知数，列分式方程求解． 【详解】解：设乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时，则甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 故甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时． 【题型8】销售/价格问题分式方程 1.核心知识点 单价、数量、总价关系；两次购买模型 2.解题方法技巧 设单价→表数量→用“数量差/数量倍数”列方程 【例题8】.（2026·山东济南·二模）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：设购买篮球a个，总费用为y元， 由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且a为整数， ∵，， ∴y随a增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，元， 答：当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元． 【变式题8-1】.（2026·山东烟台·一模）某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 【答案】(1)每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元 (2)0.2元 【分析】（1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元， 根据题意得 解得， 答：每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元； （2）解：设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，优惠后每本手账本的单价为元，每个钥匙扣的单价为元， 根据题意得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个钥匙扣降低的价格是0.2元． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结合，频频出圈，在隋唐洛阳城应天门遗址广场，文创门店以“洛阳”“河南”等文字为形状，激光雕刻出的立体文字冰箱贴，磨砂质感简约高级．某工艺品店计划推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的冰箱贴，已知甲款冰箱贴价格是乙款冰箱贴价格的倍，且用100元购买甲款冰箱贴的数量比用128元购买乙款冰箱贴的数量少3个，求这两款冰箱贴的单价． 【答案】乙款冰箱贴价格为16元，甲款冰箱贴价格为20元 【分析】设乙款冰箱贴价格为x（元），则甲款冰箱贴价格为（元），根据用100元购买甲款冰箱贴的数量比用128元购买乙款冰箱贴的数量少3个，列出分式方程，求解后检验即可． 【详解】解：设乙款冰箱贴价格为x（元），则甲款冰箱贴价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴甲款冰箱贴价格为（元） 答：乙款冰箱贴价格为16元，甲款冰箱贴价格为20元． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·重庆·期中）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元 (2)共有三种购买方案，具体方案见解析 【分析】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，由此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元； （2）解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个， 依题意，得 解得：， ∵m为整数， ∴m可取42，43，44， 故共有三种购买方案： 方案1：购买42个A型号纪念品， 28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品， 27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品， 26个B型号纪念品． 【压轴素养题型】 【题型9】裂项相消型分式方程 1.核心知识点 ；抵消求和 2.解题方法技巧 拆项→中间抵消→留首尾→简化解 【例题9】.（25-26八年级下·湖南益阳·期末）根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求： (1)； (2)仿照上面运算将拆项； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的加减法及解分式方程，解答的关键是读懂材料，对所求的式子拆项． （1）利用计算即可； （2）先计算，再根据求解即可； （3）利用（2）的结论，将方程整理为，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解， ∴． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下面分数的规律，解决问题： ；；；… (1)若为正整数，按照上面式子的形式，请你猜想__________，并说明理由； (2)__________； (3)解关于的分式方程． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题干的变形规律猜想填空即可；将通分化简即可． （2）根据将原式变形即可求解； （3）根据将分式方程整理解答即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； … ∴；理由如下： ， 成立． （2）解： ． （3）解：， 即， ， ， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， 是原方程的根． 【点睛】注意解分式方程要对方程的解进行检验． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②25 【分析】本题考查了分式规律探究，异分母减法，分式方程，理解题意，观察得到规律，并熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ． （2）解：① ． ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·广东韶关·月考）探索并解决问题． 【计算】 请你计算下列算式，观察并归纳其中的规律： （1） ； （2） ； （3） （4） 【归纳】 - ． 这个结果与上面的计算有什么联系吗？ 【应用】 （1）计算： ⋯； （2）解分式方程： 【答案】【计算】（1）（2）（3）（4）【归纳】；【应用】（1）（2） 【分析】【计算】（1）（2）（3）（4）利用拆项的方法计算即可； 【归纳】由上述解答可总结，前面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差； 【应用】（1）利用总结的规律将每个式子进行拆分，然后进行加减运算即可； （2）利用总结的规律将每个式子进行拆分，合并后得到，解这个分式方程即可，最后要检验得出的解是否为分式方程的增根． 【详解】解：【计算】（1）； （2）原式； （3）原式； （4）原式； 【归纳】原式； 这个结果与上面的计算是有联系的，上面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差； 【应用】（1）原式．．． ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴． 【题型10】新定义运算型分式方程 1.核心知识点 自定义规则翻译；转化为常规分式方程 2.解题方法技巧 照定义列式→化简→解方程→检验 【例题10】.（25-26七年级上·河北保定·期末）对于实数，定义一种新运算“”为，这里等式右边是通常的实数运算．例如：． (1)求的值； (2)求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程； （1）按照新运算的公式计算即可； （2）先将目标式变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 当，，所以是原方程的解。 【变式题10-1】.（25-26八年级下·山东济南·期中）【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________    ②________ (2)【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 【答案】(1)①否；②是 (2) (3)或 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； ②当，时，解分式方程得：， 又，符合“关联数对”的定义， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵k为整数，m为待求的整数， ∴为整数， ∴或， 解得或或0或1． ∵， ∴， ∵且， ∴或． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”．例如：当，时，关于的分式方程的解是，并且，所以成立，因此数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． 1 2 3 17 17 (1)请判断数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，并说明理由． (2)若数对（，）是关于的分式方程的“友好数对”，请求出与的数量关系． (3)在（2）的条件下，填写上表；然后根据上述表格，小明提出了关于的值的一些猜想，请从以下猜想中选出正确的一个，并进行证明． ①的最小值是8； ②当时，随着值逐渐增大，的值逐渐减小． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)填表见解析，猜想①正确，理由见解析 【分析】本题考查解分式方程，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，求出方程的解，分式的值，进行判断即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）根据（2）的结论，进行求解即可，根据，以及完全平方公式进行证明即可． 【详解】（1）解：当时，化为， 解得； 经检验是原方程的解； ∵， ∴， 故数对是关于的分式方程的“友好数对”； （2）解：当时，化为， 解得， ∵数对（，）是关于的分式方程的“友好数对”， ∴， ∴。 ∴， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 填表如下： 1 2 3 8 17 17 8 由表格可知时的值小于时的值， 故②错误； 猜想①正确，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故的最小值是8；故①正确． 易错点 1、解完方程不检验，把增根当作有效解。 2、去分母时漏乘常数项，或分子不加括号导致符号错。 3、混淆增根与无解，含参问题少分类讨论。 4、应用题只验方程解、不验实际意义（如人数为分数）。 5、顺逆水、工程效率关系记错，等量关系找错。 重点 1、分式方程的定义、解法与验根。 2、含参方程：已知解、增根、解的符号三类问题。 3、工程、行程、价格三类应用题模型。 4、列分式方程解应用题的完整步骤与双检验。 难点 1、含参分式方程无解/有增根的分类讨论。 2、复杂情境中等量关系提炼与建模。 3、新定义、裂项法等创新题型的转化能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握分式方程的定义是关键；分式方程是指含有分式的方程，一般指分母中含有未知数的方程．选项B的分母均为常数，因此不是分式方程． 【详解】∵ 分式方程需满足分母中含有未知数， A、分母为x，含未知数，是分式方程； B、分母为3、4、5，均为常数，不含未知数，不是分式方程； C、分母为，含未知数，是分式方程； D、分母为x和，含未知数，是分式方程． ∴ 不是分式方程的是B． 故选B 2．小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“实际总阅读时间原计划总阅读时间多花的10天”这一等量关系，分别表示出各段时间即可列出方程． 【详解】解：∵设总页数为，原计划每天读页， ∴原计划总阅读时间为天． ∵实际先读页，每天读页，剩余页数阅读量降为原来的一半， ∴读前页的时间为天，剩余页数为，后续每天阅读量为，读完剩余页数的时间为天． ∵ 实际比原计划多花天读完， ∴可得方程． 因此A选项正确． 3．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 二、填空题 4．若代数式与的值相等，则_______． 【答案】 【详解】解：根据题意得： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得； 经检验，是原分式方程的解. 5．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数且分母不为零，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程变形为 去分母，两边同乘得： 整理得： 解得： 由分式方程的解为正数，可得，且即 解得：且． 6．若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【详解】（1）解： 检验，当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解： 检验，当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 8．已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)的整数值为或1 【分析】本题考查了分式方程的增根，根的正负性与整数解的确定，掌握分式方程增根的处理方法，根的正负性与整数解的条件，结合整式方程求解参数是解题的关键． （1）分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根，代入去分母后的整式方程求的值； （2）将根代入去分母后的整式方程，直接求解的值； （3）先求出整式方程的解，根据根为正数且不为增根，列出不等式求的取值范围； （4）由整式方程的解为正整数，结合为整数，确定为4的正约数，再排除增根对应的值． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 整理，得． 分式方程有增根， ． 把代入，得 解得． （2）解：， ， 解得． （3）解：原分式方程的根为正数， 且， 即且， 解得且． （4）解：由，得． 要使分式方程的根为正整数，且为整数， 则或或， 或或． 由（1）可知，当时，该方程有增根，不符合题意， 的整数值为或． 9．近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 【答案】2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人 【分析】设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，2025年为万人，根据所给数量关系列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，则2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为万人， 由题意得．                 解得，                     经检验，是原方程的解，且符合实际， ，                     答：2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人． 10．河南焦作温县的山药种植历史悠久，所产的“铁棍山药”是享誉全国的地理标志产品．某山药制品专卖店决定采购A，B两种规格的礼盒进行销售，已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一盒A种礼盒的进价比一盒B种礼盒的进价贵40元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1600元购进的B种礼盒的数量相等． (1)求每盒A种礼盒和每盒B种礼盒的进价． (2)为迎接即将举行的河南特色产品展销会，厂家推出优惠活动：每购买一盒A种礼盒，就赠送一盒B种礼盒．已知专卖店计划用于购买礼盒的资金不超过2640元，且B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少6盒．设专卖店购买盒A种礼盒．求总费用（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少盒A种礼盒．此时总费用是多少元？ 【答案】(1)A种礼盒进价120元，B种礼盒进价80元． (2) ，最多可以购买15盒A种礼盒，此时总费用为2520元． 【分析】本题考查了实际生活中的二元一次方程和一元一次不等式问题，正确列出对应方程和不等式是解题关键． （1）分别设出A种礼盒和B种礼盒进价，根据两个信息列出二元一次方程组． （2）关键是专卖店最终拥有的 B种礼盒总数是包括买的和送的，但只有买的需要计算费用，根据总费用A种礼盒数量A种礼盒进价B种礼盒数量B种礼盒进价，列出不等式，注意x取正整数． 【详解】（1）解：设A种礼盒进价x元，B种礼盒进价y元，则可列出方程组： 解得 ， 经检验是原方程的解， 答：A种礼盒进价120元，B种礼盒进价80元． （2）解：A种礼盒费用 ，由于买了x盒A种礼盒，故送了x盒B种礼盒，由题意可知， 则需要出钱的B种礼盒数量 ， 若，此时B种礼盒不需要花钱买， 故总费用A种礼盒数量A种礼盒进价，此时最大为5； 若，此时B种礼盒需要花钱买， 故总费用A种礼盒数量A种礼盒进价B种礼盒数量B种礼盒进价 ， 即 ， 令 ， 解得 ， 由于x取正整数， 所以此时最大为15， 综上，最多可以购买15盒A种礼盒，此时总费用 （元） 答：总费用（元）与之间的函数关系式是，最多可以购买15盒A种礼盒，总费用为2520元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $