第5章 分式与分式方程 单元复习（5大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

该初中数学《分式与分式方程》单元复习讲义通过知识点框架图和对比表格系统构建知识体系，涵盖分式概念、基本性质、运算、方程及实际应用五大模块，用表格清晰呈现分式乘除加减的运算法则与关键步骤，明确分式值为0的双条件、方程检验等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如“分式值为0的条件判断”用“分子为零先求解，分母非零再排除”口诀培养运算能力，压轴题型“分式规律探究”引导发现序列规律发展推理意识，配套易错点总结和巩固练习，助力不同层次学生提升，支持教师实施精准分层教学与学生自主复习。

第5章 分式与分式方程 知识点1：分式的概念与意义 1.分式定义：形如（A,B为整式，中含字母，且）的式子叫做分式。 2.分式有意义：分母；分式无意义：分母。 3.分式值为0：分子且分母（双条件，缺一不可）。 4.分式值正负：分子分母同号为正，异号为负。 知识点2：分式的基本性质 1.基本性质：（，为整式）。 2.符号法则：分子、分母、分式本身，同时改变两个符号，分式值不变。 3.约分：约去分子分母公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）。 4.通分：化异分母为同分母，依据最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积）。 知识点3：分式的运算 运算类型 运算法则 关键步骤 乘法 先因式分解再约分 除法 除式颠倒，变乘法 加减（同分母） 分母不变，分子加减 加减（异分母） 先通分，再按同分母计算 通分后分子整体运算 混合运算 先乘方→乘除→加减；有括号先算括号内 结果化为最简分式/整式 知识点4：分式方程 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.解法步骤：去分母→解整式方程→检验（必写步骤）。 3.增根：使最简公分母的根，不是原分式方程的根。 4.无解情形：①整式方程无解；②整式方程的解均为增根。 知识点5：分式方程的实际应用 1.常见模型：工程问题、行程问题、销售问题、平均问题。 2.解题步骤：审题→设元→列方程→求解→双检验（方程解+实际意义）→作答。 【基础必考题型】 【题型1】分式概念辨析与有意义判断 1.核心知识点: 分式定义：分母含字母、整式形式、 分式有意义：分母≠0；无意义：分母=0 2.解题方法技巧: 只看原式不化简判断；π是常数不是字母 分母为多项式时，因式分解后令每个因式≠0 【例题1】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）下列式子属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若，是整式，，且分母中含有字母，则式子是分式；据此逐一判断即可．需注意是常数不是字母． 【详解】解：A．的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，故该选项不符合题意， B．的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，故该选项不符合题意， C．是常数，属于整式，不是分式，故该选项不符合题意， D．是分式，故该选项符合题意． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，属于分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】若，是整式，中含有字母且，则是分式，据此可得答案． 【详解】解：在代数式中，属于分式有，共2个． 【变式题1-2】.（2026·广东珠海·二模）若代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据分母不为0以及被开方数为非负数建立不等式求解即可. 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且. 【变式题1-3】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据当时分式无意义，可知当时，分母为． 【详解】解：A选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故A选项不符合题意； B选项：分式的分母为，当时，分式无意义， 当时，， 当时，， 当时，， 故B选项符合题意； C选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故C选项不符合题意； D选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故D选项不符合题意． 故选：B． 【题型2】分式值为0的条件判断 1.核心知识点: 分子=0且分母≠0，两个条件必须同时满足 先求分子为0的解，再代入分母排除增根 2.解题方法技巧: 口诀：分子为零先求解，分母非零再排除 绝对不能只看分子，忽略分母不为0的前提 【例题2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）若分式的值为0，则______． 【答案】 【分析】根据分式值为时分子为且分母不为，列出等式与不等式求解，舍去使分母为的解即可. 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得或， 对因式分解得， 由得且， 综上，符合条件的． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山西临汾·月考）下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：分式值为0的条件是分子为0，分母不为0， A、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； B、，则，那么分母，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； C、，则，那么分母，满足分式值为0的条件，故分式值可以为0； D、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 【变式题2-3】.（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）若式子的值等于0，则x的值为________． 【答案】 3 【分析】根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），结合二次根式有意义的条件（被开方数非负），联立求解x的值． 【详解】解：要使式子的值为0，需满足以下条件： 1. 分子为0且二次根式有意义：，即，解得， 2. 分母不为0：， 当时，，满足二次根式有意义的条件，且，满足分母不为0的条件， 因此，x的值为3． 【题型3】分式基本性质与符号化简 1.核心知识点: 分式基本性质：同乘除非零整式，值不变 符号法则：变两个符号，值不变 2.解题方法技巧: 系数化整：小数同乘10ⁿ，分数同乘分母最小公倍数 符号统一：把负号提到分式最前面 【例题3】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质：“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、的分子不含因式，无法约分为，则，变形错误； B、，变形正确； C、的分子、分母没有同时乘同一个不为的整式，，变形错误； D、分式分子、分母同时加不符合分式基本性质，，变形错误． 故选：B 【变式题3-1】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此可判断A、B；当可证明，，据此可判断C、D． 【详解】解：A、从到，分子和分母同乘以，根据分式的基本性质可知，但原分式中的值可以为0，原式变形错误，不符合题意； B、由于，则变形正确，符合题意； C、当时，，原式变形错误，不符合题意； D、当时，，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·河南南阳·期中）若，则“？”所代表的分子是__________． 【答案】c 【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数． （1）_______． （2）_______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的基本性质． （1）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以10，分式的值不变． （2）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以6，分式的值不变． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 【题型4】分式的约分与最简分式判断 1.核心知识点: 约分：先因式分解，再约去公因式 最简分式：分子分母无公因式 2.解题方法技巧: 多项式必须先分解因式再找公因式 公因式：系数最大公因数×相同因式最低次幂 【例题4】.（25-26八年级下·四川宜宾·期中）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子分母没有公因式的分式，对各选项约分后即可判断结果． 【详解】解：选项A、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； 选项C、，分子为，分母为，二者没有公因式，因此是最简分式； 选项D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 【变式题4-1】.（2026九年级下·浙江·专题练习）计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】运用积的乘方法则计算分子，再通过约分得到最终结果. 【详解】解：原式. 【变式题4-2】.（2026·河北唐山·一模）约分：________． 【答案】m 【分析】先找出该分式分子与分母的公因式，再根据分式的基本性质约去公因式，即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·四川成都·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据最简分式的定义，即分子分母不含公因式的分式，对各选项化简判断即可得到结果． 【详解】解：最简分式的定义为：分子与分母没有公因式的分式是最简分式， 对A选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式； 对B选项：分子为，分母为，分子分母没有公因式，是最简分式； 对C选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式； 对D选项：，分子分母含有公因式，约分后为，不是最简分式. 【题型5】分式混合运算（含括号、符号） 1.核心知识点: 运算顺序：乘方→乘除→加减；括号优先 通分、约分、因式分解综合运用 2.解题方法技巧: 每步先看能否因式分解，能分解先分解 减法注意分子整体加括号，避免符号错误 【例题5】.（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【变式题5-1】.（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·四川资阳·月考）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了分式的加减法，包括通分和同分母分式的加减法法则，分式的混合运算，包括分式的除法法则，平方差公式和完全平方公式进行因式分解，分式的约分及分式的减法运算． （1）先将式子中的变形为，然后通分，的分母看作1，通分后分母为，根据平方差公式得到，同分母分式相减，分母不变，分子相减，即可求得结果； （2）先计算除法，并对分子分母根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解得到，约分后得到，再计算减法，根据同分母分式相减，分母不变，分子相减得到． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）除法变乘法，约分化简即可； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【培优高频题型】 【题型6】分式化简求值 1.核心知识点: 先化简再代入，分式有意义前提下取值 整体代换：、ab、整体代入 2.解题方法技巧: 已知，用分式变形转化为与ab 取值时排除使分母为0的数 【例题6】.（2026·北京平谷·一模）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】先对所求式进行化简，再利用整体法求解即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， 代入得，原式． 【变式题6-1】.（2026·江苏无锡·一模）先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 【答案】， 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴， 则原式． 【变式题6-2】.（2026·北京西城·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式． ， ． ∴原式． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·四川成都·月考）已知，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则化简，再通过，可得，代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【题型7】解可化为一元一次方程的分式方程 1.核心知识点: 解法：去分母→整式方程→求解→检验 检验：代入最简公分母，≠0才是原方程根 2.解题方法技巧: 去分母不漏乘常数项；互为相反数的因式先提负号统一 检验步骤必须写，这是得分点 【例题7】.（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： 【答案】 【分析】根据分式方程的解法，两边同时乘以最简公分母，转化为整式方程，进而求解即可． 【详解】解：， 两边同时乘以最简公分母，得 ， 解得． 经检验，是原方程的根． 【变式题7-1】.（2026·陕西榆林·二模）解方程：. 【答案】 【详解】解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·单元测试）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可； （2）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： ， 经检验，是原方程的解； （2）解： ， 经检验，当时，， 故原方程无解． 【题型8】分式方程的增根问题 1.核心知识点: 增根：最简公分母=0，是整式方程根但不是分式方程根 步骤：求增根→代入整式方程→求参数 2.解题方法技巧: 先令分母=0求增根，再把增根代入去分母后的整式方程 增根≠原方程根，千万不可直接当原方程解使用 【例题8】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根计算得到m的值． 【详解】解：∵分式方程有增根，且分母为和， ∴， ∴增根为， 将原方程两边同乘去分母，得： 把代入整式方程，得： 解得． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖南益阳·期末）若分式方程有增根，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题． 先求解分式方程，分式方程有增根，则分母为零，即，代入方程的解中求a即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， 即． ∵分式方程有增根， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的分式方程有增根，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式方程有增根时，分母为零，即，代入化简后的方程求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘，得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘，得：， 原方程有增根， 最简公分母，解得， 当时，即， ． 故答案为：． 【题型9】根据分式方程解的情况求参数范围 1.核心知识点: 解为正数/负数/非负数：先表示解，再列不等式 必须排除增根，这是高频易错点 2.解题方法技巧: 三步走：解整式方程→列不等式→排除增根 如：解>0且解≠增根，联立求范围 【例题9】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 1 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意． 当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根． 分式方程的增根使最简公分母为0，即，得， 将代入，得， 解得． 综上，的值为或． 【变式题9-2】.（2026九年级下·重庆永川·专题练习）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，因为不等式组有解，所以，因为分式方程有非负整数解，所以且为偶数，可得：或或或或，从而可得所有满足条件的整数的值之积． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 解分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程的解为非负整数， 且为偶数， ， ， 或或或或， 当时，， 当时，， ， 是分式方程的增根， 当时，， 当时，， 当时，， 或或或， ， 满足条件的整数的值之积为. 【变式题9-3】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法，是解题的关键．先解不等式组，得到有解的条件是；再解分式方程，得到，要求y为正整数且，从而是4的正约数，但排除的情况，得到或；结合不等式组条件，和均满足． 【详解】解： 由不等式①得， 由不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； 解分式方程得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴是4的正约数，即或2或4， ∴或或5， ∵， ∴或， 结合，满足条件的整数a为2或3． 故选：A． 【压轴素养题型】 【题型10】分式规律探究与新定义运算 1.核心知识点: 分式序列：分子、分母、符号三方面找规律 新定义：按规则转化为常规分式运算 2.解题方法技巧: 符号：或控制 新定义严格照抄规则，注意定义域限制 【例题10】.（24-25九年级下·湖北武汉·月考）观察下列关系式：；…… (1)你可归纳出一般结论是____________________． (2)利用上述结论，计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法： （1）归纳总结得到一般性结论，写出即可； （2）利用得出的结论将原式变形，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：；…… 由此得到 （2）解： 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 大数值式子大小的比较问题 有些大数值式子大小的比较问题可以通过用字母代替数转化成整式或分式的简化运算，再用作差法比较大小． 例1：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． ∵， ∴． 例2：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． ∵． 任务： (1)请将例2的解题过程补充完整． (2)若，，请用小宣同学数学笔记中的方法，比较x，y的大小． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是分式的加减运算，掌握运算法则是解题关键， （1）通过异分母分式减法运算得出，进而得出结论； （2）设，则，，求出，进而得出结论． 【详解】（1）解：设， 则，． ∵， 又， ， ； （2）解：设， 则，， ∵ ， 又， ， ． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【答案】(1) (2)①；②是“巧分式” 【分析】（1）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （2）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：分式（为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ． （2）解：①． 【提示】∵分式的“巧整式”为， ． ② ． 是整式， 是“巧分式”． 【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，正确计算是解题的关键． 【题型11】分式方程跨学科/生活情境应用题 1.核心知识点: 工程：工作总量=效率×时间；行程：路程=速度×时间 销售：总价=单价×数量；平均：均价=总钱数÷总重量 2.解题方法技巧: 抓“相等时间”“相等工作量”“单价差”列方程 双检验：方程解正确+符合实际意义 【例题11】.（2026·云南大理·一模）云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【答案】游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时 【分析】设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，根据快艇比游船早到0.5小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时， 根据题意，得： 解得： 经检验是所列分式方程的解，且符合题目要求， 此时 答：游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时． 【变式题11-1】.（2026·重庆沙坪坝·一模）列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 【答案】(1)该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元 (2)2万元 【分析】（1）设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元，根据“改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元”列方程求解即可； （2）设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元，根据“180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 则改造1条乙类生产线需投入（万元）． 答：该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元； （2）解：设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：实际改造1条乙类生产线增加的费用是2万元． 【变式题11-2】.（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 (2)购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． （2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 【变式题11-3】.（2026·贵州·模拟预测）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 【题型12】分式复杂化简与对称式求值 1.核心知识点: 倒数法、设参法、拆项法、整体代换综合 对称式：、变形 2.解题方法技巧: 已知连比设；已知倒数和取倒数变形 高次幂用完全平方公式降次 【例题12】.（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：已知关于的方程的解是或，不妨约定这种方程为“对称方程”．例如“对称方程”的解是或．阅读材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设， 对于任意，上述等式均成立，解得： 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．根据上述材料，回答下列问题： (1)“对称方程”的解是_____ (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为_____． (3)解关于的“对称方程”：（为常数且），结果用含的代数式表示． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】此题主要考查分式运算的应用，解分式方程． （1）根据“阅读材料1”的方法求解即可； （2）根据“阅读材料2”的方法求解即可； （3）利用换元法，设，则，把原方程整理成的形式，再利用“对称方程”的解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意或， 解得或， 经检验，或都是原方程的解； 故答案为：或； （2）解： 故答案为：； （3） 解：设，则， 则原方程化为，即， 整理得，即， ∴， ∴或， ∴或， 解得或， 经检验，或都是原方程的解． 【变式题12-1】.（22-23八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得， 经检验：都是方程的解，当时，，解得， 当时，，解得，经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为________________． (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，则，据此求解即可； （2）先把方程变形为，再用换元法求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 故答案为： （2）解：∵， ∴原方程为。 设，原方程可化为， 方程两边同时乘以，得， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 【点睛】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法． 【变式题12-2】.（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·上海徐汇·期中）阅读理解并解决问题 【阅读材料】当且时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． (1)【知识理解】已知函数与函数，则当______时，取得最小值为______； (2)【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 【答案】(1)， (2)故千米时，该汽车平均每千米的运输成本y最低，最低成本为元． 【分析】（1）根据题干的结论求解即可； （2）设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可得出，然后根据题干的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 当时，取得最小值为； （2）解：设该汽车平均每千米的运输成本为y元， 则 ， 故千米时，该汽车平均每千米的运输成本y最低， 最低成本为（元）． 易错点 1.分式值为0：只让分子=0，忘记分母≠0，导致增根。 2.分式基本性质：乘除时漏乘分子/分母，或乘0。 3.分式运算：减法分子未整体变号，通分后计算错误。 4.分式方程：忘记检验，把增根当成原方程解。 5.分式方程求参：解满足范围时，未排除增根。 6.实际应用：单位不统一、结果未取整数、未检验合理性。 重点 1.分式有意义、值为0的条件判断。 2.分式的基本性质、约分、通分。 3.分式加减乘除及混合运算、化简求值。 4.分式方程解法、增根与检验。 5.分式方程在工程、行程等实际问题中的应用。 难点 1.含参数分式方程的增根、无解、解的范围综合分析。 2.复杂分式化简、整体代换、对称式求值技巧。 3.实际问题中等量关系提炼与分式方程建模。 4.分式与整数、不等式、新定义、规律探究的综合。 【对应练习题】 一、单选题 1．在代数式中，分式共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母. 【详解】根据分式定义：若是整式，且式子的分母中含有字母，则该式子是分式. 逐个判断给出的代数式： ∵ ，的分母均为常数，中是常数，分母不含字母，这三个都是整式，不是分式； ∵ ，，这三个的分母都含有字母，符合分式定义，都是分式. ∴ 分式共有3个，故选B. 2．使式子有意义的的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】二次根式被开方数必须非负，分式分母不能为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，， 解不等式得， 由得， 综上所述，使式子有意义的的取值范围是且． 3．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 【答案】B 【分析】分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ②当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴x的值为或6． 二、填空题 4．计算的结果是____． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解分母，再对异分母分式通分，转化为同分母分式后合并分子，最后约分得到结果． 【详解】解：原式 = ． 5．关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【分析】先解分式方程，用表示方程的解，根据方程的解是整数的要求得出的值，即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴， ∵关于的分式方程的解是整数， ∴时，解得：或； 时，解得：或； 时，解得：或； ∵， ∴， ∴，解得：， 综上可得：满足条件的整数的值为或或或或， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 6．图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意得到，，再利用分式的约分对进行化简即可得到化简结果，再进一步求出最小值即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 即可化简为． ， ∵a为大于1的整数， ∴当时，取得最大值为， 此时取得最小值为， 即的最小值为． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 8．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】先对括号内进行通分后，对分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法后，约分化简，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 9．为响应校园劳动教育，学校采购一批劳动工具，第一次花费2000元购买若干套，第二次花费1920元购买同款工具，第二次每套价格比第一次上涨，购买数量比第一次少5套．求第一次购买劳动工具每套的价格． 【答案】第一次每套价格为80元． 【分析】设第一次每套价格为x元，根据题意列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设第一次每套价格为x元， 由题意得， 解得：， 检验：是原方程的解且符合题意， 答：第一次每套价格为80元． 10．马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的表演震惊全场，某车企迅速在甲、乙两个车间引入宇树智能机器人，引入后，甲、乙两个车间同时生产了天，共生产了辆汽车，已知甲车间平均每天的生产量是乙车间平均每天的生产量的两倍． (1)求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)为了进一步提升生产效率，两车间都进行了技术改进，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果甲车间生产辆汽车与乙车间生产辆汽车用时相同，求的值． 【答案】(1)甲车间平均每天生产辆汽车，乙车间平均每天生产辆汽车 (2)的值是 【分析】（1）设乙车间平均每天生产辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车，根据题意列出方程，并求解即可； （2）根据用时相同列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设乙车间平均每天生产辆汽车，则甲车间平均每天生产辆汽车， 根据题意，得， 解得， ∴． 答：甲车间平均每天生产辆汽车，乙车间平均每天生产辆汽车． （2）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：的值是． 11．化简分式：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② ……③． (1)上面的运算过程中第________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． (3)当时，请求上述分式的值． 【答案】(1)③ (2)见解析 (3) 【分析】（1）第③步，分子相减时，符号出错； （2）通分计算括号内，除法变乘法，再约分化简即可； （3）把代入（2）中结果，进行计算即可． 【详解】（1）解：第③步，分子相减时，符号出错； （2）解：原式 ； （3）解：当时，上式． 12．定义：分子为1的真分数叫做“单位分数”． 古埃及人在分数运算中普遍使用此类分数，并通过将真分数分解为多个不同单位分数之和进行计算，如：，因此单位分数也称为“埃及分数”． (1)求证：(为正整数，)可以分解为单位分数，的和； (2)观察下列将真分数分解成两个不同单位分数之和的过程： 第1个：， 第2个：， 第3个：， …… 用上述式子反映的规律，将第个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式，并证明； (3)借助（1）（2）的结果，试将(为正整数，)分解成不超过3个不同单位分数之和的形式． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)见解析 【分析】本题考查分式的加法运算与分式的基本性质，核心知识点为分式的通分与约分，关键是通过观察规律推导分解形式，并利用分式运算验证等式． （1）要证明可分解为两个指定单位分数的和，只需将右边的两个分式通分相加，约分后验证是否等于左边的； （2）先观察已知等式的规律，总结出第个真分数的形式及对应的分解结果，再通过通分相加验证等式成立； （3）解题思路：分三种情况讨论的取值(的倍数、非3倍数的偶数、非3倍数的奇数)，结合（1）和（2）的结论，将拆分为不超过3个不同的单位分数之和． 【详解】（1）证明：即证， ∵右边， ∴左边=右边， 故成立； （2）解：观察已知等式，将第个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式为：． 证明：∵右边， ∴左边=右边， 故成立； （3）解：分三种情况讨论： 当是3的倍数时，设(为正整数，)，则， 结合（1），； 当不是3的倍数且为偶数时，设(为正整数，)， 则； 当不是3的倍数且为奇数时，是正整数， 结合（2），， ∴； 综上，的分解形式为： 若是3的倍数，； 若不是3的倍数且为偶数，； 若不是3的倍数且为奇数，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式与分式方程 知识点1：分式的概念与意义 1.分式定义：形如（A,B为整式，中含字母，且）的式子叫做分式。 2.分式有意义：分母；分式无意义：分母。 3.分式值为0：分子且分母（双条件，缺一不可）。 4.分式值正负：分子分母同号为正，异号为负。 知识点2：分式的基本性质 1.基本性质：（，为整式）。 2.符号法则：分子、分母、分式本身，同时改变两个符号，分式值不变。 3.约分：约去分子分母公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）。 4.通分：化异分母为同分母，依据最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积）。 知识点3：分式的运算 运算类型 运算法则 关键步骤 乘法 先因式分解再约分 除法 除式颠倒，变乘法 加减（同分母） 分母不变，分子加减 加减（异分母） 先通分，再按同分母计算 通分后分子整体运算 混合运算 先乘方→乘除→加减；有括号先算括号内 结果化为最简分式/整式 知识点4：分式方程 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.解法步骤：去分母→解整式方程→检验（必写步骤）。 3.增根：使最简公分母的根，不是原分式方程的根。 4.无解情形：①整式方程无解；②整式方程的解均为增根。 知识点5：分式方程的实际应用 1.常见模型：工程问题、行程问题、销售问题、平均问题。 2.解题步骤：审题→设元→列方程→求解→双检验（方程解+实际意义）→作答。 【基础必考题型】 【题型1】分式概念辨析与有意义判断 1.核心知识点: 分式定义：分母含字母、整式形式、 分式有意义：分母≠0；无意义：分母=0 2.解题方法技巧: 只看原式不化简判断；π是常数不是字母 分母为多项式时，因式分解后令每个因式≠0 【例题1】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）下列式子属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，属于分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-2】.（2026·广东珠海·二模）若代数式有意义，则的取值范围是_____． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 【题型2】分式值为0的条件判断 1.核心知识点: 分子=0且分母≠0，两个条件必须同时满足 先求分子为0的解，再代入分母排除增根 2.解题方法技巧: 口诀：分子为零先求解，分母非零再排除 绝对不能只看分子，忽略分母不为0的前提 【例题2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）若分式的值为0，则______． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·山西临汾·月考）下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式题2-3】.（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）若式子的值等于0，则x的值为________． 【题型3】分式基本性质与符号化简 1.核心知识点: 分式基本性质：同乘除非零整式，值不变 符号法则：变两个符号，值不变 2.解题方法技巧: 系数化整：小数同乘10ⁿ，分数同乘分母最小公倍数 符号统一：把负号提到分式最前面 【例题3】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·河南南阳·期中）若，则“？”所代表的分子是__________． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数． （1）_______． （2）_______． 【题型4】分式的约分与最简分式判断 1.核心知识点: 约分：先因式分解，再约去公因式 最简分式：分子分母无公因式 2.解题方法技巧: 多项式必须先分解因式再找公因式 公因式：系数最大公因数×相同因式最低次幂 【例题4】.（25-26八年级下·四川宜宾·期中）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2026九年级下·浙江·专题练习）计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【变式题4-2】.（2026·河北唐山·一模）约分：________． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·四川成都·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】分式混合运算（含括号、符号） 1.核心知识点: 运算顺序：乘方→乘除→加减；括号优先 通分、约分、因式分解综合运用 2.解题方法技巧: 每步先看能否因式分解，能分解先分解 减法注意分子整体加括号，避免符号错误 【例题5】.（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 【变式题5-1】.（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·四川资阳·月考）（1）计算： （2）化简： 【变式题5-3】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算： (1)； (2)． 【培优高频题型】 【题型6】分式化简求值 1.核心知识点: 先化简再代入，分式有意义前提下取值 整体代换：、ab、整体代入 2.解题方法技巧: 已知，用分式变形转化为与ab 取值时排除使分母为0的数 【例题6】.（2026·北京平谷·一模）已知，求代数式的值． 【变式题6-1】.（2026·江苏无锡·一模）先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 【变式题6-2】.（2026·北京西城·一模）已知，求代数式的值． 【变式题6-3】.（25-26九年级下·四川成都·月考）已知，则代数式的值为______． 【题型7】解可化为一元一次方程的分式方程 1.核心知识点: 解法：去分母→整式方程→求解→检验 检验：代入最简公分母，≠0才是原方程根 2.解题方法技巧: 去分母不漏乘常数项；互为相反数的因式先提负号统一 检验步骤必须写，这是得分点 【例题7】.（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： 【变式题7-1】.（2026·陕西榆林·二模）解方程：. 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·单元测试）解分式方程： (1)； (2)． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【题型8】分式方程的增根问题 1.核心知识点: 增根：最简公分母=0，是整式方程根但不是分式方程根 步骤：求增根→代入整式方程→求参数 2.解题方法技巧: 先令分母=0求增根，再把增根代入去分母后的整式方程 增根≠原方程根，千万不可直接当原方程解使用 【例题8】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）若分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖南益阳·期末）若分式方程有增根，则a的值为______． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末）关于的分式方程有增根，则_____． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【题型9】根据分式方程解的情况求参数范围 1.核心知识点: 解为正数/负数/非负数：先表示解，再列不等式 必须排除增根，这是高频易错点 2.解题方法技巧: 三步走：解整式方程→列不等式→排除增根 如：解>0且解≠增根，联立求范围 【例题9】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为___________． 【变式题9-2】.（2026九年级下·重庆永川·专题练习）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 【压轴素养题型】 【题型10】分式规律探究与新定义运算 1.核心知识点: 分式序列：分子、分母、符号三方面找规律 新定义：按规则转化为常规分式运算 2.解题方法技巧: 符号：或控制 新定义严格照抄规则，注意定义域限制 【例题10】.（24-25九年级下·湖北武汉·月考）观察下列关系式：；…… (1)你可归纳出一般结论是____________________． (2)利用上述结论，计算： 【变式题10-1】.（25-26八年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 大数值式子大小的比较问题 有些大数值式子大小的比较问题可以通过用字母代替数转化成整式或分式的简化运算，再用作差法比较大小． 例1：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． ∵， ∴． 例2：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． ∵． 任务： (1)请将例2的解题过程补充完整． (2)若，，请用小宣同学数学笔记中的方法，比较x，y的大小． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”． (1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值． (2)若分式的“巧整式”为． ①整式 ； ②判断是否是“巧分式”． 【题型11】分式方程跨学科/生活情境应用题 1.核心知识点: 工程：工作总量=效率×时间；行程：路程=速度×时间 销售：总价=单价×数量；平均：均价=总钱数÷总重量 2.解题方法技巧: 抓“相等时间”“相等工作量”“单价差”列方程 双检验：方程解正确+符合实际意义 【例题11】.（2026·云南大理·一模）云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【变式题11-1】.（2026·重庆沙坪坝·一模）列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 【变式题11-2】.（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【变式题11-3】.（2026·贵州·模拟预测）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【题型12】分式复杂化简与对称式求值 1.核心知识点: 倒数法、设参法、拆项法、整体代换综合 对称式：、变形 2.解题方法技巧: 已知连比设；已知倒数和取倒数变形 高次幂用完全平方公式降次 【例题12】.（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：已知关于的方程的解是或，不妨约定这种方程为“对称方程”．例如“对称方程”的解是或．阅读材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设， 对于任意，上述等式均成立，解得： 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．根据上述材料，回答下列问题： (1)“对称方程”的解是_____ (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为_____． (3)解关于的“对称方程”：（为常数且），结果用含的代数式表示． 【变式题12-1】.（22-23八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得， 经检验：都是方程的解，当时，，解得， 当时，，解得，经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为________________． (2)模仿上述换元法解方程：． 【变式题12-2】.（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【变式题12-3】.（25-26八年级下·上海徐汇·期中）阅读理解并解决问题 【阅读材料】当且时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． (1)【知识理解】已知函数与函数，则当______时，取得最小值为______； (2)【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 易错点 1.分式值为0：只让分子=0，忘记分母≠0，导致增根。 2.分式基本性质：乘除时漏乘分子/分母，或乘0。 3.分式运算：减法分子未整体变号，通分后计算错误。 4.分式方程：忘记检验，把增根当成原方程解。 5.分式方程求参：解满足范围时，未排除增根。 6.实际应用：单位不统一、结果未取整数、未检验合理性。 重点 1.分式有意义、值为0的条件判断。 2.分式的基本性质、约分、通分。 3.分式加减乘除及混合运算、化简求值。 4.分式方程解法、增根与检验。 5.分式方程在工程、行程等实际问题中的应用。 难点 1.含参数分式方程的增根、无解、解的范围综合分析。 2.复杂分式化简、整体代换、对称式求值技巧。 3.实际问题中等量关系提炼与分式方程建模。 4.分式与整数、不等式、新定义、规律探究的综合。 【对应练习题】 一、单选题 1．在代数式中，分式共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．使式子有意义的的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 3．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 二、填空题 4．计算的结果是____． 5．关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 6．图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 8．先化简，再求代数式的值，其中． 9．为响应校园劳动教育，学校采购一批劳动工具，第一次花费2000元购买若干套，第二次花费1920元购买同款工具，第二次每套价格比第一次上涨，购买数量比第一次少5套．求第一次购买劳动工具每套的价格． 10．马年春节联欢晚会上，宇树智能机器人的表演震惊全场，某车企迅速在甲、乙两个车间引入宇树智能机器人，引入后，甲、乙两个车间同时生产了天，共生产了辆汽车，已知甲车间平均每天的生产量是乙车间平均每天的生产量的两倍． (1)求甲、乙两车间平均每天各生产多少辆汽车； (2)为了进一步提升生产效率，两车间都进行了技术改进，甲车间平均每天多生产辆汽车，乙车间平均每天多生产辆汽车，两车间同时开始生产，结果甲车间生产辆汽车与乙车间生产辆汽车用时相同，求的值． 11．化简分式：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② ……③． (1)上面的运算过程中第________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． (3)当时，请求上述分式的值． 12．定义：分子为1的真分数叫做“单位分数”． 古埃及人在分数运算中普遍使用此类分数，并通过将真分数分解为多个不同单位分数之和进行计算，如：，因此单位分数也称为“埃及分数”． (1)求证：(为正整数，)可以分解为单位分数，的和； (2)观察下列将真分数分解成两个不同单位分数之和的过程： 第1个：， 第2个：， 第3个：， …… 用上述式子反映的规律，将第个真分数分解成两个不同单位分数之和的形式，并证明； (3)借助（1）（2）的结果，试将(为正整数，)分解成不超过3个不同单位分数之和的形式． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $