专题1.2 等腰三角形（4大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

专题1.2 等腰三角形 知识点1：等腰三角形的性质 1.核心性质1（等边对等角）：等腰三角形的两底角相等。即若中，则。 2.核心性质2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（需满足两个前提：①等腰三角形；②为“三线”之一）。 3.拓展性质： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在直线； 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线分别相等。 知识点2：等腰三角形的判定 1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即若中，则。 3.特殊判定： 若一个三角形一边上的中线与这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形； 若一个三角形一角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形。 知识点3：等边三角形的性质与判定 类别 核心内容 具体说明 性质 1.三边相等，三角均为； 2.具备等腰三角形的所有性质（三线合一、轴对称）； 3.有三条对称轴（每条边上的“三线”所在直线） 等边三角形是特殊的等腰三角形，其“三线合一”在三条边上均成立 判定 1.定义法：三边都相等的三角形； 2.三角都相等的三角形； 3.有一个角是的等腰三角形 判定时需注意：含的三角形需先满足等腰条件才是等边三角形 知识点4：含角的直角三角形性质 1.核心性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。即若中，，则。 2.逆用结论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于（可 用于角度判定）。 【基础必考题型】 【题型1】等腰三角形角度计算 1.核心知识点 等腰三角形“等边对等角”性质； 三角形内角和定理（）。 2.解题方法技巧 分类讨论：已知一角求另外两角时，需分“已知角为顶角”和“已知角为底角”两种情况； 方程求解：设未知角为，结合“等边对等角”和内角和定理列方程，注意排除不符合三角形内角范围的解。 【例题1】.（25-26八年级上·河北唐山·期末）等腰三角形的顶角如图所示，则底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）在等腰中，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，点C在线段BD上，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河南许昌·期末） 如图，在中，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2】等腰三角形“三线合一”基础应用 1.核心知识点 等腰三角形“三线合一”性质； 直角三角形的性质（直角为）。 2.解题方法技巧 识别“三线”：根据题意判断已知线段是顶角平分线、底边上的中线还是底边上的高； 直接应用：利用“三线合一”直接得出线段相等、角相等或垂直关系，简化计算。 【例题2】.（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，将该三角形沿着折痕l折叠，使边落在边上，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，则的长是（   ） A．2 B．8 C．6 D．10 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，若，求的度数． 【题型3】等腰三角形的判定 1.核心知识点 等腰三角形“等角对等边”判定定理； 平行线的性质（同位角、内错角相等）。 2.解题方法技巧 角度转化：通过平行线、角平分线等条件转化角度，证明两个角相等； 判定结论：根据“等角对等边”得出两边相等，判定为等腰三角形。 【例题3】.（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【变式题3-1】.（21-22八年级下·陕西咸阳·月考）如图，点为平分线上一点，交于点．求证：是等腰三角形．    【变式题3-2】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在中，，是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【题型4】等边三角形性质直接应用 1.核心知识点 等边三角形三边相等、三角均为的性质； 等腰三角形“三线合一”性质。 2.解题方法技巧 直接应用性质：已知等边三角形，直接得出边长相等或角度为； 结合“三线合一”：求高、中线或角平分线时，利用性质简化计算（如高，为边长）。 【例题4】.（25-26八年级上·吉林松原·期中）若等边三角形的周长为，则这个等边三角形的边长是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是等边三角形，若，，，则 ． 【培优高频题型】 【题型5】等腰三角形与平行线综合 1.核心知识点 等腰三角形“等角对等边”“等边对等角”； 平行线的性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）。 2.解题方法技巧 角的转化：利用平行线将角转化为等腰三角形的内角或底角，建立角度关系； 双向判定：先由平行线得角相等，再判定等腰三角形；或先由等腰三角形得角相等，再判定平行线。 【例题5】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，直线是等边三角形，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等边三角形，点在边上，过点作，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为 （用含的式子表示）． 【题型6】含角的直角三角形综合应用 1.核心知识点 含角的直角三角形性质； 等腰三角形的判定与性质。 2.解题方法技巧 构造直角三角形：通过作高或延长线，构造含角的直角三角形； 线段转化：利用“角对的直角边是斜边的一半”转化线段长度，结合等腰三角形性质求解。 【例题6】.（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为 ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在直角三角形中，．若，则 ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为 米． 【变式题6-3】.（22-23八年级上·黑龙江绥化·期中）一张长方形的纸片按如图所示折了一角，测得，则折痕的长为 .    【题型7】等腰三角形折叠问题 1.核心知识点 等腰三角形的性质； 折叠的性质（对应边相等、对应角相等）。 2.解题方法技巧 标注对应关系：折叠后重合的边和角相等，明确等腰三角形的腰和底； 结合内角和：利用折叠性质和等腰三角形角度关系，列方程求解未知角。 【例题7】.（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【变式题7-2】.（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）折叠可以解决很多问题．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢? 【问题情境】如图1，在中，，怎样判断与的大小关系呢? 解答：将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D． 由折叠可得．又 ， ； 结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边． （1）若，，求的度数； （2）若，判断，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式探究】（3）如图2，在中，，，是的角平分线．设，，求的长（用含a，b的代数式表示）； 【思维拓展】（4）在中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M．继续将向下折叠，使边与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·陕西汉中·期末）几何直观是初中阶段数学核心素养的主要表现之一，也是一种可视化的思维方式． 已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接． 初步感知 （1）如图1，当点在边上时，求的度数． 类比探究 （2）如图2，当点在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段的数量关系，并说明理由． 拓展运用 （3）如图3，当点在边的延长线上时，，求线段的长． 【压轴素养题型】 【题型8】等腰三角形“手拉手”模型探究 1.核心知识点 等腰三角形的性质； 全等三角形的判定（SAS、SSS）。 2.解题方法技巧 识别模型：两个等腰三角形共顶点，顶角相等或底角相等； 证明全等：利用等腰三角形的边相等、角相等，证明对应三角形全等，推导线段或角度关系。 【例题8】.（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在和中，，连接． (1)求证； (2)若点在同一直线上，且，求的度数． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·湖南常德·期末）如图，在中，点在边上，过点作，垂足为的延长线交的延长线于点，且． (1)求证：是等边三角形： (2)连接，若是的角平分线，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连接，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； (3)若，D点在运动过程中，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山西长治·期末）“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由． 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为） 【题型9】新定义下的等腰三角形问题 1.核心知识点 等腰三角形的性质与判定； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将“倍角等腰三角形”“和谐等腰三角形”等新定义转化为边或角的数量关系； 结合定理：根据新定义和等腰三角形判定定理，求解边长、角度或判定是否符合定义。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏南京·月考）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． (1)如图1，在中，，，请直接写出图中两对“等角三角形”． (2)如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． (3)在中，，是等角分割线，请直接写出的度数． 【变式题9-1】.（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【变式题9-2】.（2025·河南驻马店·三模）综合与实践 对于几何图形，通常从它的定义、性质、判定、应用等方面进行研究，且从组成图形的要素及相关要素之间的关系展开．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：有两组邻边相等的四边形叫做筝形． 操作判断 （1）用分别含有和的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是等形的有________（填序号）．    性质探究 （2）根据定义可得出筝形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形，，． ①连接，，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求等形的面积（用含，的式子表示）．    拓展应用 （3）如图3，在中，，，，分别在，上取点，，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·福建莆田·月考）规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． (1)如图1，在中，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； (3)在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 【题型10】等腰三角形最值问题 1.核心知识点 等腰三角形的性质； 轴对称性质（最短路径问题）。 2.解题方法技巧 利用轴对称：等腰三角形为轴对称图形，结合“两点之间线段最短”求最短路径（如动点到两顶点距离和最小）； 转化最值：将线段或角度最值转化为等腰三角形的边长或角度范围，结合性质求解。 【例题10】.（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，线段是某景区的一条最佳观赏线，四边形是紧邻景区的一个广场，其中于点O，，， ．现计划在上修建一个便利店F，为使游客从B处到便利店F购买物品后，返回到观赏线上的某处路程最短．请解决下列问题： (1)画出符合上述条件便利店F的位置； (2)求出上述最短路程． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点D为边上的一个动点，连接．若，则的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，点D为等边的边上一点，点E为右侧一点，连接，若，，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某工程队的施工区域，点P为边上的一个活动作业点（即点P在边上运动），米，，，现需在左侧的施工区域外修建一个项目工程部Q，沿修建一条通道，根据规划要求，，．为控制修建成本，要求的长度最小，请你求出的最小长度． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·浙江·期中）浙教版教材八上第56页有个例题如图，分析中讲到：“显然：当点，P，B同在一直线上时，最短． 例2：如图，直线l表示草原上的一条河面．一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中．他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线． 分析：如图，设P是直线上任意一点，连结，以直线l为对称轴，作与线段成轴对称的线段，则显然，当点，P，B同在一直线上时，最短，即路程最短． 请问这里所根据的数学原理是_____ A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【知识拓展】小陈老师说用类似的原理还可以解决下面的问题：在直线l上找一点Q，使得的值最大．聪明的小婷同学说：“只要连接，并延长，与直线l的交点就是点Q的位置． 如图1，若点A、B、Q在同一直线上，则，若取直线上其余位置任一点C，则______（填或或或），由此可知的最大值是线段______的长度． 【尝试应用】如图2，已知是边长为6的等边三角形，点D和点M分别为边和的中点，点P为上的一个动点． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 【变式题10-3】.（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为等边三角形，在外作射线，D为射线上一点，连接，在平面内有一点E，满足． (1)如图1，连接，若点E恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接，若，且恰好过边的中点M，求证：； (3)如图3，若，，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点F，在边上截取，连接、，则当的值最小时，请直接写出的度数． 易错点 1.忽略分类讨论：已知等腰三角形一角或一边时，未分情况讨论（如顶角与底角、腰与底），导致漏解； 2.“三线合一”应用条件遗漏：未确认三角形为等腰三角形，直接套用“三线合一”性质； 3.等边三角形判定错误：误将“有一个角是的三角形”判定为等边三角形，忽略等腰前提； 4.含角的直角三角形性质误用：未确认直角三角形，直接应用“角对的直角边是斜边的一半”； 5.折叠问题中对应关系混淆：未明确折叠后等腰三角形的腰、底，导致角度或边长计算错误。 重点 1.熟练掌握等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”的性质与判定，能准确计算角度、判定三角形形状； 2.理解“三线合一”的条件与应用，能利用其证明线段相等、角相等或垂直； 3.掌握等边三角形的性质与三种判定方法，能解决基础计算与证明； 4.灵活运用含角的直角三角形性质，进行线段长度转化； 5.能解决等腰三角形与平行线、折叠、跨学科情境的综合问题。 难点 1.等腰三角形多解问题的分类讨论，需全面考虑所有可能情况，排除无效解； 2.复杂图形中等腰三角形的识别与构造（如添加辅助线构造等腰三角形）； 3.“手拉手”模型、新定义等创新题型的转化，需结合等腰三角形性质与全等、轴对称等知识综合应用； 4.等腰三角形最值问题的建模，利用轴对称和性质转化最值关系； 5.跨学科情境中几何模型的提取，将实际问题转化为等腰三角形数学问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，，点关于直线的对称点为，连接．则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点C在的边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．甲：，路程为，乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．人字梁架是中国传统木构建筑中常见的屋顶支撑结构，被广泛应用于民居和古建中，它不仅具有良好的力学稳定性，还便于排水和承载屋顶重量．如图，在房屋人字梁架中， ，点D在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B．平分 C． D． 5．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 二、填空题 6．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ． 7．如图，在中，，过点B作，在上取一点E使得，若，则的长度为 ． 8． 如图，在中，，，D是的中点，于 ，若，则 ． 9．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的长度是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 10．如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题 11．如图，在中，，求的面积． 12．在中，． (1)若，求的度数； (2)若，且，求的周长． 13．在等腰直角中，是线段上一动点（与点不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点于． (1)若，求的大小（用含的式子表示）． (2)求证：． 14．数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图①，在中，平分．求证：”． (1)李老师经过分析：要证，就是要证线段的和差问题，可以采用“截长法”：如图②，先在上截取，再设法证明．请按照这种思路补充证明过程． 证明：在上截取，连接； (2)李强同学受到启发，发现也可以采用“补短法”解答这题．请按照这种思路帮助李强同学补充证明过程． 证明：如图③，延长至点F，使，连接． 15．如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 等腰三角形 知识点1：等腰三角形的性质 1.核心性质1（等边对等角）：等腰三角形的两底角相等。即若中，则。 2.核心性质2（三线合一）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（需满足两个前提：①等腰三角形；②为“三线”之一）。 3.拓展性质： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在直线； 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两底角的平分线分别相等。 知识点2：等腰三角形的判定 1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即若中，则。 3.特殊判定： 若一个三角形一边上的中线与这边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形； 若一个三角形一角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形。 知识点3：等边三角形的性质与判定 类别 核心内容 具体说明 性质 1.三边相等，三角均为； 2.具备等腰三角形的所有性质（三线合一、轴对称）； 3.有三条对称轴（每条边上的“三线”所在直线） 等边三角形是特殊的等腰三角形，其“三线合一”在三条边上均成立 判定 1.定义法：三边都相等的三角形； 2.三角都相等的三角形； 3.有一个角是的等腰三角形 判定时需注意：含的三角形需先满足等腰条件才是等边三角形 知识点4：含角的直角三角形性质 1.核心性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。即若中，，则。 2.逆用结论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于（可 用于角度判定）。 【基础必考题型】 【题型1】等腰三角形角度计算 1.核心知识点 等腰三角形“等边对等角”性质； 三角形内角和定理（）。 2.解题方法技巧 分类讨论：已知一角求另外两角时，需分“已知角为顶角”和“已知角为底角”两种情况； 方程求解：设未知角为，结合“等边对等角”和内角和定理列方程，注意排除不符合三角形内角范围的解。 【例题1】.（25-26八年级上·河北唐山·期末）等腰三角形的顶角如图所示，则底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，等腰三角形的两个底角相等，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵该等腰三角形的顶角的度数为， ∴该等腰三角形的底角的度数为， 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）在等腰中，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和；在等腰三角形中，钝角只能作为顶角，因此为顶角，两个底角相等，根据三角形内角和定理可求． 【详解】解：∵ 是等腰三角形，且为钝角， ∴ 是顶角，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选A． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，点C在线段BD上，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形，先根据内角和求出，进而得到，再求出，则，即可作答． 【详解】解：， ， ， ，， ∴， ，， ． 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河南许昌·期末） 如图，在中，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【题型2】等腰三角形“三线合一”基础应用 1.核心知识点 等腰三角形“三线合一”性质； 直角三角形的性质（直角为）。 2.解题方法技巧 识别“三线”：根据题意判断已知线段是顶角平分线、底边上的中线还是底边上的高； 直接应用：利用“三线合一”直接得出线段相等、角相等或垂直关系，简化计算。 【例题2】.（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，将该三角形沿着折痕l折叠，使边落在边上，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三线合一定理，根据折叠的性质可判断A、B，再由三线合一定理可判断C；根据现有条件无法得到，则可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，则的长是（   ） A．2 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，若，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质． 由，可得，则，由，为边上的中线，可得平分，则可得，即可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，为边上的中线， ∴平分， ∴． 【题型3】等腰三角形的判定 1.核心知识点 等腰三角形“等角对等边”判定定理； 平行线的性质（同位角、内错角相等）。 2.解题方法技巧 角度转化：通过平行线、角平分线等条件转化角度，证明两个角相等； 判定结论：根据“等角对等边”得出两边相等，判定为等腰三角形。 【例题3】.（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键． 根据，得，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 【变式题3-1】.（21-22八年级下·陕西咸阳·月考）如图，点为平分线上一点，交于点．求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】此题主要考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质、角平分线的性质证明，由等腰三角形的判定即可求解． 【详解】证明：平分， ． ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识，数形结合是关键，根据角平分线的定义，平行线的性质得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 【详解】证明：∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在中，，是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰、等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理及等边三角形的判定方法是解题关键． （1）首先利用三角形内角和求出，结合等腰三角形性质得到；再根据平行线的性质得到，结合已知条件推导出，最后通过证明，利用全等三角形对应角相等求出的度数； （2）由全等三角形的对应边相等得到，再结合全等的对应角求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 且； ∵， ∴； 又∵，， ∴； 在和中，， ∴； ∴； （2）解：由得：，； ∵， ∴； 又∵， ∴是等边三角形． 【题型4】等边三角形性质直接应用 1.核心知识点 等边三角形三边相等、三角均为的性质； 等腰三角形“三线合一”性质。 2.解题方法技巧 直接应用性质：已知等边三角形，直接得出边长相等或角度为； 结合“三线合一”：求高、中线或角平分线时，利用性质简化计算（如高，为边长）。 【例题4】.（25-26八年级上·吉林松原·期中）若等边三角形的周长为，则这个等边三角形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质以及周长的计算． 解题的关键在于明确等边三角形三条边长度相等，其周长等于三条边长度之和． 等边三角形三边相等，周长等于边长的3倍，因此边长可通过周长除以3求得． 【详解】∵等边三角形的周长 = 3 × 边长，周长为， ∴边长 ． 故选：B． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ． 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，是等边三角形，若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据证明，则可得． 本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型5】等腰三角形与平行线综合 1.核心知识点 等腰三角形“等角对等边”“等边对等角”； 平行线的性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补）。 2.解题方法技巧 角的转化：利用平行线将角转化为等腰三角形的内角或底角，建立角度关系； 双向判定：先由平行线得角相等，再判定等腰三角形；或先由等腰三角形得角相等，再判定平行线。 【例题5】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，直线是等边三角形，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到． 根据等边三角形性质得，根据平行线性质得，然后根据三角形内角和定理求出对顶角的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选B． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理．关键是利用等腰三角形的性质找到相等的内错角，进而证明两直线平行．先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且推出；再由，利用“等边对等角”得到；通过等量代换得到，最后依据“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】证明：∵，， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等边三角形，点在边上，过点作，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，又，得，所以，然后通过“”证明即可； （）由，所以，，则，从而证明为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可得，，结合可得，再根据平行线的性质及等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得，进而计算的度数即可． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 【题型6】含角的直角三角形综合应用 1.核心知识点 含角的直角三角形性质； 等腰三角形的判定与性质。 2.解题方法技巧 构造直角三角形：通过作高或延长线，构造含角的直角三角形； 线段转化：利用“角对的直角边是斜边的一半”转化线段长度，结合等腰三角形性质求解。 【例题6】.（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． ∴由勾股定理，得． 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在直角三角形中，．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得，再由树高为15米得到米，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，，， ∴， ∵树高为15米， ∴米， ∴， ∴米， 故答案为：5． 【变式题6-3】.（22-23八年级上·黑龙江绥化·期中）一张长方形的纸片按如图所示折了一角，测得，则折痕的长为 .    【答案】/20厘米 【分析】由于，根据折叠可以得到，而，，，在直角三角形中利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：依题意得，而， ， ，， ∴， ， 在中，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质及含角的直角三角形的性质，首先根据折叠得到角的直角三角形，然后利用其性质即可解决问题． 【题型7】等腰三角形折叠问题 1.核心知识点 等腰三角形的性质； 折叠的性质（对应边相等、对应角相等）。 2.解题方法技巧 标注对应关系：折叠后重合的边和角相等，明确等腰三角形的腰和底； 结合内角和：利用折叠性质和等腰三角形角度关系，列方程求解未知角。 【例题7】.（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·浙江·期中）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识．分二种情况画出图形，利用平行四边形的性质和等角对等边进行解答即可． 【详解】解：如图1， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图2， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 综上可知，的长为2或4， 故选：C． 【变式题7-2】.（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）折叠可以解决很多问题．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢? 【问题情境】如图1，在中，，怎样判断与的大小关系呢? 解答：将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D． 由折叠可得．又 ， ； 结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边． （1）若，，求的度数； （2）若，判断，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式探究】（3）如图2，在中，，，是的角平分线．设，，求的长（用含a，b的代数式表示）； 【思维拓展】（4）在中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M．继续将向下折叠，使边与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4）当是等腰三角形时，的度数为或或． 【分析】（1）先求出，将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，则，再根据可得出的度数； （2）将边沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，折痕与交于点D，则，，，进而得，由此得，则，由此可得，与之间的数量关系； （3）将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，折痕与交于点D，则，，，进而得，则，再根据得，然后根据即可得出答案； （4）先求出，设，根据折叠的性质分别求出，，，再分三种情况讨论如下：①当时，则；②当时，则；③当时，则，据此计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴； （2），与之间的数量关系是：，理由如下： 将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D，如图2所示： 根据折叠的性质得：，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D，如图3所示： 根据折叠的性质得：，，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （4）在中，，， ∴，如图4所示： 设， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∵将向下折叠，使边与重合，折痕为（F在边上）， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， 当是等腰三角形时，有以下三种情况： 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或或． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解图形的折叠变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·陕西汉中·期末）几何直观是初中阶段数学核心素养的主要表现之一，也是一种可视化的思维方式． 已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接． 初步感知 （1）如图1，当点在边上时，求的度数． 类比探究 （2）如图2，当点在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段的数量关系，并说明理由． 拓展运用 （3）如图3，当点在边的延长线上时，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据证明，得出，再根据，即可得到； （3）根据证明，得出，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：存在的数量关系为．理由： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． 【压轴素养题型】 【题型8】等腰三角形“手拉手”模型探究 1.核心知识点 等腰三角形的性质； 全等三角形的判定（SAS、SSS）。 2.解题方法技巧 识别模型：两个等腰三角形共顶点，顶角相等或底角相等； 证明全等：利用等腰三角形的边相等、角相等，证明对应三角形全等，推导线段或角度关系。 【例题8】.（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在和中，，连接． (1)求证； (2)若点在同一直线上，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）设 ，根据全等三角形的性质得出，根据等边对等角得出，然后根据平角定义构建关于的方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，， ， ； （2）解：， ， 设 ， 则 ， ， 解得， ． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·湖南常德·期末）如图，在中，点在边上，过点作，垂足为的延长线交的延长线于点，且． (1)求证：是等边三角形： (2)连接，若是的角平分线，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，三角形的内角和定理得到，进而求出，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连接，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； (3)若，D点在运动过程中，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)当时，最大，最大为1 【分析】（1）先证明，进而根据，即可证明； （2）先证明，根据，证明，得出，，即可得证； （3）根据全等三角形的性质可得，又，则要使最大，只要使最小即可，当时，最小，此时， ，，． 【详解】（1）证明： 与均为等腰直角三角形 ，， ， 在与中， ； （2）解：；理由如下： ， ， ， 又 ， 在 与 中， ， ； （3）解：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ， ， ， 要使最大，只要使最小即可， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， 又∵垂线段最短， ∴当时，最小，即最小， 此时，，，， 当时，最大，最大为1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山西长治·期末）“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由． 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为） 【答案】（1）①见解析，②，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）①先根据全等三角形的判定，证明，得到，，进一步证明，即可证明结论； ②根据①的方法证明，即可得出结论； （2）将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，根据①的方法证明，得到，，并根据温馨提示求出，同时证明，即可根据勾股定理求出答案． 【详解】解：（1）①， ， 即， 又，， ， ，， ，，， ， ， ； ②，理由如下： ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，， ， ， 即， 又，， ， ，， ，， ，， ， ． 【题型9】新定义下的等腰三角形问题 1.核心知识点 等腰三角形的性质与判定； 新定义运算的理解与转化。 2.解题方法技巧 翻译定义：将“倍角等腰三角形”“和谐等腰三角形”等新定义转化为边或角的数量关系； 结合定理：根据新定义和等腰三角形判定定理，求解边长、角度或判定是否符合定义。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏南京·月考）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． (1)如图1，在中，，，请直接写出图中两对“等角三角形”． (2)如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． (3)在中，，是等角分割线，请直接写出的度数． 【答案】(1)与；与，与 (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“等角三角形”以及“等角分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． （1）根据题意和三角形内角和定理即可求得“等角三角形”； （2）根据三角形内角和定理求出，根据为角平分线和“等角三角形”的定义即可证明； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 则与是“等角三角形”， ∵，， ∴， 则与是“等角三角形”， ∵，， ∴与是“等角三角形”． （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， 则， ∵，，，， ∴为的等角分割线． （3）①当时，， ∵是的等角分割线， ∴， ②当时，， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，，则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【变式题9-1】.（24-25八年级上·江苏盐城·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 【变式题9-2】.（2025·河南驻马店·三模）综合与实践 对于几何图形，通常从它的定义、性质、判定、应用等方面进行研究，且从组成图形的要素及相关要素之间的关系展开．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：有两组邻边相等的四边形叫做筝形． 操作判断 （1）用分别含有和的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是等形的有________（填序号）．    性质探究 （2）根据定义可得出筝形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形，，． ①连接，，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求等形的面积（用含，的式子表示）．    拓展应用 （3）如图3，在中，，，，分别在，上取点，，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 【答案】（1）①③；（2）①垂直平分，理由见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据含有和角的直角三角形的角度，即可解决问题； （2）①根据筝形的定义得，，进而可得，在的垂直平分线上，垂直平分； ②根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当，时；②当，时，分别求得对角线长，进而根据面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是筝形的有①③， 故答案为：①③； （2）①垂直平分，理由如下： ，， ，在的垂直平分线上， 垂直平分； ②如图1，设与的交点为点，   ， ； （3）分以下两种情况讨论： ①如图2，当，时，   ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ②如图3，当，时，   ， 是等腰直角三角形， ， ，， 平分， ， 如图3，过点作于点，则为等腰直角三角形，， 设，则， ， ， ， 解得， ， ． 综上，筝形的面积是或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了新定义，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·福建莆田·月考）规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． (1)如图1，在中，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； (3)在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)∠ACB＝108°或117°或84°或102° 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点． （1）先求出、、，然后根据“类似三角形”的定义即可解答从而得出结论； （2）可计算得出，，，，再根据“完美分割线”的定义即可证明结论； （3）分为当是等腰三角形和是等腰三角形两种情况，当 是等腰三角形时，再分为：三种情形讨论，同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴与互为“类似三角形”． 故答案为：是． （2）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴为的完美分割线． （3）（Ⅰ）当是等腰三角形时， ①如图1， 当时，则， ∴， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图2， 当时，则， 此时， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形时， ①如图3， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；，， ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图4， 当，时， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴，； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：或或或． 【题型10】等腰三角形最值问题 1.核心知识点 等腰三角形的性质； 轴对称性质（最短路径问题）。 2.解题方法技巧 利用轴对称：等腰三角形为轴对称图形，结合“两点之间线段最短”求最短路径（如动点到两顶点距离和最小）； 转化最值：将线段或角度最值转化为等腰三角形的边长或角度范围，结合性质求解。 【例题10】.（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，线段是某景区的一条最佳观赏线，四边形是紧邻景区的一个广场，其中于点O，，， ．现计划在上修建一个便利店F，为使游客从B处到便利店F购买物品后，返回到观赏线上的某处路程最短．请解决下列问题： (1)画出符合上述条件便利店F的位置； (2)求出上述最短路程． 【答案】(1)见解析； (2)； 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，图形的对称性，求线段之和的最小值，根据对称性，利用“直线外一点，垂线段最短”，以及“两点之间，线段最短”是解决问题的关键． （1）设便利店，返回到观赏线上的点的位置如图所示，连接，，，，由对称性得，在中，，过点作于，交于点，利用“直线外一点，垂线段最短”，可知，所以点为便利店的位置． （2）为等腰直角三角形，可求出的长，，，可得，，在中，解直角三角形即可求最短距离． 【详解】（1） ，， 为等腰直角三角形， ， ，即是等腰直角三角形底边的高，也是其中线． ，即关于对称， 设便利店，返回到观赏线上的点的位置如图所示，连接，，，， 由对称的性质得， 在中，， ， 直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短， 过点作于，交于点，当点与重合，与重合时，的值最小，最小值为，图中为便利店的位置． （2） ， 为等腰直角三角形，                                  在中，                                       答：最短路程为． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点D为边上的一个动点，连接．若，则的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，点D为等边的边上一点，点E为右侧一点，连接，若，，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某工程队的施工区域，点P为边上的一个活动作业点（即点P在边上运动），米，，，现需在左侧的施工区域外修建一个项目工程部Q，沿修建一条通道，根据规划要求，，．为控制修建成本，要求的长度最小，请你求出的最小长度． 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）线段长度的最小值为30米 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）确定当时，的值最小，然后利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可； （2）根据等边三角形得出相等的边和角的度数，然后证明，得出相等的边，即可得出结论； （3）在上取一点H，使，连接，过点H作于点M，证明，得出，确定最小值为的长度，然后利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，的值最小， ∵， ∴此时，， 故答案为：3； （2），理由如下： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即线段、与之间的数量关系为； （3）如图，在上取一点H，使，连接，过点H作于点M， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 求最小，即求最小，当（即点P和点M重合）时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∵米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴米． 即线段长度的最小值为30米． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·浙江·期中）浙教版教材八上第56页有个例题如图，分析中讲到：“显然：当点，P，B同在一直线上时，最短． 例2：如图，直线l表示草原上的一条河面．一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中．他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线． 分析：如图，设P是直线上任意一点，连结，以直线l为对称轴，作与线段成轴对称的线段，则显然，当点，P，B同在一直线上时，最短，即路程最短． 请问这里所根据的数学原理是_____ A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【知识拓展】小陈老师说用类似的原理还可以解决下面的问题：在直线l上找一点Q，使得的值最大．聪明的小婷同学说：“只要连接，并延长，与直线l的交点就是点Q的位置． 如图1，若点A、B、Q在同一直线上，则，若取直线上其余位置任一点C，则______（填或或或），由此可知的最大值是线段______的长度． 【尝试应用】如图2，已知是边长为6的等边三角形，点D和点M分别为边和的中点，点P为上的一个动点． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】A；【知识拓展】，；【尝试应用】（1）；（2）3 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题等内容，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由材料可直接得解； 知识拓展根据三角形三边关系即可得解； 尝试应用（1）由题得，进而，当且仅当B、P、M三点共线时取等，据此求出长度； （2）由知识拓展可直接得解． 【详解】由材料可知其数学原理为两点之间，线段最短； 故答案为：A； 知识拓展根据三角形三边关系可知，当且仅当C、A、B三点共线时取等； 故答案为：，； 尝试应用（1）如图，连接， 为等边三角形，D为中点， 垂直平分， ， ，当且仅当B、P、M三点共线时取等，此时最小值为的长度， 为中点， ，， ， 的最小值为； （2）由知识拓展可知，， 当点P位于点A位置时取等，此时， 的最大值为 【变式题10-3】.（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为等边三角形，在外作射线，D为射线上一点，连接，在平面内有一点E，满足． (1)如图1，连接，若点E恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接，若，且恰好过边的中点M，求证：； (3)如图3，若，，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点F，在边上截取，连接、，则当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)； 【分析】（1）根据，，可知为等边三角形，得到，，利用公共角，证得，再证，得到，由此可得度数，，即得解； （2）要证，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”将线段进行转化．在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证； （3）以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，利用两点之间线段最短，因此需将其中一条线段进行转化．以点为顶点，作，且，连接，证明 ，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，此时，为等腰三角形，又，可求出，由得到，，即得解； 【详解】（1）解： ，， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ． （2）证明：在上取点，使得，连接、、，如图所示， 为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 故； （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小，如图所示， 此时， ， 为等腰三角形， 又， ， 又 （前面已证）， ， ， 故当的值最小，． 【点睛】本题是一道有关三角形的动点问题，综合考查了三角形全等判定与性质，等边三角形性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，两点之间线段最短求最值．当要证明线段相等的时候，可以考虑“截长补短法”，当证明动点问题时，考虑首先证明动点的运动轨迹，求线段的最值问题考虑利用“两点之间线段最短”的原理，其中作出恰当的辅助线，构造三角形证明全等是解决本题的关键． 易错点 1.忽略分类讨论：已知等腰三角形一角或一边时，未分情况讨论（如顶角与底角、腰与底），导致漏解； 2.“三线合一”应用条件遗漏：未确认三角形为等腰三角形，直接套用“三线合一”性质； 3.等边三角形判定错误：误将“有一个角是的三角形”判定为等边三角形，忽略等腰前提； 4.含角的直角三角形性质误用：未确认直角三角形，直接应用“角对的直角边是斜边的一半”； 5.折叠问题中对应关系混淆：未明确折叠后等腰三角形的腰、底，导致角度或边长计算错误。 重点 1.熟练掌握等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”的性质与判定，能准确计算角度、判定三角形形状； 2.理解“三线合一”的条件与应用，能利用其证明线段相等、角相等或垂直； 3.掌握等边三角形的性质与三种判定方法，能解决基础计算与证明； 4.灵活运用含角的直角三角形性质，进行线段长度转化； 5.能解决等腰三角形与平行线、折叠、跨学科情境的综合问题。 难点 1.等腰三角形多解问题的分类讨论，需全面考虑所有可能情况，排除无效解； 2.复杂图形中等腰三角形的识别与构造（如添加辅助线构造等腰三角形）； 3.“手拉手”模型、新定义等创新题型的转化，需结合等腰三角形性质与全等、轴对称等知识综合应用； 4.等腰三角形最值问题的建模，利用轴对称和性质转化最值关系； 5.跨学科情境中几何模型的提取，将实际问题转化为等腰三角形数学问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，，点关于直线的对称点为，连接．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，，从而得到，，再结合等边三角形的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，点C在的边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的等边对等角的性质是解题的关键． 根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地．甲：，路程为，乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题关键．设的长度为，延长、，交于点，分别证明、、、是等边三角形，根据等边三角形的性质分别计算三人的路程并比较即可得答案． 【详解】解：设的长度为， 在甲图中，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在乙图中，∵，， ∴、都是等边三角形， ∴，， ∴， 如图，在丙图中，延长、，交于点， 同理可证明是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 4．人字梁架是中国传统木构建筑中常见的屋顶支撑结构，被广泛应用于民居和古建中，它不仅具有良好的力学稳定性，还便于排水和承载屋顶重量．如图，在房屋人字梁架中， ，点D在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及角平分线定义，利用等腰三角形三线合一的性质及角平分线定义分析各选项即可． 【详解】解：A、∵， ∴是等腰三角形， 当时，是等腰底边上的中线， 根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线三线合一， ∴也是底边上的高， 即，故A项不符合题意； B、当平分时，是等腰顶角的平分线， 根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线三线合一， ∴也是底边上的高， 即，故B项不符合题意； C、∵， 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等， ∴是必然成立的， 仅由，不能直接得出，故C项符合题意； D、∵， 又∵， ∴， 即，故D项不符合题意， 故选：C． 5．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 二、填空题 6．如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是先利用勾股定理求出的长度，再结合等腰直角三角形的边角关系求的长． 由，用勾股定理求出；根据且，判定为等腰直角三角形；利用等腰直角三角形的性质求出，即点到的距离． 【详解】解：， ． 在中，由勾股定理得， ， ， ． ， ． 又， 是等腰直角三角形． ∵，, ， ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，，过点B作，在上取一点E使得，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要涉及直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．先用勾股定理求出的长度．然后通过角度关系和等腰三角形的判定与性质推出，，再根据得到．从而得出的长度，进而在中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：， ． ，， ． ， ， ∴， ∴， ，则． ， ． ． ． ． ， ． 故答案为：． 8． 如图，在中，，，D是的中点，于 ，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三线合一定理，等边对等角，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三线合一定理得到，则；证明，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 9．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的长度是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ， 整理得：， 这个函数的表达式是：， 根据等边三角形的性质得：当点运动到的中点时，点与点重合， ，即． 故答案为：． 10．如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质． 先通过等腰三角形三线合一求出相关线段的长度，再根据折叠的性质得到，，．由于当为直角三角形，且，因此只能，分点在上方或者下方来讨论即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． ，， ， ， 由折叠可得，，． 当为直角三角形时，只能， ∴， 当点在上方时： ，， ， ， ， ； 当点在下方时： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为1或7， 故答案为：1或7．　 三、解答题 11．如图，在中，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求出底边的一半，再用勾股定理求出高． 过点作于点，由得；在中，由勾股定理求出的长度；最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：过点A作 于点D， 在 中，由勾股定理得 ， ． 12．在中，． (1)若，求的度数； (2)若，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理． （1）根据等腰三角形两底角相等的性质，结合已知条件，利用三角形内角和为来求解的度数； （2）先根据等腰三角形的性质和已知条件判断出是等边三角形，再根据等边三角形三边相等的性质求出其周长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ， ， ，． （2）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长． 13．在等腰直角中，是线段上一动点（与点不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点于． (1)若，求的大小（用含的式子表示）． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质得出，，由直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接，由证明，得出，故可得结论 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， （2）证明：连接，如图所示， ， 又 在和中， 是等腰直角三角形， ∴， 即：． 14．数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图①，在中，平分．求证：”． (1)李老师经过分析：要证，就是要证线段的和差问题，可以采用“截长法”：如图②，先在上截取，再设法证明．请按照这种思路补充证明过程． 证明：在上截取，连接； (2)李强同学受到启发，发现也可以采用“补短法”解答这题．请按照这种思路帮助李强同学补充证明过程． 证明：如图③，延长至点F，使，连接． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定及线段和差的转化． （1）通过构造全等三角形，利用全等推导出角与边的关系，结合外角性质证，进而利用线段和差代换即可； （2）先通过构造等腰三角形与角的关系，再构造全等三角形，利用线段和差代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ∵， ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 15．如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． (1)当点在上，点在上方时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)图②结论：；图③结论： 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）过点作交于，先判断出，再判断出，进而判断出，得出，，再判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）如图2，同（1）的方法得出，，即可得出结论；如图3，同（1）的方法得出，，即可得出结论； 【详解】（1）证明：如图①，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图②，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图③，过点作交的延长线于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：图②结论：；图③结论：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $