精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年八年级第二学期期中检测数学试卷

北京市第八十中学2025-2026年度八年级第二学期期中检测 数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数（即不含平方因子）且被开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：、∵， ∴该选项运算错误，不符合题意； 、∵， ∴该选项运算正确，符合题意； 、∵与不是同类二次根式，无法合并， ∴，该选项运算错误，不符合题意； 、∵， ∴该选项运算错误，不符合题意． 3. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 2，2， 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否组成直角三角形． 【详解】解： A、，，，故不能组成直角三角形； B、，，，故不能组成直角三角形； C、，，即，故能组成直角三角形； D、，，，故不能组成直角三角形． 4. 一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和公式与外角和定理． 利用定理列出一元一次方程即可求解． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据任意多边形的外角和恒为，边形内角和公式为， 列方程得： ， 整理方程得：， 解得：， 即这个多边形的边数是6，答案选A． 5. 菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（ ） A. 60cm2 B. 120cm2 C. 130cm2 D. 240cm2 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得AE或CE的长，从而求得AC的长；利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积． 【详解】解：如图，设AC，BD的交点为E ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，BE＝DE＝5，AE＝CE 在Rt△ABE中，AE＝＝＝12 ∴AC＝24cm ∴S菱形ABCD＝AC×BD＝120cm2 故选：B． 【点睛】主要考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用菱形的性质进行求解． 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的意义，以及图象的变化趋势，然后根据实际情况作出选择即可． 【详解】解：a：运动员推出去的铅球的高度与时间的关系，因为铅球的高度是在运动员的身高的基础上变化的，且变化趋势为先变大在变小，故为第一个图象； b：小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地，因此小车的路程应从零开始，且小车行驶的路程会随时间的变化越来越大，故为第四个图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故是第二个图象； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，故是第三个图象． 综上，正确的顺序是， 故选：D． 8. 如图，在中，,是边上一条运动的线段(点不与点重合，点不与 点重合)，且，交于点，交于点，在从左至右的运动过 程中，设BM=x，和的面积之和为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致 是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】不妨设BC=2a，∠B=∠C=α，BM=x，则CN=a-x，根据二次函数即可解决问题． 【详解】不妨设BC=2a，∠B=∠C=α，BM=m，则CN=a−x， 则有S阴=y=⋅x⋅xtanα+ (a−x)⋅(a−x)tanα =tanα(m2+a2−2ax+x2) =tanα(2x2−2ax+a2) ∴S阴的值先变小后变大， 故选B 【点睛】本题考核知识点：等腰三角形的性质.解题关键点：根据面积公式列出二次函数. 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解不等式得． 10. 已知实数满足，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性质求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：实数满足， 所以可得，可得， 可得． 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则菱形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据是的中位线，即可得到的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理的运用，关键是掌握：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分． 13. 如图，在中，，D为线段的中点，则 _______°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质．由“直角三角形的两个锐角互余”得到，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到 ，则等边对等角，即． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵D为线段的中点， ∴ ， ∴． 故答案为：40． 14. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先利用矩形性质得到及，再根据折叠性质得到、、，计算出的长；接着在中用勾股定理求出的长；最后设，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， 是翻折而成， ，，， ，∠EFC=90°， 在中，由勾股定理得： ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： 即， 解得． 15. 如图，在菱形ABCD中，，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接、，根据菱形的性质，证是等边三角形，，连接交于点，当点P在位置上时，此时D、P、E三点共线，有最小值，最小值为的长，利用等边三角形的性质，得到，再根据勾股定理，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接、， 四边形是菱形，，， ，，， 是等边三角形，， 连接交于点，当点P在位置上时，此时D、P、E三点共线，有最小值，最小值为的长， 点E是边的中点， ，， 由勾股定理得：， 即的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论：①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①② 【解析】 【分析】①连接，根据对称的性质得，，由此可判定和全等则，再证明和全等得，由此可得出，据此即可对结论①进行判断；②根据全等三角形性质得，，则，进而得，再根据得，据此即可对结论②进行判断；③根据，及全等三角形性质得，，则，在中，根据三角形三边之间关系得，则，进而得，据此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边上的一动点（不与点，重合）， ∴， ∴， 即，故结论②正确； ③∵正方形的边长为1，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，故结论③错误． 综上所述：正确的结论序号是①②． 三、解答题（本题共52分，第17题每小题3分；第18、19、20、21题每题4分；第22、23题每题5分，24题每题6分，25、26题每题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简二次根式，再由二次根式的减法运算求解即可； （2）化简二次根式，再由二次根式的混合运算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式化简求值，二次根式运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握二次根式加法运算法则和完全平方公式是解题的关键． 先计算出，，再将所求代数式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 19. 已知，如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）， （1）连结______； （2）猜想：_____=_____； （3）证明： 【答案】（1）DF； （2）DF，BE； （3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠BAE=∠DCF， 在△CDF和△ABE中， ， ∴△CDF≌△ABE（SAS）， ∴DF=BE． 【解析】 【分析】（1）由题意连接DF即可； （2）猜想：DF=BE即可； （3）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，再由平行线的性质得∠BAE=∠DCF，然后证△CDF≌△ABE（SAS），即可得出结论． 【详解】（1）解：连接DF， 故答案为：DF； （2）DF=BE， 故答案为：DF，BE； （3）略 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 20. 已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使； （2）连接，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ____________________， 四边形是平行四边形． 平分， ____________________． ， ____________________． ，平行四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）；； 【解析】 【分析】掌握角平分线的尺规作图方法，以及利用圆规截取等长线段的方法，理解角平分线的定义和两直线平行的性质是解题的关键． （1）尺规作图步骤： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点; ②分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点； ③连接点B和两弧交点并延长交于点F，即为的平分线; ④以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则． （2）先证明，结合判定四边形为平行四边形，再推导出，从而证明，最后，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： （1）轿车比货车提前______到达乙地； （2）在段货车的速度为________，轿车的速度为________； （3）从图象上可以看出，货车比轿车提前出发，轿车出发3小时离甲地________． 【答案】（1） （2）60，110 （3）245 【解析】 【分析】（1）从函数图象中获取信息进行计算即可； （2）利用速度、时间和路程的关系公式进行计算即可； （3）先求解轿车的剩余时间，再运用速度、时间和路程的关系公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：货车到达乙地的时间是，轿车到达乙地的时间是， 那么轿车比货车提前到达乙地的时间为：； 【小问2详解】 解：货车速度：在段，货车行驶的路程是，所用时间是， 可得货车速度， 轿车速度：在段，轿车行驶的路程是，所用时间是， 可得轿车速度； 【小问3详解】 解：货车比轿车提前出发，轿车出发3小时，还有， 则． 22. 如图1，某小区的大门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱是宽度为的矩形，伸缩电动门中有20个全等的菱形，每个菱形边长为，大门的总宽度为．（门框的宽度忽略不计）（参考数据：） （1）当每个菱形的内角度数为（如图时，大门打开了多少？ （2）当每个菱形的内角度数张开至为时，大门未完全关闭，有一辆宽的轿车需进入小区，计算说明该车能否直接通过． 【答案】（1）大门打开了 （2） 解：该车不能直接通过， 理由如下： ，， 在等腰中，由勾股定理可得， ， 大门的总宽度为， 大门打开的宽度， ， 该车不能直接通过． 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，最后进行计算，即可解答； （2）根据已知可得是等腰直角三角形，从而可得，然后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 大门的总宽度为， 大门打开的宽度， 大门打开了； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了几何性质综合应用，涉及菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线求解是解题的关键． 23. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 24. 如图，在中，，，点沿运动，每秒运动，连接．已知，设点运动时间为秒，、点间的距离为． 小军根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小军的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表： 1 2 3 4 5 6 2 0 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： （3）进一步探究结合图象发现，当的准确值为且点在边上时，写出对应的值：__________． 【答案】（1）， （2） 建立直角坐标系，描点，画出函数图象如下： （3）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，一次函数的图象等知识． （1）过点C作于点D，先求出、、、、的长度，根据，可确定点P位置，问题可解，当时，同理解答； （2）根据（1）的数据，先描点，画出函数图象即可； （3）分两类讨论：当点P在点D的右侧，当点P在点D的左侧，结合（1）的方法可解． 【小问1详解】 解：过点C作于点D，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 当时，点P走过的距离为， ∵， ∴点P在上，此时， 当时，点P走过的距离为， ∵，，， ∴点P在上，且在点D的右侧， 如图， ∴， ∴在中，， ∴此时， 即：当时，；当时，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 当点P在点D的右侧，如图， ∵，， ∴在中，， ∴， 即； 同理，当点P在点D的左侧，可得：， 即； 综上：的值为或． 25. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，过点作，交的延长线于点，交于点． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）求证：； （3）连接，点是的中点，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 证明：连接， ∵正方形中，为对角线上一点， ∴ 在中， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ （3） ①补全图形如图， ② 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据正方形的性质以及已知条件，得出三角形的外角的性质即可求解； （2）连接，证明得出，，进而可得，等量代换，即可得证； （3）①根据题意补全图形，即可求解； ②连接，延长交于点，连接，证明是的中位线，得出，进而证明得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图， ∵正方形中，为对角线上一点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②如图，连接，延长交于点，连接， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵是的中点， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵是正方形，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和正方形，正方形的对角线与交于点，在轴上，在轴上，如果正方形边上存在点，满足，我们称为正方形的“邻点”． （1）当时， ①在点，，，中，正方形的“邻点”是____________； ②如果点在直线上，点为正方形的“邻点”．则点横坐标的取值范围是____________； （2）当时，在正方形外，所有正方形的“邻点”组成的图形面积为____________； （3）已知，当，且时，在线段上存在正方形的“邻点”，则的取值范围是____________． 【答案】（1）①，；②或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，圆的性质，掌握以静制动，逆向思维，极限思维是解题的关键． （1）①由于，则在以点为圆心，1为半径的圆上或圆内（不包含圆心），若圆与正方形有重合部分，则点为正方形的“邻点”，据此即可判断；②由①可利用极限思想找临界值，从而求解； （2）根据（1）中思路，寻找正方形外“邻点”的运动轨迹，即可求解； （3）在线段上存在正方形的“邻点”，则以线段上任意一点为圆心，半径为1作圆，找到圆心距离正方形中心最近和最远的点，即可求解． 【小问1详解】 解：①由于正方形的对角线与交于点，在轴上，在轴上，则，； 如图，分别以点，，，为圆心，1为半径画圆，若圆与正方形有重合部分，则点为正方形的“邻点”； 和与正方形存在交点，故正方形的“邻点”是，； ②由①可知，当与正方形的边有交点时，满足定义，如图，当与正方形的边相切时，为临界状态， 如图，，，，分别与正方形的边相切，分别过，作，， ∵点在直线上， ， ， ， ， ，， 设， ， 解得，即， 同理可得，， 则，， 根据对称性可知，，， 则或； 【小问2详解】 解：由题可知，当时，，； 如图，在正方形外的“邻点”所在的外边界为将向外平移1个单位长度的直线上，在顶点处“邻点”在以为圆心，半径为1的圆弧上， 则在正方形外所有的“邻点”所组成的图形的面积为四个相同的矩形和四个相同的扇形的面积； ， , ， 四个扇形可拼成一个半径为1的圆，则总面积为； 【小问3详解】 解：以线段上任意一点为圆心，半径为1作圆，如图，当圆心距离正方形中心最远时，即与重合，正方形的边长最大， ， ， 则点到线段的距离为， 则， 即的最大值为； 如图，当圆心距离正方形中心最近时，即为，正方形的边长最小， ，， ， 即的最小值为1； 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026年度八年级第二学期期中检测 数学试卷 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 2，2， 4. 一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（ ） A. 60cm2 B. 120cm2 C. 130cm2 D. 240cm2 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，,是边上一条运动的线段(点不与点重合，点不与 点重合)，且，交于点，交于点，在从左至右的运动过 程中，设BM=x，和的面积之和为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致 是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 10. 已知实数满足，则的值为__________． 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为______． 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则菱形的周长为________． 13. 如图，在中，，D为线段的中点，则 _______°． 14. 如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 15. 如图，在菱形ABCD中，，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若，则的最小值是_________． 16. 如图，在边长为1的正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接．设，，给出下列三个结论：①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（本题共52分，第17题每小题3分；第18、19、20、21题每题4分；第22、23题每题5分，24题每题6分，25、26题每题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，求代数式的值． 19. 已知，如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）， （1）连结______； （2）猜想：_____=_____； （3）证明： 20. 已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使； （2）连接，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ____________________， 四边形是平行四边形． 平分， ____________________． ， ____________________． ，平行四边形是菱形． 21. 甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： （1）轿车比货车提前______到达乙地； （2）在段货车的速度为________，轿车的速度为________； （3）从图象上可以看出，货车比轿车提前出发，轿车出发3小时离甲地________． 22. 如图1，某小区的大门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱是宽度为的矩形，伸缩电动门中有20个全等的菱形，每个菱形边长为，大门的总宽度为．（门框的宽度忽略不计）（参考数据：） （1）当每个菱形的内角度数为（如图时，大门打开了多少？ （2）当每个菱形的内角度数张开至为时，大门未完全关闭，有一辆宽的轿车需进入小区，计算说明该车能否直接通过． 23. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 如图，在中，，，点沿运动，每秒运动，连接．已知，设点运动时间为秒，、点间的距离为． 小军根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小军的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组对应值，如下表： 1 2 3 4 5 6 2 0 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： （3）进一步探究结合图象发现，当的准确值为且点在边上时，写出对应的值：__________． 25. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，过点作，交的延长线于点，交于点． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）求证：； （3）连接，点是的中点，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于点和正方形，正方形的对角线与交于点，在轴上，在轴上，如果正方形边上存在点，满足，我们称为正方形的“邻点”． （1）当时， ①在点，，，中，正方形的“邻点”是____________； ②如果点在直线上，点为正方形的“邻点”．则点横坐标的取值范围是____________； （2）当时，在正方形外，所有正方形的“邻点”组成的图形面积为____________； （3）已知，当，且时，在线段上存在正方形的“邻点”，则的取值范围是____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $