2026年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练 专题13 【中考综合题专项训练】圆与锐角三角函数的综合

**基本信息** 以“构直角+相似转化”为核心方法，系统整合圆的性质与锐角三角函数，形成“知识原理-方法技巧-题型应用”的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求与圆有关的角的三角函数值|4题型5典例|遇斜三角形作垂线、遇切线连半径、遇直径用直径、遇弧中点用垂径构直角；相似比转化|以AB=2RsinC为基础，通过构造直角三角形将圆中角转化为可解三角函数的直角三角形角| |已知三角函数值求其他值|4题型6典例|利用三角函数值设参数求线段长、比值、面积等|以三角函数定义为桥梁，结合圆的切线、直径等性质建立方程求解|

专题13 【中考综合题专项训练】圆与锐角三角函数的综合（原卷版） 第一部分 知识导航 1．明确同弧所对的弦、圆周角和圆的半经三者的关系：AB＝2RsinC，如图所示两种常用辅助线． 图1 图2 2．三角函数值形式上是两条线段的比值，往往可以转化为两个相似三角形的相似比． 第二部分 方法技巧+典例剖析 【模块一】 求与圆有关的角的三角函数值 方法技巧 1．将所求角转化到直角三角形中；2．利用相似比进行转化。 题型一 遇斜三角形作垂线构直角 【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． （1）求证：AT是⊙O的切线； （2）若C是TB上一点，，连接OC，AC，求tan∠ACO的值． 【例2】已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的直径，连接BC． （1）如图1，求证：∠C＝90°∠APB； （2）如图2，连接PC，若PB＝6，PC＝10，求sin∠PCB的值． 题型二 遇切线，连圆心切点构直角 【例3】如图，BE、BC、CG分别与⊙O相切于E、F、G三点，且BE∥CG．延长BO交CG的延长线于点D，连接FG、OC，若，求sin∠CFG的值． 题型三 遇直径，利用直径构直角 【例4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点E，D是BC的中点，DE的延长线交CA的延长线于点P． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若sin∠P，PC＝8，求⊙O的直径； （3）若，求cos∠BAC值． 题型四 遇弧的中点，利用垂径构直角 【例5】如图，在⊙O中，弦AB为4cm，弦AC为8cm，BC为⊙O的直径，D为的中点．连接AD和CD，AD与BC相交于点F． （1）求证：△ABF∽△ADC； （2）求tan∠AFB的值． 【模块二】已知三角函数值求其他值 方法技巧 利用已知三角函数值得线段比值，设参数，求其他值. 题型一 已知一个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值 【例1】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交圆O于D点，过D作DF∥BC，交AB的延长线于F． （1）求证：DF为圆O的切线； （2）若AB为⊙O的直径，tan∠F，求sin∠CAD的值． 题型二 已知三角函数值，求线段长 【例2】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若BC＝12，cos∠BAC，求AB和CD的长． 【例3】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AC＝4，，求cos∠BAD的值． 题型三 已知三角函数值，求线段比 【例4】如图，AB是半圆的直径，点C是上一点，，点D是的中点，连结DB、CA交于点E，则的值为 　 ． 题型四 已知三角函数，求三角形面积或周长 【例5】如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝8，，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【例6】（2025•南岸区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，以AC为直径的⊙O与AB相交于点D，过点D作⊙O的切线，交CB于点M，连接OM．若四边形AOMD为平行四边形，则AD的长为　 ；若P为BC上一点，连接AP，tan∠BAP，BC＝6，则△ABP的面积为　 ． 第三部分 专题提优训练 1．如图，AB为⊙O直径，点C在圆上，I为△ABC内心，AI交⊙O于点D，OI⊥AD，则sin∠CAD的值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，sin∠BOC，点D是⊙O上一动点，以AO，AD为边作▱AOED，连接CE，若AB＝10，则CE的最大值为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 3．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D．若CD＝6，PA＝4，则cos∠ADB的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，作BE⊥CD，DF⊥BC，BE，DF交于点G，连结BD，若BG＝3，⊙O的半径为2，则tan∠CBD的值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，∠MON＝90°，OM＝ON＝6，以点O为圆心，OM为半径作弧MN，点A是OM中点，点P是弧MN上的动点，以AP为直角边作Rt△APQ，∠PAQ＝90°，且tan∠APQ，连接NQ，则NQ的最小值为 　 ． 7．如图，半圆O是一棱镜的横截面，AB为其直径，一束光线在半圆O上的点M处发生折射，且折射光线在AB上的点P处发生反射，反射光线又在半圆O上的点N处发生折射射出棱镜．已知∠AOM＝60°，MO⊥ON，图中箭头方向表示光的方向，虚线表示法线或入射平面（法线都经过点O），则tan∠OMP＝　 ． 8．如图，在Rt△ABC中．∠A＝90°，．⊙O是△ABC的内切圆．分别与AC，AB，BC相切于点F，P，E． （1）∠EPF＝　 　 °．（2）若BC＝4，则AP＝　 ． 9．圆O中，弦DE与直径AB平行，点C在OA上，当AD＝AC时，∠DCE＝90°，则cos∠DAB＝　 ． 10．如图，BC是⊙O的直径，点A，E均在⊙O上，AE＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，连接CE交AD于点F，交AB于点G，延长CE与过点B的切线交于点H，若AD＝2，tan∠ABC，则BC＝ ，HG＝　 ． 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE为直径，CO⊥AE于O，记BC与AE的交点为F，BA的延长线与过点C的切线交于点D，若，，则CD＝　 ，BF＝　 ． 12．如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为　 ． 13．如图，▱ABCD的顶点A、D在⊙O上，BC与⊙O相切于点E，AB与⊙O相交于点F，连接DE、DF、AE、EF，若DF⊥AE，，，则AE＝ 　 ，BF＝ 　 ． 14．如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、CD，CE平分∠ACB交AD于点E，过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：DE＝DC； （3）若DE＝5，BF＝3，求AC的长． 15．如图，点O在△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别交于点D，F，且DE＝EF． （1）求证：∠C＝90°； （2）若时，求⊙O半径及BC的长． 16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接OC，点E是BC延长线上一点，CD是⊙O的切线，连接ED并延长交AB于点F，且CD＝DE． （1）求证：EF⊥AB； （2）若，BE＝6，BF＝3AF，求AC的长． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）作∠ABC的平分线BD交AF于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）的条件下，若EF＝4，DE＝6，求tan∠EBF的值． 18．如图1，在四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AE⊥BD，垂足为点E，交BC于点F． （1）求证：FA＝FB； （2）如图2，分别延长AD，BC交于点G，点H为FG的中点，连接DH，若tan∠ACB，求证：DH为⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若DA＝3，求AE的长． 19．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F． （1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度数； （2）连接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值； （3）在（2）的条件下，若BD，AC交于点P，，试用含m的式子表示cos∠BDF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 【中考综合题专项训练】圆与锐角三角函数的综合（解析版） 第一部分 知识导航 1．明确同弧所对的弦、圆周角和圆的半经三者的关系：AB＝2RsinC，如图所示两种常用辅助线． 图1 图2 2．三角函数值形式上是两条线段的比值，往往可以转化为两个相似三角形的相似比． 第二部分 方法技巧+典例剖析 【模块一】 求与圆有关的角的三角函数值 方法技巧 1．将所求角转化到直角三角形中； 2．利用相似比进行转化。 题型一 遇斜三角形作垂线构直角 【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． （1）求证：AT是⊙O的切线； （2）若C是TB上一点，，连接OC，AC，求tan∠ACO的值． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得∠TAB＝90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线； （2）过C作CD⊥AB于D，OE⊥AC于E，设AB＝AT＝3a，得到BD＝CD＝a，求得ODa，根据勾股定理得到OCa，ACa，根据相似三角形的性质得到OEa，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠ABT＝45°，AT＝AB， ∴∠T＝∠ABT＝45°， ∴∠BAT＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴AT是⊙O的切线； （2）过C作CD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 设AB＝AT＝3a， ∵， ∴BD＝CD＝a， ∴ODa， ∴OCa，ACa， ∵∠CDA＝∠AEO＝90°，∠OAE＝∠CAD， ∴△AEO∽△ADC， ∴，即， ∴OEa， ∴CEa， ∴tan∠ACO． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，切线的判定，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【例2】已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的直径，连接BC． （1）如图1，求证：∠C＝90°∠APB； （2）如图2，连接PC，若PB＝6，PC＝10，求sin∠PCB的值． 【分析】（1）连接OP、OB，由切线的性质可得∠PAO＝∠PBO＝90°，由切线长定理可得PA＝PB及∠APO＝∠BPO∠APB，再利用互余关系及三角形内角和，可得结论； （2）作PD⊥CB，交CB延长线于点D，由勾股定理得相关线段的长，推出∠PBD∠APB，利用tan∠AOP＝tan∠PBD，设PD＝3x，DB＝2x，由勾股定理求得x值，从而可求sin∠PCB的值． 【解答】解：（1）证明：连接OP、OB， ∵⊙O与PA、PB相切， ∴∠PAO＝∠PBO＝90° 由切线长定理得：∠APO＝∠BPO∠APB， ∴∠AOB＝2（90°∠APB）＝180°﹣∠APB， ∴∠BOC＝∠APB． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB90°∠APB， ∴∠C＝90°∠APB． （2）作PD⊥CB，交CB延长线于点D， 由（1）得∠OBC＝∠OCB＝90°∠APB， ∴∠PBD∠APB， ∵PA＝PB＝6，PC＝10，∠PAC＝90°， ∴AC＝8， ∴tan∠APO＝tan∠BPO＝tan∠PBD， ∴设PD＝2x，DB＝3x， ∴（3x）2+（2x）2＝36， 解得x， ∴PD， ∵PC＝10， ∴sin∠PCB． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理在几何中的应用及正切函数等相关知识点，综合性较强，难度较大． 题型二 遇切线，连圆心切点构直角 【例3】如图，BE、BC、CG分别与⊙O相切于E、F、G三点，且BE∥CG．延长BO交CG的延长线于点D，连接FG、OC，若，求sin∠CFG的值． 【分析】易证OC⊥FG，OC⊥BD，则FG∥BD，得到∠CFG＝∠CBD，△CFG∽△CBD，利用相似三角形的性质得，于是设CF＝4x，BC＝5x，求得BF＝x，易证△OBF∽△COF，利用相似三角形的性质求得OF＝2x，再利用勾股定理求得OB，最后根据三角函数的定义sin∠FBOsin∠CFG计算即可． 【解答】解：如图，连接OF，OG，OE， 则OF＝OG， ∵CF与CG都与⊙O相切， ∴OF⊥CF，OG⊥CG， ∴∠OFC＝∠OGC＝90°， 在Rt△OFC和Rt△OGC中， ， ∴Rt△OFC≌Rt△OGC（HL）， ∴∠OCF＝∠OCG，CG＝CF， ∴CH⊥FG， 同理可证Rt△OFB＝Rt△OEB（HL）， ∴∠OBF＝∠OBE， ∵BE∥CG， ∴∠EBF+∠FCG＝180°，即2∠OBF+2∠OCF＝180°， ∴∠OBF+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°，即CO⊥BD， ∵CO⊥FG， ∴FG∥BD， ∴∠CFG＝∠CBD，△CFG∽△CBD， ∴， 设CF＝4x，BC＝5x， ∴BF＝BC﹣CF＝5x﹣4x＝x， ∵∠BOF+∠COF＝90°，∠BOF+∠OBF＝90°， ∴∠OBF＝∠COF， ∵∠OFB＝∠CFO＝90°， ∴△OBF∽△COF， ∴， ∴OF2＝BF•CF＝x•4x＝4x2， ∴OF＝2x， ∴OB， ∴sin∠FBO， ∴sin∠CFG＝sin∠FBO． 【点睛】本题主要考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 题型三 遇直径，利用直径构直角 【例4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点E，D是BC的中点，DE的延长线交CA的延长线于点P． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若sin∠P，PC＝8，求⊙O的直径； （3）若，求cos∠BAC值． 【分析】（1）连接OE，CE，求出DEBC＝DC，推出∴∠DEC+∠OEC＝∠DCE+∠OCE，求出∠ACB＝∠OED＝90°，根据切线的判定推出即可． （2）在RT△POE中，由sin∠P，得出PO＝3OE，设圆的半径为R，根据PC＝8，得出4R＝8，从而求得R＝2，即可求得⊙O的直径为4． （3）作EF⊥AC于F，得出EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出，求得，根据EF∥BC，得出，从而求得AFR，OFR，然后根据勾股定理AER，根据直角三角形的余弦函数从而求得cos∠BAC． 【解答】（1）证明：连接OE，CE， ∵AC是直径， ∴∠AEC＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴DEBC＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE． ∵OC＝OE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴∠DEC+∠OEC＝∠DCE+∠OCE， 即∠ACB＝∠OED， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OED＝90°， 又∵OD是半径， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：在RT△POE中，sin∠P， ∴PO＝3OE， 设圆的半径为R， ∵PC＝8， ∴4R＝8， ∴R＝2， ∴⊙O的直径为4． （3）解：作EF⊥AC于F， ∴EF∥BC， ∴， ∵BC＝2DC， ∴， ∵EF∥BC， ∴， ∵AC＝2R， ∴AFR， ∴OF＝RRR， ∴EF2＝OE2﹣OF2＝R2﹣（R）2R2 ∴AER， ∴cos∠BAC． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用，平行线分线段成比例定理的应用，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 题型四 遇弧的中点，利用垂径构直角 【例5】如图，在⊙O中，弦AB为4cm，弦AC为8cm，BC为⊙O的直径，D为的中点．连接AD和CD，AD与BC相交于点F． （1）求证：△ABF∽△ADC； （2）求tan∠AFB的值． 【分析】（1）由D是的中点，得，则∠BAF＝∠DAC，而∠B＝∠ADC，所以△ABF∽△ADC； （2）连接OD，求得∠COD＝∠BOD＝90°，由AB＝4cm，AC＝8cm，∠BAC＝90°，求得BC＝4cm，则OD＝OC＝OB＝2cm，则DC2cm，由△ABF∽△ADC，得，则AF，再证明△CDF∽△ADC，得，则DF，由AF+DF，得AD，求得ADcm，则BFcm，所以OFcm，求得tan∠AFB＝tan∠OFD3． 【解答】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴∠BAF＝∠DAC， ∵∠B＝∠ADC， ∴△ABF∽△ADC． （2）解：连接OD，则OD＝OC， ∵∠COD＝∠BOD，且∠COD+∠BOD＝180°， ∴2∠COD＝180°， ∴∠COD＝∠BOD＝90°， ∵AB＝4cm，AC＝8cm，BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴BC4（cm）， ∴OD＝OC＝OBBC＝2cm， ∴DCOD22（cm）， ∵△ABF∽△ADC， ∴， ∴AF，BF， ∵∠DCF＝∠BAF＝∠DAC，∠CDF＝∠ADC， ∴△CDF∽△ADC， ∴， ∴DF， ∴AF+DF， ∴AD， ∴解得AD或AD（不符合题意，舍去）， ∴BF（cm）， ∴OF＝OB﹣BF＝2（cm）， ∴tan∠AFB＝tan∠OFD3， ∴tan∠AFB的值为3． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【模块二】已知三角函数值求其他值 方法技巧 利用已知三角函数值得线段比值，设参数，求其他值. 题型一 已知一个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值 【例1】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交圆O于D点，过D作DF∥BC，交AB的延长线于F． （1）求证：DF为圆O的切线； （2）若AB为⊙O的直径，tan∠F，求sin∠CAD的值． 【思路引领】（1）首先连接OD，由AD平分∠BAC，可得，由垂径定理，即可判定OD⊥BC，又由BC∥DF，证得结论； （2）根据已知条件设OD＝3a，DF＝4a，根据勾股定理得到OF＝5a，得到AF＝8a，如图2，连接BD，由于DF与⊙O相切，得到∠BAD＝∠FDB，根据相似三角形的性质得到2，设AD＝2k，BD＝k，求得ABk，根据三角函数的定义即可得到结论． 【完整解答】解：（1）如图1，连接OD， ∵∠BAD＝∠DAC， ∴， ∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴OD⊥DF， ∴DF与⊙O相切； （2）∵tan∠F， ∴设OD＝3a，DF＝4a， ∴OF＝5a， ∴AF＝8a， 如图2，连接BD， ∵DF与⊙O相切， ∴∠BAD＝∠FDB， ∵∠F＝∠F， ∴△AFD∽△DFB， ∴2， 设AD＝2k，BD＝k， ∴ABk， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴sin∠CAD＝sin∠BAD． 【总结提升】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型二 已知三角函数值，求线段长 【例2】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若BC＝12，cos∠BAC，求AB和CD的长． 【分析】（1）连接OB，延长AO交BC于H，如图，先判断AH为BC的垂直平分线，然后根据等腰三角形的性质得到AH平分∠BAC； （2）延长CD交⊙O于E，连接BE，如图，利用AH为BC的垂直平分线得到BH＝6，再利用圆周角定理得到∠CBE＝90°，∠BEC＝∠BAC，所以cos∠BEC，则可计算出BE＝16，CE＝20，接着利用勾股定理计算出OH，接着计算出AB，然后证明△ADO∽△BDE，利用相似比得到，则可计算出ODOE，最后计算CO+OD得到CD的长． 【解答】解：（1）连接OB，延长AO交BC于H，如图， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AH为BC的垂直平分线， ∴AH平分∠BAC； （2）延长CD交⊙O于E，连接BE，如图， ∵AH为BC的垂直平分线， ∴BH＝CHBC＝6， ∵CE为直径， ∴∠CBE＝90°， 而∠BEC＝∠BAC， ∴cos∠BEC＝cos∠BAC， ∴cos∠BEC， 设BE＝4x，CE＝5x，则BC＝3x， ∴3x＝12，解得x＝4， ∴BE＝16，CE＝20， 在Rt△OBH中，OH8， 在Rt△ABH中，AB6， ∵BE∥AH， ∴△ADO∽△BDE， ∴， ∴ODOE， ∴CD＝CO+OD＝10． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形外心的定义和外心的性质．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 【例3】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若AC＝4，，求cos∠BAD的值． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠CAD＝∠ABC，由等腰直角三角形的性质可得∠FAC＝∠CAD，由余角的性质可证AF⊥AB，可得结论； （2）利用锐角三角函数和勾股定理可求AE，CE，AB，BE的长，通过证明△ACE∽△BDE，可得，可求DE的长，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AC＝CD， ∴， ∴∠CAD＝∠ABC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵AE＝AF，∠ACB＝90°， ∴∠FAC＝∠CAD，CE＝FC， ∴∠FAC＝∠CAD＝∠ABC， ∴∠FAC+∠CAB＝90°， ∴AF⊥AB， 又∵AB是直径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：如图，连接BD， ∵cos∠ABC＝cos∠CAD，AC＝4， ∴AE＝5， ∴AF＝AE＝5，CE3， ∴CE＝CF＝3， ∵tanF， ∴， ∴AB， ∵cos∠ABC， ∴BF， ∴BE＝BF﹣EF（3+3）， ∵∠CAD＝∠CBD，∠AEC＝∠BED， ∴△ACE∽△BDE， ∴， ∴， ∴DE， ∴AD5， ∴cos∠BAD． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 题型三 已知三角函数值，求线段比 【例4】如图，AB是半圆的直径，点C是上一点，，点D是的中点，连结DB、CA交于点E，则的值为 　　 ． 【分析】设AB＝10a，由余弦函数的定义结合勾股定理求得AC和BC的长，利用垂径定理求得AF＝CF＝4a，OF＝3a，推出DF＝2a，证明△DFE∽△BCE，据此求解即可． 【解答】解：设OD与AC交于点F，AB＝10a， 由条件可知∠ACB＝90°， ∵， ∴， 设AB＝10a，则AC＝8a，， ∵点D是的中点， ∴OD⊥AC，， ∴， ∴DF＝OD﹣OF＝2a， 由条件可知DF∥BC， ∴△DFE∽△BCE， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识点是关键． 题型四 已知三角函数，求三角形面积或周长 【例5】如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝8，，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【分析】设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，得四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知AF＝AG，根据DE是⊙O的切线，可得MD＝DF，EM＝EG，根据勾股定理可得AB＝10，再求出内切圆的半径，进而可得△ADE的周长． 【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F、H、G，连接OF、OH、OG， ∴四边形OHCG是正方形， 由切线长定理可知AF＝AG， ∵DE是⊙O的切线， ∴MD＝DF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，， ∴， 解得BC＝6， ∴， ∵⊙O是△ABC的内切圆，H、G为切点， ∴OH⊥BC，OG⊥AC， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形OHCG是矩形， ∵O H＝O G， ∴四边形OHCG是正方形， 设内切圆的半径为x， ∴CH＝CG＝x， ∴BH＝6﹣x＝BF，AG＝8﹣x＝AF， ∴6﹣x+8﹣x＝10， 解得x＝2， ∴AF＝AG＝6， ∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝6+6＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解直角三角形的应用，熟知以上知识是解题的关键． 【例6】（2025•南岸区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，以AC为直径的⊙O与AB相交于点D，过点D作⊙O的切线，交CB于点M，连接OM．若四边形AOMD为平行四边形，则AD的长为　4　；若P为BC上一点，连接AP，tan∠BAP，BC＝6，则△ABP的面积为　　． 【思路引领】连接OD，由平行四边形的性质得AO∥DM，由AC为⊙O的直径，AC＝8，得OD＝OA＝4，由切线的性质得DM⊥OD，则∠AOD＝∠ODM＝90°，求得AD＝4；作PE⊥AB于点E，由tan∠BAP，得AE＝3PE，由∠ACB＝90°，BC＝6，求得AB＝10，由tanB，得BEPE，则3PEPE＝10，求得PE，则S△ABPAB•PE，于是得到问题的答案． 【完整解答】解：连接OD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO∥DM， ∵AC为⊙O的直径，AC＝8， ∴OD＝OAAC＝4， ∵DM与⊙O相切于点D， ∴DM⊥OD， ∴∠AOD＝∠ODM＝90°， ∴AD4； 作PE⊥AB于点E，则∠AEP＝∠PEB＝90°， ∵tan∠BAP， ∴AE＝3PE， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵tanB， ∴BEPE， ∴3PEPE＝10， 解得PE， ∴S△ABPAB•PE10， 故答案为：4，． 【总结提升】此题重点考查平行四边形的性质、切线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 第三部分 专题提优训练 1．如图，AB为⊙O直径，点C在圆上，I为△ABC内心，AI交⊙O于点D，OI⊥AD，则sin∠CAD的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BF，BD，先证∠BID＝∠DBI得BD＝ID，再证OI为△ABD的中位线BD＝2OI，AI＝ID，进而可得AI＝ID＝BD＝2OI，然后在Rt△AOI中由勾股定理得，据此可求得出答案． 【解答】解：连接BI，BD， ∵I为△ABC的内心， ∴∠ABI＝∠CBI，∠CAD＝∠BAD， 又∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∵∠BID＝∠ABI+∠BAD＝∠CBI+∠CBD＝∠DBI， ∴BD＝ID， ∵AB为⊙O直径， ∴∠D＝90°，点O为AB的中点， 又∵OI⊥AD， ∴OI∥BD， ∴OI为△ABD的中位线， ∴BD＝2OI，AI＝ID， ∴AI＝ID＝BD＝2OI 在Rt△AOI中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定、锐角三角函数、勾股定理等知识点，解答此题的关键是正确地作出辅助线后证明AI＝ID＝BD＝2OI． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，sin∠BOC，点D是⊙O上一动点，以AO，AD为边作▱AOED，连接CE，若AB＝10，则CE的最大值为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】连接BE，DO，证明四边形OBED是平行四边形，可知E点在以B为圆心，OB为半径的圆上，连接CB延长交圆B于点E'，此时CE的长最大，延长CO与圆交于G点，过点B作BM⊥CD交于M，连接BG，求出sin∠BGC，过O点作ON⊥CB交于N点，求出BC＝6，即可得CE的最大值为6+5＝11． 【解答】解：连接BE，DO， ∵四边形AOED是平行四边形， ∴DE∥AB，DE＝AO， ∵OA＝OB， ∴四边形OBED是平行四边形， ∵BO＝DO， ∴四边形OBED是菱形， ∴BE＝DO， ∴E点在以B为圆心，OB为半径的圆上， 连接CB延长交圆B于点E'，此时CE的长最大， 延长CO与圆交于G点，过点B作BM⊥CD交于M，连接BG， ∵sin∠BOC，BO＝5， ∴BM，OM， 在R△BGM中，tan∠BGC， ∴sin∠BGC， 过O点作ON⊥CB交于N点， ∵OB＝OC， ∴∠CON＝∠OGB， ∴CN＝5sin∠BGC＝3， ∴BC＝6， ∴CE的最大值为6+5＝11， 故答案为：11． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，关键是由勾股定理求出BC的长． 3．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D．若CD＝6，PA＝4，则cos∠ADB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OA，根据切线长定理得到△ADP≌△BDP（SAS），得AD＝BD，∠ADP＝∠BDP，得∠AOC＝∠ADB，由OA，得OP5，由cos∠AOC＝cos∠ADB即可． 【解答】解：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，连接OA， ∴∠OAP＝90°，PA＝PB，PD平分∠APB， ∴∠APD＝∠BPD， 在△ADP和△BDP中， ， ∴△ADP≌△BDP（SAS）， ∴AD＝BD，∠ADP＝∠BDP， ∴∠ADB＝2∠ADC， ∵∠AOC＝2∠ADC， ∴∠AOC＝∠ADB， ∵， 在Rt△AOP中，由勾股定理得：OP5， ∴cos∠AOC＝cos∠ADB． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的计算是解题的关键． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，作BE⊥CD，DF⊥BC，BE，DF交于点G，连结BD，若BG＝3，⊙O的半径为2，则tan∠CBD的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据AC是⊙O的直径得∠ABC＝∠ADC＝90°，再根据BE⊥CD，DF⊥BC得BE∥AD，AB∥DF，则四边形ABGD是平行四边形，进而得AD＝BG＝3，AC＝4，则CD，tan∠CAD，根据圆周角定理得∠CBD＝∠CAD，据此即可得出tan∠CBD的值． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， 即AB⊥BC，AD⊥CD， ∵BE⊥CD，DF⊥BC， ∴BE∥AD，AB∥DF， ∴四边形ABGD是平行四边形， ∴AD＝BG， ∵BG＝3，⊙O的半径为2， ∴AD＝BG＝3，AC＝4， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD， ∴tan∠CAD， 根据圆周角定理得：∠CBD＝∠CAD， ∴tan∠CBD＝tan∠CAD． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，正切函数的定义是解决问题的关键． 5．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正切值． 【解答】解：如图，连接AC、BC． ∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是， ∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知， tan∠ABC， ∴tan∠ADC， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正切值转化成求∠ABC的正切值，本题是一道比较不错的习题． 6．如图，∠MON＝90°，OM＝ON＝6，以点O为圆心，OM为半径作弧MN，点A是OM中点，点P是弧MN上的动点，以AP为直角边作Rt△APQ，∠PAQ＝90°，且tan∠APQ，连接NQ，则NQ的最小值为 　　 ． 【分析】将线段AO绕点A旋转90°并延长至点D，使得，过点D作DH⊥NO，交NO延长线于点H，连接ND，DQ，OP，证明△OAP∽△DAQ，求出DQ＝8，推出点Q在以D为圆心，DQ＝8为半径的圆上运动，当N，Q，D三点共线时，NQ由最小值，最小值为DN﹣DQ，易证四边形AOHD是矩形，再利用勾股定理求出，即可求解． 【解答】解：在Rt△APQ中，，如图，将线段AO绕点A旋转90°并延长至点D，使得，过点D作DH⊥NO，交NO延长线于点H，连接ND，DQ，OP， ∴， ∵，即， ∵∠PAQ+∠OAQ＝∠OAD+∠OAQ， ∴∠PAQ＝∠OAD， ∴△OAP∽△DAQ， ∴， ∵OP＝OM＝6， ∴DQ＝8， ∴点Q在以D为圆心，DQ＝8为半径的圆上运动， 当N，Q，D三点共线时，NQ由最小值，最小值为DN﹣DQ， ∵∠AOH＝∠OAD＝∠H＝90°， ∴四边形AOHD是矩形， ∴DH＝OA，OH＝AD， ∵OM＝ON＝6，点A是OM中点， ∴， ∴， ∴NH＝ON+OH＝10， 在Rt△NHD中，由勾股定理得：， ∴NQ的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂线段最短，等腰直角三角形，圆周角定理，解直角三角形，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 7．如图，半圆O是一棱镜的横截面，AB为其直径，一束光线在半圆O上的点M处发生折射，且折射光线在AB上的点P处发生反射，反射光线又在半圆O上的点N处发生折射射出棱镜．已知∠AOM＝60°，MO⊥ON，图中箭头方向表示光的方向，虚线表示法线或入射平面（法线都经过点O），则tan∠OMP＝　2　 ． 【分析】过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，通过证明△OMD≌△NOB，得出，设OP＝x，则，，通过证明△MPD∽△NPE，得出，进而推出∠OMP＝∠DMP﹣∠OMD＝15°，再构造含15度的直角三角形，即可解答． 【解答】解：过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E， 设OA＝OB＝OM＝ON＝r， ∵∠AOM＝60°，MD⊥AB， ∴∠OMD＝30°， ∴，， ∵MO⊥ON，∠AOM＝60°， ∴∠NOE＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵∠NOE＝∠OMD＝30°，OM＝ON，∠MDO＝∠OEN＝90°， ∴△OMD≌△NOB（AAS）， ∴， 设OP＝x，则，， 由光的反射可得：∠MPD＝∠NPE， ∴△MPD∽△NPE， ∴，即， 整理得：， ∴， ∴∠DPM＝∠DMP＝45°， ∴∠OMP＝∠DMP﹣∠OMD＝15°． 构造如图所示直角三角形，使∠I＝90°，∠F＝15°，FG＝HG， 设HI＝y， ∵∠F＝15°，FG＝HG， ∴∠HGI＝30°， ∴FG＝HG＝2y，则， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形和相似三角形，利用相关性质解答． 8．如图，在Rt△ABC中．∠A＝90°，．⊙O是△ABC的内切圆．分别与AC，AB，BC相切于点F，P，E． （1）∠EPF＝　60　 °． （2）若BC＝4，则AP＝　　 ． 【分析】（1）根据，得到∠B＝30°，进而得到∠C＝60°，连接OE，OF，根据切线的性质，得到∠EOF＝120°，圆周角定理得到，即可； （2）连接OP，得到四边形OFAP为正方形，利用直角三角形内切圆的半径的计算方法，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵， ∴∠B＝30°， ∵∠A＝90°， ∴∠C＝60°， 连接OE，OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC，AB，BC相切于点F，P，E， ∴OF⊥AC，OE⊥BC， ∴∠OFC＝∠OEC＝90°， ∴∠EOF＝360°﹣∠C﹣∠OEC﹣∠OFC＝120°， ∴； 故答案为：60； （2）∵BC＝4，∠B＝30°， ∴，， 连接OP，则：OP⊥AB，OP＝OF， ∵OF⊥AC，∠A＝90°， ∴四边形OFAP为正方形， ∴AF＝AP， 设AF＝AP＝x， 则：， ∴BC＝CE+BE＝2﹣x+2x＝4， 解得：x； 即：AP； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，掌握特殊角的三角函数值，切线的性质是解题的关键． 9．圆O中，弦DE与直径AB平行，点C在OA上，当AD＝AC时，∠DCE＝90°，则cos∠DAB＝　　 ． 【分析】依据题意，过点O作OF⊥DE，连接CF，OE，可得到DF＝EF，CF＝DF，又∠ADC＝∠DCF，进而得到AD∥CF，结合AD＝AC，推出四边形ACFD为菱形，设AC＝CF＝DF＝AD＝x，⊙O的半径为r，结合OF⊥AB，利用勾股定理列出方程进行求解，再根据∠DAB＝∠FCO结合余弦的定义，进行求解即可． 【解答】解：过点O作OF⊥DE，连接CF、OE， ∴DF＝EFDE． 又∵∠DCE＝90°， ∴CFDE＝DF＝EF． ∴∠CDF＝∠DCF． ∵AD ＝ AC， ∴∠ADC＝∠ACD． ∵DE∥AB， ∴∠CDF＝∠ACD． ∴∠ADC＝∠DCF． ∴AD∥CF． ∴四边形ACFD为平行四边形． 又∵AD＝AC， ∴四边形ACFD为菱形． ∴AC＝CF＝DF＝AD． 设AC＝CF＝DF＝AD＝x，O的半径为r， ∴OC＝r﹣x，EF＝x．在Rt△COF中，由勾股定理， ∴OF2＝CF2﹣OC2． 在Rt△EOF中，由勾股定理， ∴OF2＝OE2﹣EF2.∴CF2﹣OC2＝OE2﹣EF2． ∴x2﹣（r﹣x）2＝r2﹣x2． ∴rx或rx（舍去）． ∴OC＝r﹣xx﹣xx． ∴COS∠DAB＝COS∠FCO． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，斜边上的中线，菱形的判断和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，利用双勾股定理构建方程进行求解是解题的关键． 10．如图，BC是⊙O的直径，点A，E均在⊙O上，AE＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，连接CE交AD于点F，交AB于点G，延长CE与过点B的切线交于点H，若AD＝2，tan∠ABC，则BC＝　5　 ，HG＝　　 ． 【分析】由AD⊥BC于点D，BC是⊙O的直径，得∠ADC＝∠BDA＝∠BAC＝90°，推导出∠DAC＝∠ABC，由tan∠DAC＝tan∠ABC，且AD＝2，求得CD＝1，BD＝4，则BC＝5，AC，由AE＝AC，得∠ACE＝∠AEC＝∠ABC＝∠DAC，则cos∠ACE＝cos∠DAC，求得CG，由切线的性质得∠CBH＝90°，可证明∠HGB＝∠HBG，则HB＝HG，由勾股定理得HG2+52＝（HG）2，求得HG，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AD⊥BC于点D，BC是⊙O的直径，AD＝2， ∴∠ADC＝∠BDA＝∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝∠ABC＝90°﹣∠ACB， ∴tan∠DAC＝tan∠ABC， ∴CDAD＝1，BD＝2AD＝4， ∴BC＝CD+BD＝5，AC， ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝∠ABC＝∠DAC， ∴cos∠ACE＝cos∠DAC， ∴CG， ∵BH与⊙O相切于点B， ∴BH⊥BC， ∴∠CBH＝90°， ∴∠HGB＝∠AGC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣∠ABC＝∠HBG， ∴HB＝HG， ∵HB2+BC2＝HC2，且HC＝HG， ∴HG2+52＝（HG）2， 解得HG， 故答案为：5，． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、切线的性质、等腰三角形的判定、解直角三角形等知识，推导出∠ACE＝∠AEC＝∠ABC＝∠DAC及HB＝HG是解题的关键． 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE为直径，CO⊥AE于O，记BC与AE的交点为F，BA的延长线与过点C的切线交于点D，若，，则CD＝　3　 ，BF＝　　 ． 【分析】过点A作AH⊥CD于点H，连接BE，CE，证明四边形AOCH是正方形，求出，解直角三角形求出，即可求出CD；解直角三角形求出，，证明△DAC∽△CEB，求出，再证明△AFB∽△CEB，得到，即可求解． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥CD于点H，连接BE，CE， 由条件可知OC⊥CD，即∠OCD＝90°， ∵CO⊥AE，AH⊥CD， ∴∠COA＝∠AHC＝90°， ∴四边形AOCH是矩形， ∵OA＝OC， ∴四边形AOCH是正方形， ∴CD∥AE，AH＝OA＝CH， ∴∠D＝∠OAB， ∵， ∴，， ∴， ∴； 由条件可知∠ABE＝90°， ∵， ∴， ∴AB2+BE2＝5BE2＝AE2＝8， 解得：，则， ∵CO⊥AE，四边形AOCH是正方形， ∴∠CAE＝45°，， ∴∠CEA＝45°，即CE＝AC＝2， ∵∠DAC+∠CAB＝∠CAB+∠CEB＝180°， ∴∠DAC＝∠CEB， ∵∠CBE＝∠CAE＝∠ACD＝45°， ∴△DAC∽△CEB， ∴， ∴， ∵∠BCE＝∠BAE，∠CBA＝∠CEA＝45°， ∴△AFB∽△CEB， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 12．如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为　　 ． 【分析】利用平行线的判定与性质求得BD，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【解答】解：∵AB与⊙O相切于点B， ∴OB⊥AB， ∵OC⊥OB， ∴OC∥AB， ∴△ODC∽△BDA， ∴， ∵OB＝OC＝2， ∴， ∴BD． ∴tanA． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 13．如图，▱ABCD的顶点A、D在⊙O上，BC与⊙O相切于点E，AB与⊙O相交于点F，连接DE、DF、AE、EF，若DF⊥AE，，，则AE＝ 　4　 ，BF＝ 　　 ． 【分析】设DF交AE于点T，连接并延长EO交AD于点H，由切线的性质得BC⊥OE，则∠AHE＝∠CEH＝90°，而DF⊥AE，则∠ATD＝90°，推导出∠OEA＝∠ADF，连接OA、OF，作OL⊥AF于点L，OP⊥AE于点P，由AF＝2，得AL＝FL，可证明∠OEA＝∠ADF＝∠AOL，由tan∠AOL＝tan∠ADF，得OL＝2AL＝2，再证明△OEP≌△AOL，得EP＝OL＝2，所以AE＝2EP＝4；连接DE，作EQ⊥AB于点Q，可证明∠FEQ＝∠ADF，由tan∠FEQ＝tan∠ADF，得EQ＝2FQ，由勾股定理得（FQ+2）2+（2FQ）2＝（4）2，求得FQ，则EFFQ＝6，再证明△BAE∽△BEF，得，所以BE2＝BF•BA，且BEBF，则BF（BF+2），求得BF，于是得到问题的答案． 【解答】解：设DF交AE于点T，连接并延长EO交AD于点H， ∵BC与⊙O相切于点E， ∴BC⊥OE， ∴∠AHE＝∠CEH＝90°， ∵DF⊥AE， ∴∠ATD＝90°， ∴∠OEA＝∠ADF＝90°﹣∠DAE， 连接OA、OF，作OL⊥AF于点L，OP⊥AE于点P，则∠OLA＝90°，EP＝AP， ∵AF＝2， ∴AL＝FLAF， ∴∠AOL＝∠FOL∠AOF， ∵∠ADF∠AOF， ∴∠OEA＝∠ADF＝∠AOL， ∴tan∠AOL＝tan∠ADF， ∴OL＝2AL＝2， ∵∠OPE＝∠ALO＝90°，∠OEP＝∠AOL，OE＝AO， ∴△OEP≌△AOL（AAS）， ∴EP＝OL＝2， ∴AE＝2EP＝4； 连接DE，作EQ⊥AB于点Q，则∠AQE＝90°， ∵∠EFQ+∠AFE＝180°，∠ADE+∠AFE＝180°， ∴∠EFQ＝∠ADE， ∵EH垂直平分AD， ∴DE＝AE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴∠EFQ＝∠DAE， ∴∠FEQ＝90°﹣∠EFQ＝90°﹣∠DAE＝∠ADF， ∴tan∠FEQ＝tan∠ADF， ∴EQ＝2FQ， ∵AQ2+EQ2＝AE2，且AQ＝FQ+2， ∴（FQ+2）2+（2FQ）2＝（4）2， 整理得5FQ2+4FQ﹣60＝0，即（FQ﹣6）（FQ+10）＝0， 解得FQ或FQ（不符合题意，舍去）， ∴EFFQ6， ∵OE＝OF， ∴∠OEF＝∠OFE（180°﹣∠FOE）＝90°∠FOE， ∴∠BEF＝90°﹣∠OEF＝90°﹣（90°∠FOE）∠FOE， ∵∠BAE∠FOE， ∴∠BAE＝∠BEF， ∵∠B＝∠B， ∴△BAE∽△BEF， ∴， ∴BE2＝BF•BA，且BEBF， ∴BF（BF+2）， 解得BF或BF＝0（不符合题意，舍去）， 故答案为：4，． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 14．如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、CD，CE平分∠ACB交AD于点E，过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：DE＝DC； （3）若DE＝5，BF＝3，求AC的长． 【分析】（1）连结OD，如图，先根据垂径定理得到OD⊥BC，再证明OD⊥DF，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，∠BCD＝∠BAD，则∠CAD＝∠BCD，再根据角平分线的定义得到∠ECB＝∠ECA，然后接着利用三角形外角性质得到∠DEC＝∠ECA+∠CAD，然后给利用∠DCE＝∠ECB+BCD得到∠DEC＝∠DCE，从而得到结论； （3）连结BD，如图，由（2）得DC＝DE＝DB＝5，再证明△BDF∽△CAD，然后利用相似比可计算出AC的长． 【解答】（1）证明：连结OD，如图， ∵点D为的中点， ∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴OD⊥DF， ∵OD为⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）证明：∵点D为的中点， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BCD＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠BCD， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB＝∠ECA， ∵∠DEC＝∠ECA+∠CAD，∠DCE＝∠ECB+BCD， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC； （3）解：连结BD，如图， 由（2）得DC＝DE＝5， ∵点D为的中点， ∴DB＝DC＝5， ∵BC∥DF， ∴∠ABC＝∠F，∠CBD＝∠BDF， ∵∠ABC＝∠ADC，∠CBD＝∠CAD， ∴∠F＝∠ADC，∠BDF＝∠CAD， ∴△BDF∽△CAD， ∴BF：CD＝BD：AC， 即3：5＝5：AC， 解得AC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定与性质． 15．如图，点O在△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别交于点D，F，且DE＝EF． （1）求证：∠C＝90°； （2）若时，求⊙O半径及BC的长． 【分析】（1）连接OE，得到∠OBE＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠OBE＝∠OEB，得出∠CBE＝∠OEB，得到OE∥BC，根据切线的性质得到∠OEA＝90°，即可得到结论； （2）设⊙O的半径为r，根据三角函数求出，同理求出BC＝3． 【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∵DE＝EF， ∴， ∴∠OBE＝∠CBE， ∵OE＝OB， ∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠CBE＝∠OEB， ∴OE∥BC， ∵⊙O与边AC相切于点E， ∴OE⊥AC， ∴∠OEA＝90°， ∴∠C＝∠OEA＝90°； （2）解：设⊙O的半径为r，则， 在Rt△AOE中，， ∴， 在△ABC中，， ∵， ∴BC＝3． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接OC，点E是BC延长线上一点，CD是⊙O的切线，连接ED并延长交AB于点F，且CD＝DE． （1）求证：EF⊥AB； （2）若，BE＝6，BF＝3AF，求AC的长． 【分析】（1）由切线的性质得∠OCD＝90°，则CD＝DE，OC＝OB，得∠E＝∠DCE，∠B＝∠OCB，则∠E+∠B＝∠DCE+∠OCB＝90°，所以∠BFE＝90°，则EF⊥AB； （2）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，由tanB，得EFBF，ACBC，∠B＝60°，由BE2BF＝6，得BF＝3，由BF＝3AF＝3，得AF＝1，所以AB＝4，因为∠A＝90°﹣∠B＝30°，所以BCAB＝2，求得AC＝2． 【解答】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点C， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∵CD＝DE，OC＝OB， ∴∠E＝∠DCE，∠B＝∠OCB， ∴∠E+∠B＝∠DCE+∠OCB＝180°﹣∠OCD＝90°， ∴∠BFE＝180°﹣（∠E+∠B）＝90°， ∴EF⊥AB． （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BFE＝90°，BE＝6， ∴tanB， ∴EFBF，ACBC，∠B＝60°， ∵BE2BF＝6， ∴BF＝3， ∵BF＝3AF＝3， ∴AF＝1， ∴AB＝AF+BF＝4， ∵∠A＝90°﹣∠B＝30°， ∴BCAB＝2， ∴AC＝2， ∴AC的长为2． 【点睛】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出∠E+∠B＝∠DCE+∠OCB＝90°，进而证明∠BFE＝90°是解题的关键． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）作∠ABC的平分线BD交AF于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）的条件下，若EF＝4，DE＝6，求tan∠EBF的值． 【分析】（1）首先连接OF，由FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，易证得OF⊥BC，然后由垂径定理，求得AF平分∠BAC； （2）根据角平分线的作法，求解即可求得∠ABC的角平分线； （3）易证得△BDF是等腰三角形，即可求得BF的长，△BEF∽△ABF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，继而求得答案． 【解答】（1）证明：连接OF， ∵FH是⊙O的切线， ∴OF⊥FH， ∵FH∥BC， ∴OF⊥BC， ∴， ∴∠BAF＝∠CAF， ∴AF平分∠BAC； （2）解：如图：BD即是∠ABC的角平分线； （3）解：法一：∵∠ABD＝∠CBD，∠BAF＝∠CAF＝∠CBF，且∠FBD＝∠CBD+∠CBF，∠BDF＝∠ABD+∠BAF， ∴∠FBD＝∠BDF， ∴BF＝DF＝EF+DE＝4+6＝10， ∵∠AFB＝∠BFE（公共角），∠CBF＝∠BAF， ∴△BEF∽△ABF， ∴BF：AF＝EF：BF， ∴AF25， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴tan∠EBF＝tan∠BAF． 法二：∵AD、BD是△ABC的角平分线， ∴∠ADB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠BDF＝45°， ∴△BDF为等腰直角三角形， ∴BF＝EF+DE＝10， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴tan∠EBF． 【点睛】此题考查了切线的性质，角平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 18．如图1，在四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AE⊥BD，垂足为点E，交BC于点F． （1）求证：FA＝FB； （2）如图2，分别延长AD，BC交于点G，点H为FG的中点，连接DH，若tan∠ACB，求证：DH为⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若DA＝3，求AE的长． 【分析】（1）由圆周角定理及其推论可证∠BAE＝∠ADE＝∠ACB，由等边对等角可证∠ABC＝∠ACB，进一步推出∠ABC＝∠BAE，可得出FA＝FB； （2）利用三角函数分别可得出ABAD，AGAB，推出AG＝2AD，即点D为AG的中点，又由H为GF的中点可证DH平行AF，可证明∠HDE＝∠AED＝90°，所以DH⊥OD，即可得到DH为⊙O的切线； （3）先求出AB的长度，再在Rt△ABD中通过勾股定理求出BD的长度，最后通过面积法即可求出AE的长． 【解答】（1）证明：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠DAE＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵∠ACB＝∠ADE， ∴∠ABC＝∠ADE＝∠BAE， ∴FA＝FB； （2）证明：由（1）知，∠ABC＝∠ACB＝∠ADB， ∵tan∠ACB， ∴tan∠ABC＝tan∠ADB， 又∵∠BAD＝90°， ∴在Rt△BAD中，ABAD， 在Rt△BAG中，AGAB， ∴AG（AD）＝2AD， ∴点D为AG的中点， 又∵点H为FG的中点， ∴DH∥AF， 由（1）知，∠AED＝90°， ∴∠HDE＝∠AED＝90°， ∴DH⊥OD， ∴DH为⊙O的切线； （3）∵AD＝3， ∴ABAD＝6， ∴在Rt△ABD中， BD3， ∵S△ABDAB•ADBD•AE， ∴6×33AE， ∴AE＝2． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，锐角三角函数，切线的判定定理及勾股定理等，解题关键是能够熟练掌握并运用圆的有关性质． 19．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F． （1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度数； （2）连接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值； （3）在（2）的条件下，若BD，AC交于点P，，试用含m的式子表示cos∠BDF． 【分析】（1）先证明∠CAD＝∠CDE，然后根据圆周角定理即可求解； （2）证明△CDF∽△CBD，得出，根据CF：BF＝1：2可设CF＝a，BF＝2a，则BC＝3a，，最后代入计算即可； （3）过点P作PQ∥DF交BC于点Q，则m，△CEF∽△CPQ，△BPQ∽△BDF，根据相似三角形的性质可求出，，，由平行线分线段成比例得出，在Rt△PDE中，cos∠PDE，结合（2）即可求解． 【解答】解：（1）∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°； ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝∠CDE， ∵，∠CBD＝33°， ∴∠CAD＝∠CBD， ∴∠CDF＝∠CBD＝33°； （2）由（1）得：∠CDF＝∠CBD， ∵∠DCF＝∠BCD， ∴△CDF∽△CBD， ∴， ∵CF：BF＝1：2， 设CF＝a，BF＝2a，则BC＝3a， ∴， ∴； （3）如图，过点P作PQ∥DF交BC于点Q， ∴m，△CEF∽△CPQ，△BPQ∽△BDF， ∴，即， ，即EF， ∴， ∵PQ∥DF， ∴，即， 在Rt△PDE中，cos∠PDE， 由（2）得：， ∴cos∠BDF． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理以及推论，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $