08-专题八 圆的综合题-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

,△ABM是等边三角形， ∴.∠BAM=∠AMB=60°， MN .MN⊥AB,∴.AM sin∠MAW 37.5-255(cm), 5 2 ∴.AB=AM=25√3(cm). 解图1 (2)如解图1，设圆心为0，连接OA,OB 则∠A0B=2LAMB=120°，.∠A0N= F2∠A0B=609 .MN⊥AB,.∠OAN=90°-∠AON=30° .ON= 1 20=20M NO=37.5 cm. ∴.0M=25cm, AMB的长为360-120)m×25100m, 180 3(cm). (3)如解图2和解图3，设水面为DE,交MN于点F, LDE,DF-EF DE=4(cm). 连接0D,OD=0M=25(cm), .0F=√0D-DF=√252-24=7(cm). 当DE在点O的上方时.如解图2. MF=0M+0F=25+7=32(cm); 当DE在点O的下方时，如解图3， MF=0M-0F=25-7=18(cm) 综上所述，鱼缸内水的深度为32cm或18cm. M M 解图2 解图3 4.解：(1)设⊙0的半径为rcm 当⊙0恰好和AB相切时，∠OEB=90°， ∠B=60°，BC=(20W5-30)cm, sinB=O 06+203-302,解得r=30. .⊙0的半径为30cm (2)①如解图1，连接0N OF LAB,OF=24 cm,ON=30 cm, 22 MF=FN=2MN,FN-/ON-OF=18(cm). .MN=2FN=36(cm). D D B M 解图1 解图2 ②不能，理由如下： 如解图2，当BD旋转到∠B=30°时，0B=0C+BC=30+ 20W3-30=20w3(cm). ∠B=30,0FLAB,0F=20B=105(em), 连接0N,在Rt△0FN中，FN=√ON-OF=106(cm), .MN=2FW=206(cm). 206<50,.当BD旋转到∠B=30时，切割锯不能将宽 度为50cm的木板切断. 专题八圆的综合题 1.(1)解：如解图，连接OA BD是⊙0的直径，.∠BAD=90° AB=OB,OA=OB,.△OAB是等边三角形， ∴.∠ABD=60°，∴.∠ADB=30°. /G C ②)①。”【解法提示】连接0C由题可知，0B=00妒 2BD=L,由(1)知△0AB是等边三角形，即∠AOB=60 :BD为⊙0的直径，C为BD的中点，.∠B0C=90°， 元的长为”1-名 5 ②证明：AF为⊙0的切线，.OA⊥AF ∠0AB=60°，.∠BAF=30. C为BD的中点，.∠CBD=∠CDB=45°， .∠ABF=180°-45°-60°=75°， .∠F=180°-30°-75°=75°， ·∠ABF=∠F,AF=AB. (3)解：AFDC.理由如下： 延长AO,交CD于点G,如解图. AF为⊙0的切线，.∠OAF=90°. .AC⊥BD,.AB=BC,.∠BDC=∠ADB=30°. 又.·∠D0G=∠A0B=60°，·.∠DG0=180°-60°-30°=90°， .∠OAF=∠DG0,∴.AF∥DC. 2.(1)证明：连接CD. .AC为⊙O的直径，.∠ADC=∠CDB=90°， (BC=BC, 在R△CDB和R△CFB中，BD=BF, ∴.Rt△CDB≌Rt△CFB(HL),.∠DBC=∠FBC. AC=AB,.∠ACB=∠DBC,∴∠ACB=∠FBC .·CF⊥BF,∴.∠FBC+∠BCF=90°， .∠ACB+∠BCF=90°，.∠ACF=90°，.OC1FC. :OC为⊙0的半径，.FC是⊙0的切线 (2)解：①.AB=4,AB=AC,.∴.AC=4. .·AC为⊙0的直径，.OA=0C=0D=2 .OA=OD,.∴.∠ODA=∠BAC=30°，.∠A0D=120°， 0的长为120mx2_4n 1803 ②AC为⊙0的直径，.∠ADC=90° 1 ∠BMC=30,…CD=24C=2AB=2, .AD=√AC-CD=25. .·AB=AC=4,..BD=AB-AD=4-2√3. 由(1)知，Rt△CDB≌Rt△CFB, .SACDB=S△cFB' Snm=5aa+5acm=250w=2x分×(4-25)x2= 8-43 ∠C0D=2∠BAC=60°，∴.S第形0cn= 60m×22_2m 360 31 .·0C=OD.∠C0D=60°. .△OCD是等边三角形， 1 5aw=2×2x/5=5, S3形um=SmE0cwSA0B-3-月 ·.由CD,线段DB,BF,FC所组成的封闭图形的面积为 Sa形0Be-S号形0=8-35-2西 3 3.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴.ABCD. .∠B==54°， ∴.∠BCD=180°-∠B=126° :CD与⊙0相切，.∠OCD=90°， ∴.∠OCE=∠BCD-∠OCD=36° 0C=0E,∴.∠0EC=∠0CE=36 (2).⊙O与CD相切于点C, ∴.OC⊥CD,∴.∠OCD=90°. .·E0∥CD,∴.∠0=180°-∠0CD=90° BC=8,E是BC的中点，EC= 2BC=4 0E2+0C2=EC2,0E=0C,.0C=0E=22 ·元的长为90mx22 =√2m. 180 (3)30°<a<90°.【解法提示】.OC⊥CD,AB∥CD,∴.OC ⊥AB.当点O在BC上时，如解图1，BC⊥AB,即a=90° 当点0在射线BA上时，如解图2，：∠B0C=90°， △BCO是直角三角形.：E为BC的中点，.OE=BE= EC.0C=OE,.0E=0C=EC,∠0CB=60°，∠B= 30°，即a=30°，.的取值范围为30°<a<90° A D EO C 解图1 解图2 4.解：(1)：四边形ABCD是边长为5的正方形， ∴.AD=DC=5,∠ADC=90. .AE=3.∴.DE=2. ·DE=DF,.DF=2 .OE=OF=2,..DE=DF=0E=OF=2, 四边形OEDF为正方形， ∴.∠E0F=90°∠EMF=)☑ -∠E0F=45. (2)连接EF,交BD于点H,如解图1， E 解图1 四边形OEMF为菱形， ∴.OE=EM=OF=MF=2,EH⊥MD .OM=0E=0F=2. △OEM,△OFM为等边三角形， .∴.∠OEM=∠OME=∠OMF=∠OFM=60°， 之Ea=ME:sin60°=2x)=V3 ·四边形ABCD是边长为5的正方形」 .DB平分∠ADC,.·.∠ADB=45°， :△EHD为等腰直角三角形， ∴.DH=EH=√3，.DE=√2DH=√6. (3)当∠E0F=150时，分两种情况： 如解图2，则m的长为150mx2_5π」 1803 如解图3，则E的长为360-150)m×27 180 3 综上所述，当∠E0F=150时，E7的长为或7 解图2 解图3 23 5.解：(1)连接OA,0N.·⊙0的半径为3，AB=3. .OA=ON=AN=3,.△AON为等边三角形， ∠A0N=60°，的长为60m×3 180 (2)如解图1，过点B作BI⊥OA于点I,过点O作OH⊥ MN于点H,连接M0,则Mm=NM=之N=5 又.OA∥MN,.四边形BIOH是矩形，.BH=OI,BI=OH ∴.OH=√OM-M=2,∴.点B到OA的距离BI=2. AB=3,B1⊥OA,A=√AB2-BF=√5 .∴.BH=0I=0A-AI=3-√5 .∴.x=BN=BH+NH=3-√5+√5=3. 解图1 解图2 (3)①如解图2，过点0作0JLBC于点J .过点A的切线与AC垂直， ∴.圆心O在AC上， 在Rt△ABC中，AC=√AB+BC=3√5， .0C=AC-0A=3√5-3. :OJLBC,∠ABC=90°，.OJ∥AB, △COJ△CAB. 品卿3疗3 OJ CO 335 解得d=3-√3！ ②d的最小值为3 2 ,【解法提示】如解图3，当B为MW 的中点时，过点O作OL⊥B'C'于点L,作OJL BC于点J. .∠0JL>90°，∴.OL>0J,故当B为MN的中点时，d最小 如解图4，连接OB,过点A作AQ⊥OB于点Q,·B为MW 的中点，.OB⊥MN,由(2)可得OB=2,.BQ=OQ=1, .∴.AQ=√32-12=2W2..∠ABC=90°=∠AQB,.∴∠OBJ+ ∠AB0=90°=∠ABO+∠BAQ,∴.∠OBJ=∠BAQ, .∴.tan∠OBJ=tan∠BAQ,∴. _B=L,设0J=m,则B时 BJ AQ 22 =22m.0+B=0B2,m2+(22m)2=22,解得m= 负值已金去).心0的最小值为即4的最小值 M 解图3 解图4 6.解：发现：连接0P,0Q,AB=4, 24 ∴.0P=00=2. PQ=2. .△0PQ是等边三角形，.∠POQ=60°， F0的长为60mx22 180=3m. 又：半圆0的弧长为)m×4=2 24 :.的长与丽的长之和为2m3m=3m, 4 .1=3 思考2君 【解法提示】过点M作MC⊥AB 于点C,连接OM,OP.OP=2,PM=1,.由勾股定理，得 OM=√3.如解图1，当点C与点0重合时，点M与AB的 距离最大，最大值为5，连接AP,此时OM⊥AB,,∠AOP =60°.OA=0P,.△A0P是等边三角形，.AP=2.如解 图2，当点Q与点B重合时，易得∠M0Q=30°，.MC= 0州-号此时点M与松的距高装小，最小值为设 此时半圆M与AB的交点为D,连接DM,则DM=MB=1. 易得∠ABP=60°，△DMB是等边三角形，∠DMB= 60,DB=MB=1,扇形DMB的面积为60mXI_元 360 261 △DMB的面积为子Mc·Dn=号×气 -× 22 半留 13 的弧与AB所围成的封闭图形面积为” 64 O(C) B B(Q) M 解图1 解图2 探究：当半圆M与AB相切时，设切点为G,连接MG,则 MG=1, 当点G在线段OA上时，如解图3， 连接P0,M0,则MG⊥AO,OM⊥PQ, ∴.M0=√/P0-PM产=√3. 1 在Rt△POM中，sin∠P0M=2∠POM=30 在R△0GM中，由勾股定理，得OG=√2， 0G√6 .∴.cos∠AOM= M0-3' .∠A0M=35°，.∠A0P=∠A0M-∠P0M=5°， 的长为5mx2_π 180181 解图3 解图4 当点G在线段OB上时，如解图4，连接OP,OM 此时∠B0M=35°. .·∠P0M=30°，.∠A0P=180°-∠P0M-∠B0M=115° D的长为15mx2_23m 180=18 综上所述，当半圆M与AB相切时，D的长为西或23m 1818 7.解：(1)圆心0落在AP上，即AP为⊙0的直径. 易得an∠CBP=an∠DAB= CP为⊙0的切线，∴∠BPC=90°， 4 BP=x,∴.CP= 3 在Rt△CBP中，BP2+CP=BC, +(亭)户=15，解得x=9(负值配合去). 即x=9时，圆心O落在AP上，此时PE⊥BC (2)如解图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M,过 点O作OF⊥AB交AB的延长线于 点F,连接OP,0Q. 由(1)可知8N=9.a=学×0=12 AB=3,.AM=12,∴AM=CM .∴.∠CAP=∠ACM=45° .x=4,.AP=7,PM=5 ∴.CP=√CM+PM=13. OF LAP.PF=1 2 .·CP为⊙O的切线，.OP⊥CP .∠OPF+∠CPM=90°. .·∠CPM+∠PCM=90°，∴.∠OPF=∠PCM. 又.·∠OFP=∠PMC=90°，.△OPF∽△PCM 7 器g 91 13 120p= 241 :∠Q0P=2∠CAP=90°， 1 9191r 风=4×2m×24=48 9h< (3)当⊙0与线段AD只有一个公共点时，x的取值范围 为x≥18， 8.解：发现：当α=0°或=180时，点A,P,0在一条直线上， B,P',O在一条直线上， .AP=OA-OP或OA+OP,BP'=OB-OP'或OB+OP'. .OA=0B,OP=OP',.'.AP=BP'; 当a≠0°且a≠180时， 由题意，得OA=OB,OP=OP',∠AOB=∠POP', .∠AOP=∠BOP' 0A=0B. 在△AOP和△BOP'中」 ∠AOP=∠BOP' OP=OP', .△AOP≌△BOP'(SAS),∴.AP=BP'. 综上所述，在旋转过程中AP与BP'始终相等 探究：(1)310°【解法提示】扇形POP'绕到点0的左侧， OP∥AB,如解图1.∠AOB=80°，OA=0B,.∠A=∠B= 50°.0PAB,.∠P0A=∠A=50°，.旋转角a=360°- 50°=310°. 解图1 解图2 (2)扇形P0P'绕到点0的右侧，AP与PP相切，如解 图2. AP与PP相切，.OP⊥AP. .·0A=0B=10,0P=6, .AP=/0A-0P=8. 由发现可知AP=BP', .BP'=8. (3)∠B0Q的度数为170°或10°.【解法提示】.Q是 PP上任意一点，.点Q在以0为圆心，0P=6为半径的 圆上运动，如解图3.在△A0Q中，当0Q⊥0A时，△A0Q 的面积最大，过点0作OA的垂线交⊙0于点Q',Q”,当点 Q与点Q,Q"重合时，△A0Q的面积最大，当点Q与点Q 重合时，∠B0Q=90°+80°=170°：当点Q与点Q"重合时， ∠B0Q=90°-80°=10°.综上所述，当△A0Q的面积最大 时，∠B0Q的度数为170°或10°. 解图3 9.解：【发现】2 【探究】(1)如解图1，连接0'E,则0'E=2,O'E⊥AB E是0B的中点，0B=2, :OE=BE=108=1, 2 0'B=√O'E+BE=√5. 又：AB是⊙0的直径， 解图1 .∴.∠AMMB=90°=∠O'EB. 又·∠ABM=∠MBE, .△AMB∽△O'EB, 品品学后解得 25 5 (2)弦CD的最大值为2√5，最小值为22.【解法提示】 如解图2，设O'0与CD交于点F,根据轴对称可得O'0⊥ CD,OF=- 0,CD=2DR当点D与点B重合，C为 25 AB的中点时，切点为B,即点E与点B重合，此时CD最 小，0'0=√0B2+0'E=22,即0F=√2.在Rt△0DF中， 由勾股定理，得DF=√OD-0F=√2，即CD=22;当 CDAB,且CD恰好经过OO'的中点F时，CD最大，如解 图3，即点E在点0处∴0F=1,.DF=√OD-0F=5, 即CD=25.综上所述，弦CD的最大值为25，最小值为 22. B(D O(E 解图2 解图3 专题九综合与实践 1.(1)SSS:全等三角形的对应角相等 (2)证明：.：∠AED=∠AOB, ∴.ED∥OB,∴.∠EPO=∠POB. .EO=EP,∴.∠EOP=∠EPO, ∴.∠AOP=∠BOP,∴.OP平分∠AOB. 2解：(1)Mw的长为24 【解法提示】：∠ABC=90°，AB= 6.BC=8..AC=AB+BC-10.SANC=2AB.BC= 4一国中—×6× 1 2 X10N..MN= 24 5 (2)①尺规作图如解图1. ②CN平分∠ACB,NB⊥BC,NM⊥AC,.NB=NM. 又：CN=CN,.Rt△BCW≌Rt△MCW(HL), .CM=CB. 设MN=BN=x,则AN=AB-BN=6-x,CM=CB=8, ∴.AM=2, 在Rt△AMN中，由勾股定理，得x2+2=(6-x)2, 解得x= 裁剪线M的长为受 8 解图1 解图2 (3)淇淇所说的MN的长为3.【解法提示】如解图2，四 边形ABNM是轴对称图形..△ABN与△AMN关于AN 成轴对称，.AM=AB=6,MN=BN,∠AMN=∠ABN= ∠NMC=90°，∴.CM=AC-AM=10-6=4.设MW=BN=x,则 CN=BC-BN=8-x.在Rt△CMN中，由勾股定理，得x2+ 4=(8-x)2,解得x=3..MN=3. 3.解：(1)线段EF的长为1.【解法提示】如解图1，过点 GC作GK⊥FⅢ于点K.结合题意可得，四边形FOG'K为矩 形，FO=KG.由拼接可得，HF=FO=KG'.由正方形的性 26 质，得∠A=45°，.△AHG,△I'G'D,△AFE都为等腰直角 三角形，.△GⅢ为等腰直角三角形.设HK=KG'=x, ∴.'D=H'G'=√2x,∴.AH=HG=√2x,HF=FO=x.,·正方 形的边长为2，.对角线的长为√2+2=22，.0A= √2，.x+x+V2x=√2，解得x=√2-1，.EF=AF=√2x+x= (5+1)x=(√2+1)(2-1)=1. H'D 3 G G E ②0① 解图1 (2)与线段BE相等的线段有GE,AH,GH. 由(1)得△AFE为等腰直角三角形，EF=AF=1, AE=2EF=√2， .BE=AB-AE=2-√2. 探究画出裁剪线（线段PQ)的位置如解图2，BP=√2. 或如解图3，BP=2-√2. .0 0 B 2 B P 2 解图2 解图3 4.解：(1)10 (2)如解图1（答案不唯一）. 了ME 解图1 (3)四边形ABCD是矩形， .∠B=90°，AD∥BC,AB=CD ·BG=AB,.∠AGB=45°. .·AN=MG,∴.四边形AGMN是平行四边形， .MN∥AG,.∠NMG=∠AGB=45. ·直线L是GC的垂直平分线，.GM=CM .∴.GM=CM=AN. BM=BC-CM,DN=AD-AN. ∴.BM=DN,∴.AN+AB+BM=CM+CD+DN, .直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分， .直线MN符合要求. (4)①如解图2，过点H作HG⊥BC于点G,连接AC交PQ 于点O,过点P作PK⊥BC于点K,过点O作OT⊥BC于 点T 解图2专题八 圆的综合题(10年8考) 类型1非动态问题(2021.24) 2.(2025邢台内丘县模拟)如图，在△ABC中，AB= 1.已知ABD所在圆的直径为BD,圆心为O,AB= AC,以AC为直径作⊙O,AB与⊙0交于点D, BC与⊙0交于点E,点F是⊙O外一点，CF⊥ OB,C为ABD上一点，AC,BD相交于点E,AF BF,BF=BD. 为⊙O的切线，与CB的延长线交于点F (1)求证：FC是⊙0的切线 (1)求∠ADB的度数. (2)若∠BAC=30°，AB=4. (2)如图1，若C为BD的中点。 ①求AD的长； ①当BD=2时，AC的长为 ②求图中由CD,线段DB,BF,FC所组成的封 ②求证：AF=AB. 闭图形的面积， (3)如图2，若AC⊥BD,判断AF与DC的位置 关系，并说明理由。 0 E 图1 图2 154 类型2动点问题(2025.21,2024.25,2020.22,2018. 4.(2025河北21题9分)如图1，图2，正方形 25) ABCD的边长为5.扇形OEF所在圆的圆心O 3.(2024秋唐山路北区期末)如图，在□ABCD 在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE= 中，BC=8,E是BC的中点，过点E在BC上方 2,点E,F分别在边AD,CD上，DE=DF(DE≥ 作EC,且与CD相切于点C,其圆心为O,连接 2),扇形OEF的弧交线段OB于点M,记 OC,OE.发现随着∠B的变化，EC所在圆的大 为EMF. 小及其圆心O的位置也随之变化，设∠B=α. (1)如图1，当AE=3时，求∠EMF的度数； (1)如图1，当=54时，求∠0EC的度数； (2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE 的长； (2)如图2，点0在BC下方，E0∥DC,求EC的 长； (3)当∠E0F=150时，求EMF的长， (3)若点O在∠ABC内部（角的边为射线，不 含边界)，直接写出α的取值范围. 图1 图2 图1 图2 155 5.(2024河北25题12分)已知⊙0的半径为3，弦MW=25.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC= 3√2.在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与，点N重合，点A在⊙0上，点C在⊙O 内)，随后移动△ABC,使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动.设BN=x. (1)当点B与点N重合时，求劣弧AN的长 (2)当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值. (3)设点O到BC的距离为d. ①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值， M N(B) 0 0. 图1 图2 备用图 156 类型3动圆问题(2019.25,2016.25) 7.如图1和图2，在□ABCD中，AB=3,BC=15, 6.如图，半圆0的直径AB=4,以长为2的弦PQ tan∠DAB= 3P为AB延长线上一点，连接CP, 为直径，向点O方向作半圆M,其中点P在AQ 过点A作⊙O与CP相切，切点为P,设BP=. 上且不与点A重合，但点Q可与点B重合. (1)如图1，x为何值时，圆心0落在AP上？ 发现：AP的长与QB的长之和为定值1，求1； 若此时⊙O交AD于点E,连接PE,直接指出 思考：点M与AB的最大距离为 ,此时 PE与BC的位置关系； 点P,A间的距离为 (2)当x=4时，如图2，连接AC,⊙0与AC交 点M与AB的最小距离为 ,此时半圆 于点Q,求∠CAP的度数，并通过计算比较弦 M的弧与AB所围成的封闭图形面积 AP与劣弧PQ长度的大小： 为 (3)当⊙0与线段AD只有一个公共点时，直 探究：当半圆M与AB相切时，求AP的长， 接写出x的取值范围， (结果保留m.参考数据：c0s35=6 ,C0s550= D B O B A B 图1 图2 备用图 备用图 157 类型4旋转问题(2017.23) 类型5折叠问题 8.在△OAB中，OA=0B=10.将扇形POP'按图19.(2025秦皇岛模拟)【情境】数学课上，同学们 摆放，使扇形的半径OP,OP'分别与OA,OB重 用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，AB是 合，0P=6. ⊙O的直径，AB=4,沿弦CD折叠，使折叠后的 如图2，若△OAB不动，让扇形POP'绕点0逆 CD与AB相切于点E. 时针旋转一周，连接线段AP,BP',设旋转角 为a. 【发现】CED所在圆的半径长为 【探究】(1)如图2,0'是点0关于弦CD的对 发现：在旋转过程中AP与BP'始终相等，请用 图2说明理由， 称点，连接O0',若切点E为OB的中点，连接 探究：若∠AOB=80°， O'B交⊙O于点M,连接AM,求弦AM的长； (2)若切点E落在线段OB上（包括端点），直 (1)扇形POP'绕到点O的左侧，当OP∥AB 接写出弦CD的最大值和最小值， 时，旋转角α= (2)扇形POP'绕到点O的右侧，当AP与PP 相切时，求BP'的长； (3)若Q是PP'上任意一点，在扇形POP'绕点 图1 图2 0逆时针旋转过程中，当△AOQ的面积最大 时，直接写出∠BOQ的度数. 图 图2 备用图 158