专题12 分式运算中规律与新定义型问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题12 分式运算中规律与新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的混合运算规律探究问题 类型二、分式的混合运算假分数问题 类型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 类型四、分式的混合运算新定义型问题 压轴专练 类型一、分式的混合运算规律探究问题 1.先算前几项，寻找规律：题目通常会让你计算 n=1, n=2, n=3... 时的结果。你先把这几项的结果算出来，写在一起。 2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号 n 之间有什么联系。试着用 n 把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 验证一下。把值代入你总结的公式，看结果是否和直接计算的一样。 例1．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律． （1）根据等式的规律写出第④个等式即可； （2）根据等式的规律写出第n个等式，把等式右边进行运算即可证明； （3）所求的式子变形为，利用发现的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 故答案为：． （2）解：①； ②； ③； ④； …… ∴第n个式子为：． 证明：∵右边左边， ∴成立． （3）解： ． 【变式1-1】（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列各式： 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； … (1)请写出第5个式子：______； (2)根据你总结的规律写出第n个式子，并说明结论的正确性； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)208 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案； （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； ∴第5个等式：； （2）解：由前几个等式的规律得到第n个等式是：； 理由：等号左边等号右边； （3）解： ． 【变式1-2】（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： ；第2个等式：  ； 第3个等式： ；第4个等式：  ； 【规律发现】 （1）第5个等式是 ； （2）猜想第 n个等式是 (用含 n的代数式表示)； 【规律论证】 （3）请证明猜想的第 n个等式． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而完成求解． （1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律、分式混合运算的性质分析，即可得到答案． （3）根据分式的混合运算计算等式左边，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得：第5个等式是： 故答案为：． （2）猜想第 n个等式是． 故答案为：． （3）证明：等式左边 左边=右边， ∴等式成立． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1) ； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ； (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律探究．分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：； （2）解：由题意知，． 故答案为：； （3）解：由题意知，． 类型二、分式的混合运算假分数问题 1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。 例如，(x² + 2x + 3)/(x+1) 可以拆成 (x+1) + 2/(x+1)。 2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。 这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。 3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。 这能帮你快速找到最大值或最小值。 例2．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 【变式2-1】阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；②x，； (2)，或或或 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【详解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是 ，分子的最高次数低于分母的最高次数， ∴分式是真分式； ② ； 故答案为：真；x，； （2）解： ， ∵这个分式的值为整数， ∴或或或， 或或或. 【变式2-2】阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 【答案】(1)假 (2)或 (3) 【知识点】分式的判断、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解； （2）依据题意得，结合题意可得从而求出结果； （3）根据题意化简即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， ∴分式是假分式． 故答案为：假； （2）由题意得：， 分式的值为整数， ． 或； （3）． 类型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 1. 取倒数，化繁为简：如果题目给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。 2. 结合已知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的已知条件联系起来。你可以把已知条件代入，快速求出这个倒数的值。 3. 再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。 例3．（25-26八年级上·山东济宁·月考）【阅读学习】阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由可得，则，即． ∴， ∴． 【类比探究】上题的方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和倒数的运用是解题的关键，根据题意求出的值，再化简，将的值代入，求得的值，最后利用“倒数法”即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东江门·月考）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了_____________公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知， ①求的值； ②求的值． 【答案】 （1）B；（2）①3，② 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）①根据题中给出的例子进行计算即可，②结合①的结论，再根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B； （2）①， ， ，即， ； ②由①知， ， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∴，即， ∴，∴， ∴，∴． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，正确理解题意利用倒数法求解是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由已知可得，进而得到，利用倒数法求出，将，代入可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴即， ∴即， ∵ ， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26七年级上·上海·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以 所以 根据材料解答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值； 【答案】(1)322 (2)11 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值． （1）模仿例题．取倒数，再化简，即可求解，然后根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）先把已知条件变形，得，已知条件取倒数得，根据完全平方公式变形求值得，再代入原式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， 即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型四、分式的混合运算新定义型问题 1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2. 套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。这就像套用一个新的数学公式一样。 3. 结合已有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们已经学过的知识来解决。 例4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“______阶分式”； (2)分式与分式A互为“5阶分式”，求分式． 【答案】(1)6 (2)． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，正确理解题意和熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用同分母分式的加减计算即可求解； （2）根据“5阶分式”的定义，分式与分式A的和为5，建立等式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴分式与互为“6阶分式”； 故答案为：6； （2）解：∵分式与分式A互为“5阶分式”， ∴， 解得． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东汕头·月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【答案】(1)是 (2)分式A为 【分析】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． （1）计算和​，判断是否相等即可． ​​（2）​​​设分式B，由定义，解方程求A即可． 【详解】（1）解：设． ， ， ， 故​是的“友好分式”， 故答案为：​是； （2）分式是分式A的“友好分式”，设分式． 则 移项，得， ， ， ， ， 分式A为​​． 【变式4-2】（25-26九年级上·江苏·期末）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)1 (2)或． 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论即可． 【详解】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴或． 【变式4-3】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）定义：如果两个分式，则称A是B的“美好分式”，如分式，，，，则A是B的“美好分式”． (1)已知分式，，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由： (2)已知分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程对于任意的x值恒成立，求参数的值； (3)已知分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，若，，，求出此时满足条件的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)，， (3) 【分析】题目主要考查分式的加减运算，新定义的理解，含参数的方程，理解新定义是解题关键． （1）根据定义求解判断即可； （2）根据题意得出，确定，再由题意得出，即可求解； （3）根据题意得出，确定，得出，，代入化简确定，得出，，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意得：， ∴C是D的“美好分式”； （2）∵分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”， ∴， ∴， ∵关于x的方程对于任意的x值恒成立， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上，，，； （3）∵分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， 代入得： ， 整理得， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∵为正整数， ∴为3的正约数， ∴或， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴综上，． 一、单选题 1．（2025·广东江门·一模）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】B 【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查分式的加法计算，利用已知等式将每个分式拆项，通过通分求和简化表达式，即可得到答案 【详解】解：∵ = ， = ， ⋯ = ， ∴ 原式 = ， 中间项相互抵消， ∴ 原式 = = ， 通分得： = ， 故选：A． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①由，可判断①； ②把化简得，然后根据为整数，为整数，可判断②； ③由得，然后把变形，可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴ ， ∴的最小值为，故结论①正确； ②∵，， ∴， ∵为整数，为整数， ∴，，，，，，，， ∴，，，，，，，， ∵， ∴，，，，，，共个，故结论②正确； ③∵，，， ∴，即， ∴，即， ∴ ， 故结论③错误． 综上所述，正确结论为①和②，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，完全平方公式，分式的化简求值等知识点，掌握相应的运算法则是解题的关键． 二、填空题 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知，，，，……，，根据规律，请计算______（用含x的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究、分式的混合运算，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．根据题意，先求得、、、、，……，进而得到变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， ， ……， 发现结果以、、为一组循环出现， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 三、解答题 7．（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式，即可作答． （2）结合（1）的结论，易得，再把等式左边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ∴第4个等式； 故答案为：； （2）解：由（1）的规律得第个等式：， 证明如下： 左边 右边， ∴成立． 8．（25-26八年级上·山东济宁·月考）观察下列各式：，，，，，… (1)请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来_______． (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了分式的加减法，分式的规律性问题，弄清题中的拆项法是解题的关键． （）根据给出的式子，写出用x表示的一般规律即可； （）利用找出的一般规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【答案】(1)与互为“平衡分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）解：与互为“平衡分式”．理由如下： ， 与互为“平衡分式”． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字规律探究，分式的运算与通分，掌握裂项相消是解题关键． （1）根据前个等式的规律，直接写出第个等式； （2）先归纳出第个等式的猜想形式，再通过分式通分计算，验证等式左右两边相等． 【详解】（1）解：由题可知，． 答：． （2）解：，证明如下： ， ， ． 11．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且n>m）． (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，解得，代入原式，再根据计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设， ， ∴， 令，则， 令，则， ∴ ， ， 故答案为：． （3）解：由题意，， 解得， 原式 ． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 【答案】(1) (2)，时，整数为1 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）根据同分母分式加法将各分式变形； （2）先根据分式的四则混合运算法则化简，再变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 要使得该式的值为整数， 则， ∴或（为满足分母不为0，故舍）， ∴该式子的值为． 13．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12分式运算中规律与新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的混合运算规律探究问题 类型二、分式的混合运算假分数问题 类型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 类型四、分式的混合运算新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、分式的混合运算规律探究问题 1.先算前几项，寻找规律：题月通常会让你计算n=1,n=2,n=3..时的结果。你先把这几项的结果算 出来，写在一起。 2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号n之间有什么联系 试着用n把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用n=4或n=5验证一下。把值代入你总结的公式，看结 果是否和直接计算的一样。 例1.(24-25七年级下.安徽滁州期末)观察下列等式： ①2=11 1x33 ②、2=11 2×424 ③，2=11 3×5359 (I)根据以上规律写出第④个等式： (②)用含字母n(n为正整数)的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； ③)利用你发现的规律，计算：3+，+， 1 1×32×43×5 【变式1-1】(2025八年级上·全国.专题练习)观察下列各式： 第1个式子：1+1-2 33 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 132 第2个式子：2+ 44 142 第3个式子：3+= 55 ,152 第4个式子：4+ 66 (1)请写出第5个式子： (2)根据你总结的规律写出第n个式子，并说明结论的正确性； (3)利用上述规律计算：199+492_392 200 5040 【变式1-2】(2025·安徽蚌埠一模)【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： :;第2个等式： 第3个等式： 》”：第4个等式： 【规律发现】 (1)第5个等式是_ (2)猜想第n个等式是（用含n的代数式表示）： 【规律论证】 (3)请证明猜想的第n个等式. 【变式1-3】(25-26八年级上全国期中)观察下列各式： 11 11,1 小++京=1+片2吃 11 22+3京1+ 11,1 =12 236 11 V++1+写 34112 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： 11 (②)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的等式： n(n+12 2/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)利用上述规律计算： 501 (仿照上式写出过程). V4964 类型二、分式的混合运算假分数问题 1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。 例如，(x2+2x+3)/(x+1)可以拆成(x+1)+2/(x+1)。 2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。 这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。 3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。 这能帮你快速找到最大值或最小值。 例2.分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式， 例如：分式】，2x是真分式。如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式。例如： x+’2+ 2x-2x+2x-2x_2xx+0_2x=2x-2x+2-2=2x-2+ 2 x+1 x+1 x+1x+1 x+1 x+1 仙米贺分式化为一个整数与一个真分式的和 问诺x是整数，且段分式，的值为正整数，求x的能， B诺假分式4+7-3化为一个整式与一个真分式的和的形式为4+日4，B均为关于x的多项式，若 1 x+2 A=4a-9,B=b-10,求a2+b2+ab的最小值. 【变式2-1】阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为”假分式，例如： x+1 x这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： x+2 t+ 祥的分式就是真分式，我们知道，假分数知以化为市分数，份血子3x2+是2 3 3行·类似的，假 分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： x2+2x-1xx+2)-1 1 =x- x+2 x+2 x+2 x2 (x2+2x)-2xx(x+2)-2x-4+4_xx+2-2(x+2)+4_ =x-2+4 x+2 x+2 x+2 x+2 +2 请根据上述材料，解答下列问题： 1填空：①分式2是 分式（填“真”或“假”）. x+2 ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2-3x+5 + x-3 2把分式+2-13化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为 x-3 整数 【变式2-2】阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”.而假分数都可化为带分数，如： 8-6+2=2+2=22」 33 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母 33 的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” 如：-1，亡这样的分式就是假分式：再如：3,2这样的分式就是真分式。类似的，假分式也可以 x+1'x-1 x+1'x2+11 化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：--x+-2-1-2 x+1x+1 x+1 再如：-1+1_区+x-+-x+1+二 x-1x-1 x-1 x-I 解决下列问题： 1)分式x-1是 (填“真分式”或“假分式”)： x+2 2)如果分式2x+1 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值. x+1 3把分式5+9x-3化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式，体现化简过程. x+2 类型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 1.取倒数，化繁为简：如果题月给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝 试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。 2.结合己知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的己知条件联系起来。你可以把已知条件代 入，快速求出这个倒数的值。 3.再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。 3.2526八年级上山东济宁月考)【阅滨学习】阅读下面的解题过程：已知片子；求一的修 x4+1 解：由可特0，测-3，即x+3 +（八2--27 x2 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x4+17 【类比探究】上题的方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法解决下面的题目： 已知2，求 一的值 x4+5x2+ 【变式3】56八年级上广东江门月考)【阀碳解】已则日求的， x4+1 解：由已知可得x≠0，则-1=2， :-11 1 二=x--=2.① xx +2=22+2=6,② x21 x4+16 (1)第②步x2+1= +2运用了 公式；(A.平方差B.完全平方) 【类比探究】 (2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知。x 1 x2-x+12 ①求x+的值： ②求 x2 的值. x+x2+1 【变式3-2】(25-26八年级上·云南昆明·期末)在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所 谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的. 例：已知x=1, x2十=4求代数式x2+之的值. 解： x 1 x xx xr2+2+ -16,+=16-2=14 根据材料回答以下问题： 5/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0已a-2,求品的值： (2已知a-1=2,求 21a 的值 8-4a6-5a-4a2+1 【变式3-3】(25-26七年级上·上海·月考)在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子， 解答问题. 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用分式的化简，以达到计算月的 例：已：求代数式+之的能。 解因为子所以=4，即兰4，所 xx 12 所以+-2s16-214 根据材料解答问题： 02如方求+的位 1 (2)己知 1 x-x+D3求2x+-3x-1的值： 类型四、分式的混合运算新定义型问题 1.仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种 新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2.套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入 进去。这就像套用一个新的数学公式一样。 3.结合已有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程 中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们己经学过的知识来解决。 例4.(25-26八年级上江苏苏州期中)定义：若两个分式的和为n(为正整数)，则称这两个分式互为“ 阶分式、侧如：子3x31+3,则分式与互为3阶分式”， x+11+x1+x 1+x ①分式，12与，18互为阶分式 3+2x3+2x 包分式与分式4亚为5阶分式，求分式4： 【变式4-1】(25-26八年级上·广东汕头·月考)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积.即A-B=AB, 则称分式是分式4的友好分式、如与 +2’因为 6/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ++2+x+2可中中2+川x+2所以2是的友好分式 1 1 1 11 x+2x+1 ()填空：分式1 +4 —分式43的友好分式，《填是或不是) ②)已知分式x+2是分式A的友好分式”.求分式A的表达式。 3x+2 【变式4-2】(25-26九年级上·江苏期末)定义：若分式A和分式B满足A-B=n(n为正整数)，则称A 是B的n阶差分式”. 例如： 吾品我张后是，的路沈分式 x-1 解答下列问题： 0分式是分式普的 阶差分式”. ②分式A是分式B=2红的2阶差分式.若x取正整数，且4的值为正整数，求x的值. 3-x 【变式4-3】(25-26八年级上湖南长沙月考)定义：如果两个分式A=B+1,则称A是B的“美好分式”， 如分成4日己2 B十1二2+1三2+二二==A,则A是B的“美好分式” x-2 x-2x-2x-2 0已知分式C-骨D3:判需C是否为D的关好分式，并说明型由： ②记知分式E三”(w为常数，F=2,且E是F的"美好分式，若关于x的方程wr+3=:+对》 x+2 任意的x值恒成立，求参数w,t,k的值； (③)已知分式P=,abr mn （a,b为正整数)，分式Q= ab+bx-ax m2+3m-n+x+1 (m,n为正整数)，P是Q的“美好 分式”，若ab 4,b-x a-b =6,=,求出此时满足条件的m值。 a+x7 压轴专练 一、单选题 11 1.（2025广东江门一模)定义：※y=二-.已知x-y=4,※y=2,则y2-x2y=（) x V A.-8 B.8 C.-32 D.32 1 1 2.(25-26八年级上，广西来宾·期中)已知 中中，将x分别用x+1和+2代入中计算后， 1 1 1 1 再根据所得结果规律，计算二+ 拿+xx+切+x+lx+2+…+(x+mjx+n+ 的结果是() 7/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x+2n+2 x+n+2 A. x(x+n+1) B.0 C. x(x+n+1) D.1 3.(24-25八年级下重庆期中)若定义三个函数分别为：G(x)=x2-9x,F(x=2x2-3x-2, T(x)=-2 下列结论：①F(x-Gx)的最小值为-11，②若GT为整数，则满足条件的整数x的 x-3 Fx 个数为7个；③当 x2 T(x ，一。.其中正确的个数是(） =2时，4+7x2+48 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 4.(25-26八年级上山东淄博期中)观察下列等式4=x4,=1-】, 4,=11 一，…，根据其中的 a a a 规律，猜想a2o2s=一（用含x的代数式表示）. 5.(2425八年级上湖南姿底期中)已知y=子为1·为1为，只1-·，儿 1 1 1 1 1 ,根据规律，请计算y=(用含x的式子表示) 6.(25-26八年级上山东泰安期中)定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”.下列 3组分式：①30与a: a-1与a-:®，0与5a+2 at1yat②3a与a+2 2a+1与2a+:其中属于“友好分式组“的有（只填序 号) 三、解答题 7.(2025·安徽淮北一模)观察下列各式的规律 第1个等式： 5+1+1= 2 第2个等式： 1 42 +2+1= 3: 第3个等式： 9+3+1= 4: 00 (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：-· (②)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立. 82525八年数上山东请宁月考：成察下列洛式高方言女片片立女4片行 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11111111 204×545’305×656' … )请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含x(x表示整数)的等式表示出来xx+山 1+1++…+ (2请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）2+。+2 1 1 (n-1 nn(n+1' 9.(25-26八年级下·全国·课后作业)定义：若分式A,B满足A+B=1,则A与B互为“平衡分式”. 2+,Wsy+1 ()若M=x2-1 子+y,判断M与N是否互为平衡分式，并说明理由。 ②)若实数k能使-2与+2x+7互为平衡分式，求实数k的值。 2x+5 2x+5 10.(25-26八年级上·安微合肥期末)观察下列各式： 第1个等式：1+ 1 111.1 第2个等式：2×-2有 111,1 第3个等式： 34=3+4 111.1 第4个等式：-×二=-+二 4545 1111 第5个等式：-×二=- 十 5656 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： ,并证明。 ,56八4领上演南相州月考)现要下列贸式，驾一个试子-店司k4,第二个子 1 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子：-(n为正整数). 1 ②x+mjx+川-（n,m为正整数且mPm). 1 1 (3)若b-2+(a-°=0，试求a+1(b+1+a+26+2+…+(a+20256+2025的值. 12.(25-26八年级上贵州铜仁·月考)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的 形式，则称这个分式为”和谐分式” 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如+1-+2--+2=1+2，-2a+3_a-+2=a-1+2,则和-2a+3都是 x-1x-1x-1x-1x-1’a-1a-1 a-1 x-1 a-1 和谐分式”. )将”和谐分式”+4r-6化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式 x-1 ②)应用：先化简3江+6_-1÷寸-，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少 x+1 x x2+3x 13.(24-25八年级下·福建福州期中)定义1：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互为 “阶分式”. 例：名+开则分式与互为阶分式 x+11+x1+x 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即A+B=AB,那么就称分式A与分式B“互为友好分式”。 例如：分式与分式】，因为 1111 1-x x1-xx1-)x1-)x1-x)’x1-xx1-x)' 所以分式上与分式女互为收好分式 0w式与 15互为 阶分式”. 18,与 2分式+3 互为6阶分式 ⑧游通过计算判断分式与分式2》号是不是互为友好分式口 10/10