精品解析：江西南昌新民外语学校2026届高三适应性考试（一）数学试卷

新民学校2026届高三适应性考试（一） 数学试卷 内容：高考范围 命题人：熊信伟 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过解一元二次不等式得集合，再根据并集的定义可得. 【详解】由，解得，所以. 因为，所以，如图： 所以． 2. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10， 因为，不是整数， 所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7. 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式，结合正弦和余弦的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当角的终边落在第二象限时，取一点， 则， 所以； 当角的终边落在第四象限时，取一点， 则， 所以， 综上所述：. 4. 已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合向量数量积的坐标表示、辅助角公式、三角函数性质即可求解. 【详解】设，所以， 因为，所以， 所以， 所以当时，取得最大值6. 5. 设是定义在上的奇函数，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，则利用周期性和奇函数性质求值. 【详解】由于， 所以是以4为周期的周期函数， 则. 6. 一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出示意图，确定球心的位置，设外接球的半径为，构造关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正六棱锥中，设点为正六边形的中心，连接、， 易知为等边三角形，所以，， 由正棱锥的几何性质可知，外接球球心在直线上， 设外接球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 故该正六棱锥的外接球的表面积为. 7. 已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】由于，故为等比数列，，公比， 故，． 因为，所以，即， 当时，不等式不成立，故有，此时的差恒大于1， 只需，即得，，解得． 因为，所以n的最大值为12． 8. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则, ∴为直角三角形，且． 在中，， 即， ∴， ∴．即该双曲线的离心率为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，，所以，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据导数与单调性的关系判断即可；选项B：根据奇函数的定义判断即可；选项C：根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可；选项D：利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则函数与直线的图象有3个不同的交点，利用导数与极值的关系判断即可. 【详解】已知，则. 选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以. 所以，是增函数，故A正确. 选项B：，， 则，故不是奇函数，故B错误. 选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根. 其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则. 所以，故C正确. 选项D：设切点为，， 所以切线方程为. 又切线过，所以，即. 切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点. . 令，即，解得或. 当时，，当时，， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，极大值为， 所以当时，与有3个交点. 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确. 11. 已知在锐角三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对A根据正弦函数的单调性判断可得；对B根据锐角三角形及A选项分析结果可得；对C由锐角三角形及正切函数的单调性判断可得；对D先B选项分析知，进而可得，再由余弦函数的单调性可得. 【详解】因为锐角三角形中，，， 即， 因为均为锐角，所以，且在上单调递增， 所以，即，故A错误； 对于B，因为，所以，由A选项分析知， 所以，得，又因为为锐角，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 因为在上单调递增，所以， 因为为锐角，所以，所以，故C正确； 对于D，由B选项分析知，所以， 因为，所以，在上单调递减， 所以，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中的系数为，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式即可求解. 【详解】因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为， 所以，即，解得. 13. 如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算即可得. 【详解】由题意得，，，，， 则，，， 因为， 所以. 14. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算. 【详解】，. ，又，. . . . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若是上的点，平分，，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出角； （2）根据角平分线性质和三角形面积公式得到边、的关系，最后利用基本不等式求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得 因为，所以，故， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 因为平分，所以， 所以， ， ， 因为，所以，即， 由，得，解得，当且仅当时，等号成立， 故，即面积的最小值为 16. 如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． （1）求点到平面的距离； （2）点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）法1，取中点，可得二面角的平面角为，进而求得，得解；法2，利用向量法求得平面和平面的法向量，进而求得点的坐标，计算得解. 【小问1详解】 方法－：因为为直径，所以， 由，得，，所以， 所以， 在中，，，所以， 设点到平面的距离为，由，得. 方法二：取弧的中点，连接，则， 以为坐标原点，方向为轴方向如图建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， ，令，得， 则点到平面的距离为. 【小问2详解】 方法一：取中点，连接、，则， 又平面，则，，故面，故， 所以二面角的平面角为，即， 在等边中，，为等腰直角三角形得， 在中，，故所求线面角，. 方法二：设， 设平面的法向量， ，令，得， 底面的法向量，则，得， 即，， 设直线与底面所成角为，则. 17. 已知递增数列满足，. （1）证明：为等差数列，并求. （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）将已知等式整理为关于相邻两项差的方程, 再结合数列递增确定公差, 从而求出通项公式. （2）由（1）得出通项后, 写出所求数列的通项, 再将其裂项, 利用裂项相消求和. 【小问1详解】 由题意, 有. 移项整理, 得. 所以. 因为数列 为递增数列, 所以. 故. 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 从而. 【小问2详解】 由(1)知,所以. 于是. 又因为, 所以. 故. 从而. . 18. 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 【答案】（1）“联网搜索”模式的测评得分最高，理由如下： 设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为， ， 因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高． （2） 0 2 3 0.108 0.648 0.244 【解析】 【分析】（1）根据题中统计表，结合均值的定义进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 “联网搜索”模式的测评得分最高，理由略. 【小问2详解】 三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0,2,3 ， , ， 所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为： 0 2 3 0.108 0.648 0.244 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当或时，1个零点；当或时，2个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）令，原题意转化为与的交点个数，利用导数判断的图象，即可得结果； （3）整理可得恒成立，结合反函数性质可得，整理可得，结合（2）中结论运算求解. 【小问1详解】 当时，则， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 令，可得， 令，则转化为与的交点个数， 因为， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 且，可得： 当或，即或时，与有1个交点； 当，即或时，与有2个交点； 综上所述：当或时，1个零点；当或时，2个零点. 【小问3详解】 因为恒成立，即恒成立， 当时，，因为不恒成立，所以不满足题意； 当时，由得，即恒成立， 等价于恒成立， 因为曲线与关于直线对称，所以， 等价于，可得， 由（2）可得：，则； 综上可得：的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2026届高三适应性考试（一） 数学试卷 内容：高考范围 命题人：熊信伟 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义在上的奇函数，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 11. 已知在锐角三角形中，，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中的系数为，则实数______. 13. 如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 14. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若是上的点，平分，，求面积的最小值. 16. 如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． （1）求点到平面的距离； （2）点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 17. 已知递增数列满足，. （1）证明：为等差数列，并求. （2）记，数列的前项和为，求. 18. 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $