精品解析：江西南昌新民外语学校2025-2026学年第二学期第二次月考高三数学试卷

2025-2026学年第二学期第二次月考高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论参数a，结合集合的描述判断可能对应的集合. 【详解】当时，有，此时； 当时，有，而，此时； 当时，，显然，有， 但，即集合不可能是. 故选：C 2. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在边长为2的正方形中，， 设，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 3. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，将代入导数中可得，从而得到函数解析式，将代入函数解析式可得答案. 【详解】，则， 令得,，解得， 则，将代入上式得. 故选：C 4. 随机变量，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性求解. 【详解】因为随机变量，所以， 因为随机变量，所以， 所以利用正态密度曲线的对称性可得， 所以，故选项A、B错误； ， 又，所以，故C正确；D错误. 故选：C. 5. 在数列 中，，则 （ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，利用累加法结合对数的运算法则求解即可. 【详解】在数列中， 即 , 所以 故选：A. 6. 设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先画的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画的图像，结合函数的图像，即可得到结果. 【详解】 当时，，则． 由得，所以在上单调递减； 由得，所以在上单调递增． 当时，，当时，， 当时，， 当时，取得极小值，． 又当时，，所以函数的大致图象如图． 由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点， 所以实数b的取值范围是， 故选：D． 7. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦型函数的性质与图象的平移变换逐项求解判断即可. 【详解】对于A：因为函数， 所以的最小正周期是，故A错误； 对于B：的图象向右平移后，得到函数的图象， 则，所以为奇函数，故B错误； 对于C：令，则，当时，， 所以的一个对称中心为，故C正确； 对于D：由，解得， 所以不在的单调递减区间内，故D错误. 故选：C 8. 已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把点坐标设为参数形式，再由及三角函数性质得到离心率的范围. 【详解】设，，， ． 化简得，因，所以， 整理得，，所以．即. 故选：B． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则（ ） A. B. 与相互对立 C. 与相互独立 D. 与互斥 【答案】AC 【解析】 【分析】求出可判断A；根据对立事件的定义可判断B；根据独立事件的定义可判断C；根据互斥事件的定义可判断D. 【详解】掷两枚质地均匀的硬币，样本空间为：{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 事件“第一枚正面向上”，即{（正，正），（正，反）} 事件“第二枚反面向上”，即{（正，反），（反，反）}， 则，得，故A正确； 由于事件A和事件B能同时发生，所以与不为互斥事件，也不为对立事件，故B、D错误； 事件“第一枚正面向上且第二枚反面向上”，即{（正，反）}， 则，则，所以与相互独立，故C正确， 故选：AC. 10. 如图1，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形、它们的边长都相等，又称这样的半正多面体为二十四等边体．如图2，现有一个边长为2的二十四等边体、则关于该二十四等边体说法正确的是（ ） A. 该二十四等边体的表面积为 B. 共有8条棱所在直线与直线AB异面，且所成角为 C. 任意两个有公共顶点的三角形所在平面的夹角余弦值均为 D. 该二十四等边题的外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二十四等边体的形成过程可知是由8个边长为2的正三角形和6个边长为2的正方形构成，即可由面积公式求解A，根据等边三角形可得与相交的棱中与其成的条数，即可由二十四等边体的结构特征求解剩余的棱，即可判断B，根据面面角即可由对称求解C，根据正方体的外接球即可判断D. 【详解】由题该二十四等边体是由8个边长为2的正三角形和6个边长为2的正方形构成， 所以表面积，故A正确； 在与相交的6条棱中，与所成的角是的棱有共有4条， 又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与异面且所成的角是的棱共有12条，故B错误； 由图1知，设任一三角形所在平面与正方形的底面所成角为， 取中点为，连接, 由于三角形均为等腰三角形，所以故 ，由于,所以， 由对称性可知任意两个三角形所在平面的夹角均为， ，故C正确； 该二十四等边体的外接球球心即为原正方体的中心，半径为球心到任一顶点的距离， 易得原正方体边长为，所以外接球半径， 所以体积，故D正确． 故选：ACD 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据几何特征求出，再根据以及化简得出数列为等差数列即可求出；B根据A选项以及即可；C根据以及平方和公式即可；D由，结合裂项相消法即可. 【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，则，即，则， 设，则，， 则， 可得，即， 由，可得，故得， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为是等腰直角三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得，故C正确； 对于D，因为，， 当时，， 则，故D正确． 故选：ACD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数的共轭复数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用共轭复数的概念求解. 【详解】解：因为复数， 所以其共轭复数为， 故答案为： 13. 设是正整数，表达式化简的结果是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理化简. 【详解】 故答案为：. 14. 若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】因为，所以， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，已知为的中点． （1）求角； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用以及余弦定理可求，再利用面积公式即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得. 又， 化简得. ，, ,； 【小问2详解】 为的中点，， 可化为， 又在中，， ， 得， 的面积. 16. 某工厂甲、乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了100件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表． 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 50 10 60 乙生产线 25 15 40 合计 75 25 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．随机从该工厂抽取3件产品，记随机变量为这3件产品中检测结果为“合格”的产品数量，求和的期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）与生产线有关联 （2）， 【解析】 【分析】（1）作出零假设，计算卡方并对比临界值即可得出结论； （2）由二项分布的概率公式、对立事件的概率公式以及二项分布的期望公式即可求解. 【小问1详解】 零假设为：产品检测结果与生产线没有关联． 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于0.05． 【小问2详解】 由题可知，随机从该工厂抽取1件产品，该产品检测结果为“合格”的概率． 由题可知，则． 的期望． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点. （1）若点为中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图所示：连接， 点、分别是，的中点， ， 又，且， 四边形是平行四边形， ，， 又平面，且平面， 面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，代入空间向量的线面角公式求出，再求出平面的一个法向量，代入空间向量的二面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 设，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以，解得（负值舍去） 故，则平面的一个法向量是 ，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示； （3）在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴顶点列方程组得出,即可得出椭圆方程； （2）联立方程组，得出韦达定理再把代入求解； （3）设点直曲联立，利用整体法求出中点坐标与的关系，进而得出结论； 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，点在C上， 所以, 所以, 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设过点且斜率为的直线为：,即, 联立方程组, 所以, 因为，，所以, 所以 【小问3详解】 设直线为,过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M， 所以,又因为， 的中点， 于是, 所以，，即． 则有， 又因为， 所以， 于是， 即， 即，即， 即点在直线上． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是整体思想在圆锥曲线的定直线和定点问题中的应用. 19. 已知函数，其中且. （1）当时，证明：； （2）讨论的单调性； （3）求证：对任意的且，都有：. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明； （2）求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性； （3）根据（1）中所求得，结合累加法即可求证结果. 【小问1详解】 当时，，， 要证明，即证，即， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，即， . 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，，，在上单调递减， ，，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）可得，（当且仅当时等号成立）， 令，，则， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次月考高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则不论实数取何值，集合不可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在数列 中，，则 （ ） A. 5 B. C. 4 D. 6. 设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 对于函数，下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递减 8. 已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则（ ） A. B. 与相互对立 C. 与相互独立 D. 与互斥 10. 如图1，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形、它们的边长都相等，又称这样的半正多面体为二十四等边体．如图2，现有一个边长为2的二十四等边体、则关于该二十四等边体说法正确的是（ ） A. 该二十四等边体的表面积为 B. 共有8条棱所在直线与直线AB异面，且所成角为 C. 任意两个有公共顶点的三角形所在平面的夹角余弦值均为 D. 该二十四等边题的外接球的体积为 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数的共轭复数为_______. 13. 设是正整数，表达式化简的结果是______ 14. 若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，已知为的中点． （1）求角； （2）若，求的面积． 16. 某工厂甲、乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了100件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表． 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 50 10 60 乙生产线 25 15 40 合计 75 25 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．随机从该工厂抽取3件产品，记随机变量为这3件产品中检测结果为“合格”的产品数量，求和的期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点. （1）若点为中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上. （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆C于，两点，试用含的代数式表示； （3）在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，证明：线段PM的中点在定直线上. 19. 已知函数，其中且. （1）当时，证明：； （2）讨论的单调性； （3）求证：对任意的且，都有：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $