精品解析：江西南昌新民外语学校2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷

新民学校2025—2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 考试范围：全部 考试时间：120分钟 出题人：熊信伟 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 二项式的展开式中，含项系数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，与的夹角为，则（ ）． A. 7 B. 1 C. D. 4. 已知等比数列首项为，且构成递增的等差数列，则数列的前项和（    ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆相交于两点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 一组互不相等数据从小到大排列为，去掉后，则下列选项正确的有（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 中位数变小 D. 分位数变大 10. 已知定义在上的函数满足且，若时，，则下列选项正确的有（ ） A. 满足 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有的零点之和为2 11. 如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 存在P满足 C. 若，则三棱锥体积的最小值为 D. 若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 三、填空题 12. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_____________. 13. 某种食品的袋装质量服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间的约有_____袋．（质量单位：） 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 14. 设函数，则使得成立的的取值范围是______． 四、解答题 15. 中，为锐角，角所对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为3，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知数列满足，（，）. （1）求证：是等比数列，并求； （2）设，数列的前项和，证明. 18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 次数 年龄 每周次 每周次 每周次及以上 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低，不低于次的称为体育锻炼频率高，请完成以下列联表，并判断在犯错误概率不超过的前提下，能否认为体育锻炼频率的高低与年龄有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中年龄在与的人数分别为、，记，求的分布列与期望． 参考公式：，． 附： 19. 已知 （1）讨论的单调性 （2）对于恒成立；求的取值范围 （3）设，为函数的两个零点；证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2025—2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 考试范围：全部 考试时间：120分钟 出题人：熊信伟 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】集合或，又， 所以. 故选：A 2. 二项式的展开式中，含项系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求项的系数． 【详解】由于二项式， 则其通项， 令，则， 则， 所以含项系数为. 故选：B 3. 已知平面向量满足，与的夹角为，则（ ）． A. 7 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 4. 已知等比数列的首项为，且构成递增的等差数列，则数列的前项和（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等差中项计算出等比数列的公比，再用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为. 由题可得，代入得， 化简得，解得或； 因为等差数列递增， 所以当时，，不满足递增，舍去； 当时，，符合题意，故. 因此. 故选： 5. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线过的定点，当时，最小，再利用勾股定理计算. 【详解】直线可化为， 当时，，所以直线恒过定点， 当时，圆心到直线的距离最大，此时最小， 又圆，则，， 则， 故的最小值为. 故选：A 6. 某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 7. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于的关系式，再验证，即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式恒成立，转化成求新函数最小值大于，即可求解. 【详解】令， 则，， 故可知在上，在上， 在上 又不等式恒成立， . 故选：B 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，导数与最值的关系，考查理解辨析能力与运算求解能力. 二、多选题 9. 一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列选项正确的有（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 中位数变小 D. 分位数变大 【答案】BD 【解析】 【分析】分别计算去掉前后的数据的极差，平均数，中位数及分位数并比较可得. 【详解】由题意，去掉后，极差为，极差变小，故A错误； 平均数，所以平均数变大，故B正确； 原数据和新数据的中位数分别为，且，故中位数变大，故C错误； 原数据的分位数：，取第5个数，新数据的分位数：， 取第4、5个数的平均，因为，所以，故分位数变大，故D正确. 和新数据 故选：BD． 10. 已知定义在上的函数满足且，若时，，则下列选项正确的有（ ） A. 满足 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有的零点之和为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用已知条件结合函数奇偶性即可推出选项A，利用函数周期性与对称性分析即可得出选项B，利用已知条件结合函数的周期性和对数运算性质即可得出选项C，令函数，问题转化为函数图象交点问题，结合函数对称性、单调性、奇偶性分析得出即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以， 又定义在上的函数满足， 即，所以函数为奇函数， 所以， 所以，故A选项正确； 由，所以函数的周期为， 所以， 即， 所以的图象关于对称，故B选项正确； 由函数的周期为，， 当时，函数， 所以 ，故C选项正确； 当时，函数单调递增且值域为， 因为， 所以函数的图象关于对称， 所以函数在上单调递减且值域为， 又因为函数是奇函数， 所以函数在上的图象关于对称且值域为， 令函数， 则函数与函数在区间上有两个不同交点， 且两个交点的横坐标关于对称， 所以， 即函数在区间上所有的零点之和为，故D选项不正确； 故选：ABC. 11. 如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 存在P满足 C. 若，则三棱锥体积的最小值为 D. 若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造面面平行，分析点的轨迹，求轨迹的长度，判断A的真假；根据三角形两边之和大于第三边，可求的最小值判断B的真假；建立空间直角坐标系，明确点的轨迹，利用空间向量求点到平面的距离，判断C的真假；确定三棱锥的外接球球心的位置，进一步计算其半径，求面积可判断D的真假. 【详解】对A：如图： 取中点，中点，连接，，，， 因为E，F分别是棱，的中点， 所以在正方形中， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面. 因为平面，所以点轨迹为线段，且.故A正确. 对B：如图： 因为，且，，所以不存在满足，故B错误； 对C：如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为，所以. 因为，，， 设. 则，，. 设平面的法向量为， 由， 令，可得. 所以点到平面的距离为：. 因为，所以，所以. ， 在等腰中，底边上的高长为， 所以三棱锥体积的最小值为，故C正确. 对D：如图： 连接，取其中点，连接. 因为是棱的中点，则. 所以外接圆圆心. 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心一定在该垂线上. 连接，设，则， 连接，，所以， 所以，解得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为：，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长、复数除法公式、复数的虚部的概念即可得结论. 【详解】由可得：， 故复数z的虚部为. 故答案为：. 13. 某种食品的袋装质量服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间的约有_____袋．（质量单位：） 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】8186 【解析】 【分析】先结合正态分布的性质求，再求即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 由. 故答案为：8186 14. 设函数，则使得成立的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数奇偶性与单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ∵， ∴函数为偶函数， 当时，， 又，均在上单调递增，所以在上单调递增， 根据偶函数性质可知不等式，等价于， 即，解得， ∴的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 中，为锐角，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为3，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到，再利用同角三角函数的基本关系求解即可. （2）利用三角形面积公式建立方程求出，再利用余弦定理得到即可. 【小问1详解】 由正弦定理得． 则由两角和的正弦公式得． 因为，所以， 则．由于，解得， 又为锐角，故（负根舍去）． 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入， 得，解得． 再由余弦定理， 代入， 得，故解得（负根舍去）． 16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，，，且，点为的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，进而得到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离公式求解即可. （3）求出相关平面的法向量，利用向量法求二面角公式求解即可. 【小问1详解】 连接，交于，连接. 因为中，为对角线交点，所以为的中点， 又是中点，所以， 又平面，所以平面， 所以平面. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理得， 则，所以. 又底面，，平面，所以，. 所以以为原点，以,,所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面法向量为，则， 即，令，则，，所以． 所以点到平面的距离． 【小问3详解】 由（2）得，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 所以平面与平面所成锐二面角余弦值为 ． 17. 已知数列满足，（，）. （1）求证：是等比数列，并求； （2）设，数列的前项和，证明. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将变形为，进而利用等比数列的定义证明，然后利用等比数列通项公式求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为时，，又， 所以（）， 即数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以, 所以 , 所以. 18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查．统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 次数 年龄 每周次 每周次 每周次及以上 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过次的称为体育锻炼频率低，不低于次的称为体育锻炼频率高，请完成以下列联表，并判断在犯错误概率不超过的前提下，能否认为体育锻炼频率的高低与年龄有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼次及以上样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中年龄在与的人数分别为、，记，求的分布列与期望． 参考公式：，． 附： 【答案】（1）列联表见解析，有关，理由见解析 （2）分布列答案见解析， 【解析】 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 零假设体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题意得如下列联表： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 由表格中的数据可知，四个年龄段的人比为， 利用分层抽样的方法抽取的人中，年龄分别在、的人数为、， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，， ， 所以随机变量分布列如下表所示： 所以. 19. 已知 （1）讨论的单调性 （2）对于恒成立；求的取值范围 （3）设，为函数的两个零点；证明． 【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间； （2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围； （3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明. 【小问1详解】 定义域，； 当时，的解为，则在上为单调递增函数； ，的解为，的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 综上可知，当时，在上为单调递增函数； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，， 不满足，故不成立； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 则当时，取最大值为，令，解得， 故对于恒成立的的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0， 的最大值为， 令，解得， 则存在两零点，可得， 设，为函数的两个零点，则，， 解得①，②， ①减去②得到， 解得，要证明，只需证明， 设， ， 则在上是单调递增函数，故， 设，，，， ，， ，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $