2026年广东省广州市中考数学临门一脚冲刺卷2

2026年广州市中考数学临门一脚冲刺卷2 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）给出下列各数：﹣2026，，，3.14，，其中无理数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（3分）如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a3•a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3 C．（a≥b≥0） D．2（a≥0） 4．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的是（　　） ①若a+c＝b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为x＝﹣1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若b＝2a+3c，则方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 5．（3分）要反映某市2025年各月降水量的变化情况，最合适的统计图是（　　） A．频数分布直方图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．扇形统计图 6．（3分）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m+1最小值为6，则实数m的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 7．（3分）一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积v（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（　　） A．函数解析式为 B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 8．（3分）菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（　　） A． B．4 C．5 D．6 9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动．若EF＝1，则GE+CF的最小值为（　　） A．4 B．5 C．4 D． 10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+1（a，b为常数且a≠0），已知2a2+b＝0，A（x1，y1）和B（3a，y2）是抛物线上的两点，对于2≤x1≤3都有y1＜y2，则a的取值范围是（　　） A．a＞1或a＜﹣3 B．a＞1或﹣2＜a＜0 C．a＜﹣3或0＜a＜2 D．a＜0或 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，直线AB与CD相交于点E，∠BEC＝125°，EF⊥AB，则∠CEF的度数为　 　 ． 12．（3分）如图，△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，已知△ABC的面积为1，OB＝BE，则△DEF的面积为　4　 ． 13．（3分）　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，OC平分∠ACB，OD⊥BC于点D，BD＝CD，点F在CD上，连接OF，∠COF＝∠BCE＝45°，延长DO交AC于E，AE＝2DF，下列结论中：（1）∠DEC＝2∠DOF；（2）CE＝2CF；（3）tan∠A；（4）若DF＝2，则OC＝6．以上结论正确的序号 　 　 ． 15．（3分）如果抛物线y＝a（x+m）2+k（其中a、m、k是常数，且a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），那么抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是 　 　 ． 16．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C、D在半圆O上，将沿弦CD翻折，翻折后的弧恰好与AB相切于点P，M为CD的中点，若AP＝2，△PBM的面积为28，则CD＝　2　 ． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 18．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD． 19．（6分）先化简，再求值：，再从﹣2，﹣1，0，1，2中取一个数代入求值其中． 20．（6分）教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为　 　 ，图①中m的值为　 　 ，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为　 　 和　 　 ； （2）求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求△AOB的面积； 22．（10分）端午节是中国的传统节日之一，端午节主要有包粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进的甲种粽子比乙种粽子多20袋．甲种粽子的每袋价格是乙种粽子每袋价格的1.2倍． （1）求甲、乙两种粽子每袋的价格； （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共120袋．若总金额不超过1300元，最多购进多少袋甲种粽子？ 23．（10分）如图1，在▱ABCD中，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD，CE． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）如图2，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在AD的中点F处，延长CF交BA的延长线于点H，CF交BD于点G．写出CH，FG，GB之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将△CBE沿直线BC翻折，点E落在AD上F处，若FD＝2FA，AD＝12，DC＝6，求△DFC的面积． 24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，OB＝OC＝3，顶点为D． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图2，过点E（3，2）作一条直线交抛物线于P，Q两点（点Q在点P的左边），连接AP，AQ，分别交y轴于M，N两点，当点Q与顶点D重合时，求△APQ的面积； （3）在（2）小题条件下，设Q的横坐标为q，当点Q在抛物线上运动且满足0＜q＜2.5时，试判断OM•ON的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 25．（12分）【问题情境】：已知在四边形ABCD中，∠D＝90°，AC是对角线．且AB＝AC． 【数学思考】：（1）如图1，当AD＝CD＝2，∠ACB＝45°时，AB＝　 　 ；∠DAB＝　 　 °； 【探究实践】：（2）如图2，当AD＜CD时，将△ADC绕点A顺时针旋转至AC与AB重合，得到△AEB，D的对应点为E，连接DE并延长交BC于点F． ①试说明△ABC∽△ADE； ②求证：BF＝CF； 【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若，求DF的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广州市中考数学临门一脚冲刺卷2 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）给出下列各数：﹣2026，，，3.14，，其中无理数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据无理数，算术平方根，立方根的定义逐个判断即可． 【解答】解：3， ﹣2026，，，3.14，中无理数有：，共2个． 故选：C． 2．（3分）如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三视图轮廓的孔形样板就是某一个塞子的三种视图，根据三种视图的知识判断则可． 【解答】解：选项B的左视图、主视图、俯视图恰好对应木板上的三个孔洞． 故选：B． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a3•a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3 C．（a≥b≥0） D．2（a≥0） 【答案】D 【分析】利用二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a3•a5＝a8，则A不符合题意， （﹣2ab）3＝﹣8a3b3，则B不符合题意， 与不一定是同类二次根式，无法合并，则C不符合题意， 2（a≥0），则D符合题意， 故选：D． 4．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的是（　　） ①若a+c＝b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为x＝﹣1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若b＝2a+3c，则方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用方程根的定义，一元二次方程根的判别式与根个数的关系，逐个判断每个说法的正误，即可得到正确结论． 【解答】解：若a+c＝b，即a﹣b+c＝0， 将x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0左边得： a（﹣1）2+b（﹣1）+c＝a﹣b+c＝0， ∴x＝﹣1满足方程，即方程有一根为x＝﹣1， ∴①正确，符合题意； ∵若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝02﹣4ac＝﹣4ac＞0， 对于方程ax2+bx+c＝0，其判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵b2≥0，﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2+（﹣4ac）＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根， ∴②正确，符合题意； 将x＝c代入方程得ac2+bc+c＝0， 提取公因式得c（ac+b+1）＝0， 当c＝0时等式成立，但ac+b+1＝b+1不一定等于0， ∴③错误，不符合题意； 若b＝2a+3c， 方程ax2+bx+c＝0根的判别式为： Δ＝b2﹣4ac ＝（2a+3c）2﹣4ac ＝4a2+12ac+9c2﹣4ac ＝4a2+8ac+9c2 ＝（2a+2c）2+5c2， ∵a≠0，若c＝0，则（2a+2c）2＝4a2＞0，Δ＞0； 若c≠0，则（2a+2c）2≥0，5c2＞0，Δ＞0， ∴Δ恒大于0，方程必有两个不相等的实数根， ∴④正确，符合题意； 故选：B． 5．（3分）要反映某市2025年各月降水量的变化情况，最合适的统计图是（　　） A．频数分布直方图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．扇形统计图 【答案】B 【分析】根据各类统计图的特点，判断能反映数据变化情况的统计图类型． 【解答】解：要反映某市2025年各月降水量的变化情况，最合适的统计图是折线统计图． 故选：B． 6．（3分）当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m+1最小值为6，则实数m的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【分析】一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小．分两种情况讨论：m+1＞0或m+1＜0，得到关于m的方程，即可求解． 【解答】解：当m+1＞0（m＞﹣1）时，此一次函数y的值随自变量x值的增大而增大， ∴当x＝2时，此一次函数有最小值， ∴2（m+1）+m+1＝6， ∴m＝1，满足m＞﹣1； 当m+1＜0（m＜﹣1）时，此一次函数y的值随自变量x值的增大而减小， ∴当x＝5时，此一次函数有最小值， ∴5（m+1）+m+1＝6， ∴m＝0，不满足m＜﹣1， 综上所述，m＝1． 故选：B． 7．（3分）一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积v（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（　　） A．函数解析式为 B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出p与V的函数解析式，再结合反比例函数性质逐一判断选项即可． 【解答】解：设， 将V＝4，p＝100代入得 ，解得k＝400， ∴函数解析式为； 当V＝5时，千帕， ∵k＝400＞0，且体积V＞0， ∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小； 当p＝200时，，解得V＝2； 综上，只有选项C错误． 故选：C． 8．（3分）菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（　　） A． B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接菱形的对角线，利用菱形对角线垂直的性质，结合三角形中位线定理证明中点四边形EFGH是矩形，再根据菱形的面积公式推出EF•EH的值即可得到答案． 【解答】解：连接AC、BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC， ∴EH∥FG，EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴四边形EFGH是矩形， ∵S菱形ABCD， ∴EF•EH＝5， ∴S四边形EFGH＝5． 故选：C． 9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动．若EF＝1，则GE+CF的最小值为（　　） A．4 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出． 解法二：设AE＝x，则BF＝4﹣x，根据勾股定理可得：EG+CF，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论． 【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小， ∵CH＝EF＝1，CH∥EF， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH＝CF， ∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF， ∵AB＝5，BC＝AD＝2，G为边AD的中点， ∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝5﹣1＝4， 由勾股定理得：HG'5， 即GE+CF的最小值为5． 解法二：∵AGAD＝1， 设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝5﹣x﹣1＝4﹣x， 由勾股定理得：EG+CF， 如图，矩形EFGH中，EH＝4，GH＝2，GQ＝1 P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝4﹣x， ∴EP+PQ， 当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是5， 即EG+CF的最小值是5． 故选：B． 10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+1（a，b为常数且a≠0），已知2a2+b＝0，A（x1，y1）和B（3a，y2）是抛物线上的两点，对于2≤x1≤3都有y1＜y2，则a的取值范围是（　　） A．a＞1或a＜﹣3 B．a＞1或﹣2＜a＜0 C．a＜﹣3或0＜a＜2 D．a＜0或 【答案】B 【分析】由已知2a2+b＝0，可得对称轴为直线x＝a，进而分类讨论，开口向上和开口向下，利用点与对称轴的距离列出不等式即可得解． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+1（a，b为常数且a≠0），已知2a2+b＝0， ∴y＝ax2﹣2a2x+1， 对称轴是直线x＝a， 当a＜0，开口向上， ∵A（x1，y1）和B（3a，y2）是抛物线上的两点，且2≤x1≤3都有y1＜y2， ①当a＞0时，点B离对称轴的距离比点A远，∴|3a﹣a|＞|3﹣a| 2a＞|3﹣a|，当3﹣a＞0时，2a＞3﹣a，解得a＞1，当3﹣a＜0时，2a＞a﹣3，解得a＞﹣3， ∴a＞1②当a＜0时，点B离对称轴的距离比点A近， |3a﹣a|＜|2﹣a|﹣2a＜2﹣a， a＞﹣2， 解得﹣2＜a＜0．综合得到：a＞1或﹣2＜a＜0．故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，直线AB与CD相交于点E，∠BEC＝125°，EF⊥AB，则∠CEF的度数为　 　 ． 【答案】145°． 【分析】先由邻补角的定义求出∠AEC＝55°，再根据垂线的定义得到∠AEF＝90°，由∠CEF＝∠AEF+∠AEC即可求解． 【解答】解：由邻补角的定义可知∠AEC＝55°， ∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝90°， ∴∠CEF＝∠AEF+∠AEC＝145°． 故答案为：145°． 12．（3分）如图，△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，已知△ABC的面积为1，OB＝BE，则△DEF的面积为　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，证明△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出AB：DE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【解答】解：∵OB＝BE， ∴OB：OE＝1：2， ∵△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△AOB∽△DOE， ∴AB：DE＝OB：OE＝1：2， ∴S△ABC：S△DEF＝1：4， ∵△ABC的面积为1， ∴△DEF的面积为4， 故答案为：4． 13．（3分）　 　 ． 【答案】0． 【分析】根据分式的加减运算法则计算即可． 【解答】解：根据分式的加减运算法则可得： 原式． 故答案为：0． 14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，OC平分∠ACB，OD⊥BC于点D，BD＝CD，点F在CD上，连接OF，∠COF＝∠BCE＝45°，延长DO交AC于E，AE＝2DF，下列结论中：（1）∠DEC＝2∠DOF；（2）CE＝2CF；（3）tan∠A；（4）若DF＝2，则OC＝6．以上结论正确的序号 　（1）（2）　 ． 【答案】（1）（2）． 【分析】根据角平分线性质、线段垂直平分线性质、等腰三角形性质及解直角三角形逐项分析判断即可． 【解答】解：（1）设∠OCD＝α，则∠DCE＝2α， ∴∠DEC＝90°﹣2α＝2（45°﹣α）， ∵∠COF＝45°， ∴∠OFD＝45°+α， ∴∠DOF＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α， ∴∠DEC＝2∠DOF，故（1）正确； （2）∵AC＝BC， ∴AE+EC＝BD+CD， ∵AE＝2DF，BD＝CD， ∴2DF+EC＝2CD， ∴EC＝2CD﹣2DF＝2（CD﹣DF）＝2CF，即CE＝2CF， 故（2）正确； （3）连接BE，由三线合一可得△BCE为等腰三角形，∠ECB＝∠EBC＝45°， ∴∠BEC＝90°，BE＝EC， ∴∠BEA＝90°， ∴tanA， 设EC＝a，则CDa，BCa，ACa，AE＝AC﹣EC＝（1）a， ∴tanA.故（3）错误； （4）∵△BCE为等腰三角形，∠ECB＝∠EBC＝45°， ∴∠BEC＝90°， ∵sin∠EBC， ∴BCEC， ∵AE＝2DF且DF＝2， ∴AE＝4， ∵AC＝BC， ∴AE+EC＝BC即4+EC， ∴EC＝4（1）， ∴DC＝2（2）， ∴CF＝DC﹣DF＝2（2）﹣2＝2（1）．故（4）错误． 正确的序号为（1）（2）． 故答案为：（1）（2）． 15．（3分）如果抛物线y＝a（x+m）2+k（其中a、m、k是常数，且a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），那么抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是 　 　 ． 【答案】（0，0），（4，0）． 【分析】先利用抛物线的变换规律得到抛物线y＝a（x+m）2+k先右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k，然后把点A、B向右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x+m）2+k先右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k， 而抛物线y＝a（x+m）2+k与x轴的交点坐标为A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是（0，0），（4，0）． 故答案为：（0，0），（4，0）． 也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 16．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C、D在半圆O上，将沿弦CD翻折，翻折后的弧恰好与AB相切于点P，M为CD的中点，若AP＝2，△PBM的面积为28，则CD＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据轴对称的性质求出点O的对称点O′，也就是的圆心，然后由MH是△OPO′的中位线得出O′P＝2MH，再由△PBM的面积求出MH与⊙O半径R的数量关系，进而通过方程求出半径R的值，最后由垂径定理在Rt△CMO′中求出CM即可得到答案． 【解答】解：如图，MH⊥PB，连接O′C，作点O关于CD的对称点O′，则在以O′为圆心，AO为半径的圆上． 设⊙O的半径为R，则AO＝BO＝PO′＝R，PB＝AB﹣AP＝2R﹣2． ∵S△PBMMH•PB＝MH•（R﹣1）＝28， ∴MH． 根据切线的性质，O′P⊥AB，则MH∥O′P，故MH是△OPO′的中位线， ∴O′P＝2MH，即R，解得R＝8． ∴OP＝AO﹣AP＝6， 在Rt△OPO′中，OO′10． ∴O′M5． 根据垂径定理，O′M⊥CD，则在Rt△CMO′中，CM． ∴CD＝2CM＝2． 故答案为：2． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【解答】解：（1）原式 ＝9； （2）解不等式①得，x＞3， 解不等式②得，x≤7， 所以不等式组的解集为3＜x≤7． 18．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD． 【分析】先证明∠A＝∠BCD，∠EFA＝∠BDC＝90°，根据AAS即可证明△AEF≌△CBD． 【解答】证明：在Rt△ABC中，∠B+∠A＝90°． ∵DC⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°． ∴∠A＝∠BCD． ∵EF⊥AB， ∴∠EFA＝∠BDC＝90°． ∵AE＝CB， ∴△AEF≌△CBD（AAS）． 19．（6分）先化简，再求值：，再从﹣2，﹣1，0，1，2中取一个数代入求值其中． 【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【解答】解：原式 ＝﹣a﹣1， 由题意：a+1≠0、a+2≠0、a﹣2≠0， 故a取1，当a＝1时， 原式＝﹣a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2． 20．（6分）教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为　 　 ，图①中m的值为　 　 ，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为　 　 和　 　 ； （2）求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 【分析】（1）观察条形统计图①，将各组人数相加得被调查学生总数 a；读扇形统计图②，“7次“对应扇形的百分比即为 m的值；众数是出现次数最多的数据，对应条形图中人数最多的劳动次数；中位数是将50个数据从小到大排列后，第25、26个数据的平均数； （2）用加权平均数公式：以每组数据的组中值为代表，乘以对应人数，求和后除以总人数； （3）用样本估计总体的思想：先求样本中劳动7次的人数占比，再用该比例乘以全校学生总数1000． 【解答】解：（1）由题意可知，a＝8+17+18+7＝50， ∴，即m＝16， ∵每月参与家庭劳动次数中人数最多的是7次， ∴众数是7， ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据分别为6，7， ∴中位数是． 故答案为：50，16，7，6.5； （2）根据加权平均数公式可得： ， ∴被调查学生参加家庭劳动次数的平均数是6.48； （3）1000×36%＝360（人）， 答：估计该校学生每月家庭劳动次数是7次的人数为360人． 21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求△AOB的面积； 【分析】（1）先将点B（2，﹣4）代入反比例函数解析式求出系数m，得到反比例函数；再将点B的横坐标代入反比例函数求出其纵坐标n；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出k和b． （2）将△AOB的面积拆分为：S△AOB＝S△AOC+S△BOC，根据坐标求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知m＝2×（﹣4）＝﹣8， 反比例函数解析式为， ∵A（﹣4，n）在反比例函数图象上， ∴，即A（﹣4，2）， 将A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝kx+b， ，解得， 一次函数解析式为y＝﹣x﹣2； （2）设直线AB与x轴交于点C， 令y＝0，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2， 点C（﹣2，0）， ． 22．（10分）端午节是中国的传统节日之一，端午节主要有包粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进的甲种粽子比乙种粽子多20袋．甲种粽子的每袋价格是乙种粽子每袋价格的1.2倍． （1）求甲、乙两种粽子每袋的价格； （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共120袋．若总金额不超过1300元，最多购进多少袋甲种粽子？ 【分析】（1）设乙种粽子每袋的价格是x元，则甲种粽子每袋的价格是1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合购进的甲种粽子比乙种粽子多20袋，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即乙种粽子每袋的价格），再将其代入1.2x中，即可求出甲种粽子每袋的价格； （2）设购进y袋甲种粽子，则购进（120﹣y）袋乙种粽子，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1300元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙种粽子每袋的价格是x元，则甲种粽子每袋的价格是1.2x元， 根据题意得：20， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝1.2×10＝12（元）． 答：甲种粽子每袋的价格是12元，乙种粽子每袋的价格是10元； （2）设购进y袋甲种粽子，则购进（120﹣y）袋乙种粽子， 根据题意得：12y+10（120﹣y）≤1300， 解得：y≤50， ∴y的最大值为50． 答：最多购进50袋甲种粽子． 23．（10分）如图1，在▱ABCD中，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD，CE． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）如图2，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在AD的中点F处，延长CF交BA的延长线于点H，CF交BD于点G．写出CH，FG，GB之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将△CBE沿直线BC翻折，点E落在AD上F处，若FD＝2FA，AD＝12，DC＝6，求△DFC的面积． 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据平行四边形性质可得△DFC≌△AFH（AAS），进而得到CH＝2CF，再根据四边形BECD是平行四边形，和翻折性质可得GB＝CG，即可求解 （3）BD与CF相交于点N，BC与EF相交于点O，分别求得AF＝4，DF＝8，AE＝12，BO＝2，CO＝10，利用勾股定理求得OE＝4，CE＝2，从而得到CF＝2；作DM⊥CF于点M，设FM＝a，则CM＝2a，利用勾股定理求得a值，进一步解得DM，最后利用三角形的面积计算公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵延长AB至点E，BE＝AB， ∴BE∥CD，BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形； （2）解：FG+GBCH， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CDF＝∠HAF， ∵F是线段AD的中点， ∴AF＝DF， ∵∠DFC＝∠AFH， ∴△DFC≌△AFH（AAS）， ∴CH＝2CF， 由翻折性质可得：∠ECB＝∠FCB， 由（1）得：四边形BECD是平行四边形， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴∠DBC＝∠FCB， ∴GB＝CG， ∴FG+CGCH， 即FG+GBCH； （3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是平行四边形， BD与CF相交于点N，BC与EF相交于点O，如图， ∴BC∥AD， ∵AD＝12，FD＝2FA， ∴AF＝4，DF＝8， ∵AB＝BE，DC＝AB＝BE＝6， ∴AE＝12， ∴BO＝2，CO＝10， 将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在线段AD上的点F处， ∴BC⊥EF， ∴OE4， ∴CE2， ∴CF＝2， 作DM⊥CF于点M， 设FM＝a，则CM＝2a， ∵DM2＝DF2﹣FM2＝CD2﹣CM2， ∴82﹣a2＝62﹣（2a）2， 解得：a， ∴DM， ∴△DFC的面积CF•DM216． 24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，OB＝OC＝3，顶点为D． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图2，过点E（3，2）作一条直线交抛物线于P，Q两点（点Q在点P的左边），连接AP，AQ，分别交y轴于M，N两点，当点Q与顶点D重合时，求△APQ的面积； （3）在（2）小题条件下，设Q的横坐标为q，当点Q在抛物线上运动且满足0＜q＜2.5时，试判断OM•ON的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据已知线段长度确定抛物线上关键点坐标，用待定系数法求解析式，再通过配方法求出顶点坐标； （2）先求出抛物线与x轴交点坐标，由点Q与顶点重合得到直线解析式，联立直线与抛物线方程求出点P坐标，再用割补法计算△APQ的面积； （3）设点Q横坐标为q，利用直线过定点E，联立方程并结合韦达定理得到P、Q横坐标的数量关系即x1+x2＝p+q＝k+2，x1x2＝pq＝3k﹣5，再结合，，最后代入化简判断OM・ON是否为定值（化简过程涉及因式分解）． 【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，且抛物线与y轴负半轴交于点C，与x轴交于B点， ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 将B（3，0），C（0，﹣3），代入抛物线y＝x2+bx+c： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3， 将解析式配方为顶点式：y＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点D的坐标为（1，﹣4）； （2）令y＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∵点A在点B左侧， ∴A（﹣1，0）， ∵D（1，﹣4），E（3，2），且点Q与顶点D重合，即Q（1，﹣4）， 设直线QE的解析式为y＝kx+m， 代入Q、E可得， 解得：k＝3，m＝﹣7， ∴直线QE解析式为y＝3 x﹣7； 联立y＝3 x﹣7与y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝3x﹣7， 整理得：x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1（即点D），x2＝4， 将x＝4代入直线方程，得y＝3×4﹣7＝5，即P（4，5）， 设QP交x于点F，作QH⊥x轴，PG⊥x轴分别交于点H，G， 联立y＝3 x﹣7与y＝0，可得3x﹣7＝0，解得，即， ∴，QH＝4，PG＝5， ∴； （3）OM•ON的值为定值2，理由如下： 由题意设点Q（q，q2﹣2q﹣3），P（p，p2﹣2p﹣3），0＜q＜2.5， ∵直线PQ过E（3，2），设直线PQ解析式为y＝k（x﹣3）+2， 联立y＝k（x﹣3）+2与y＝x2﹣2x﹣3，可得： x2﹣2x﹣3＝k（x﹣3）+2，整理得：x2﹣（k+2）x+3k﹣5＝0， ∵直线PQ与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于P，Q， ∴由根与系数的关系可得：x1+x2＝p+q＝k+2，x1x2＝pq＝3k﹣5， 由（2）图可得，， 结合点Q（q，q2﹣2q﹣3），P（p，p2﹣2p﹣3），0＜q＜2.5， 可得P恒在x上方，Q恒在x下方， 可得，， ∴， 代入p+q＝k+2，pq＝3k﹣5， ∴OM•ON＝3（k+2）﹣（3k﹣5）﹣9＝2． 25．（12分）【问题情境】：已知在四边形ABCD中，∠D＝90°，AC是对角线．且AB＝AC． 【数学思考】：（1）如图1，当AD＝CD＝2，∠ACB＝45°时，AB＝　 　 ；∠DAB＝　 　 °； 【探究实践】：（2）如图2，当AD＜CD时，将△ADC绕点A顺时针旋转至AC与AB重合，得到△AEB，D的对应点为E，连接DE并延长交BC于点F． ①试说明△ABC∽△ADE； ②求证：BF＝CF； 【拓展应用】：（3）在（2）的条件下，如图3，若，求DF的长． 【分析】（1）根据勾股定理可得利用等边对等角和三角形内角和定理求出∠DAC，∠ABC的度数，进而求出∠BAC的度数即可得到答案； （2）①根据旋转的性质可得到AD＝AE，AC＝AB，∠DAE＝∠CAB，据此可证明结论； ②在DF上截取DG＝EF，连接CG．证明△DCG≌△EBF（SAS），得到∠DGC＝∠BFE，CG＝BF．证明∠CGF＝∠CFG，得到CF＝CG，则可证明BF＝CF； （3）连接AF，过点A作AH⊥DF于点H．由勾股定理得，由相似三角形的性质可求出，由三线合一定理和勾股定理求出AH、AF的长，再求出HF的长即可得到答案． 【解答】（1）解：∵∠D＝90°，AD＝CD＝2， ∴，∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴AB＝AC； ∵∠ACB＝45°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°， ∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°； 故答案为：2，135°； （2）证明：①由旋转得AD＝AE，AC＝AB，∠DAE＝∠CAB， ∴， ∴△ABC∽△ADE； ②如图，在DF上截取DG＝EF，连接CG． 由旋转得∠ADC＝∠AEB＝90°，AE＝AD，DC＝BE． ∴∠ADE＝∠AED． ∵∠ADE+∠CDF＝90°，∠AED+∠BEF＝90°， ∴∠CDF＝∠BEF， ∴△DCG≌△EBF（SAS）， ∴∠DGC＝∠BFE，CG＝BF． ∵∠CGF＝180°﹣∠DGC，∠CFG＝180°﹣∠BFE， ∴∠CGF＝∠CFG， ∴CF＝CG， ∴BF＝CF． （3）解：如图所示，连接AF，过点A作AH⊥DF于点H． ∵，， ∴． 由（2）可知，△ABC∽△ADE， ∴，即， ∴， ∵AD＝AE，AH⊥DF， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴AF⊥BC， ∴AF， 在Rt△AFH中，由勾股定理得FH， ∴DF＝DH+HF． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $