2026年广东省广州市中考数学临门一脚冲刺卷1

2026年广州市中考数学临门一脚冲刺卷1 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）实数﹣2，，1010010001，，，，﹣π中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（3分）《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则方程必有根（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．（3分）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（　　） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 6．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），函数值y随自变量x的增大而增大，且k+b＜0，则函数y＝kx+b的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 7．（3分）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔棒上的O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，他记录了拉力的大小F与l的变化情况，如图2所示，下列说法错误的是（　　） A．拉力的大小F与l符合反比例函数关系 B．当OA的长l减小时，拉力F在增大 C．当OA的长从1.5m增加到3m时，所施加的拉力减小了100N D．OA的长每增大1m，所施加的拉力就减小150N 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．10 9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的动点，则AP+BP的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．11 10.（3分）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，直尺和带直角的三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘l1∥l2，带直角三角板ABC中30°角的顶点A在l1上，直角顶点B在l2上，三角板与直尺边缘形成的∠1＝24°，则∠2的度数是　 　 ． 12．（3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是 　 　 cm． 13．（3分）对于分式，当x＝﹣1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0，则的值为　 　 ． 14．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，，A（﹣4，3），则点G坐标为 　 　 ． 15．（3分）分式方程的解为非负数，且二次函数y＝x2+3x﹣k的图象在x轴上方，则符合条件的所有整数k的和为 　 　 ． 16．（3分）如图，在圆O中，AB为直径，CD与圆O相切于点C，点D在AB的延长线上，点E为弧AB的中点，连接CE，交AB于点F，点G为EF中点，连接AG，CD＝4，则DF＝　 　 ，若tan∠BEC，则AG＝　 　 ． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）计算及解不等式组 （1）计算：． （2）解不等式组，并把不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 18．（4分）如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数； （2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED． 19．（6分）先化简，再求值：（1）其中x1． 20．（6分）雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”．活动结束后对本次活动的捐款金额抽取了样本进行统计，制作了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求这次调查共抽取的学生人数，并补全条形统计图； （2）求10元捐款所在扇形圆心角的度数； （3）若该校共有3600名学生，请估计该校这次活动中捐款金额为20元的学生人数． 21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，4），B（n，1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式时x的取值范围． 22．（10分）列方程解下列应用题： 马年春节前一周，某商场共卖出“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件共1000件，总销售额为8000元．已知“马上有福”挂件的销售价为每件10元，“马踏飞燕”挂件的销售价为每件6元． （1）求马年春节前一周售出的“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件各多少件？ （2）马年春节放假期间，人们购买马年挂件的热情高涨，该商场上调了两种挂件的销售单价，且每件“马上有福”挂件比每件“马踏飞燕”挂件多上调了2元．春节放假结束，该商场统计发现：春节放假期间，“马上有福”挂件的销售额比春节前一周销售额的2倍少400元，“马踏飞燕”挂件的销售额比春节前一周的销售额多4200元，且“马上有福”挂件的销售量是“马踏飞燕”挂件销售量的80%．求“马踏飞燕”挂件每件涨了多少元？ 23．（10分）在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，若∠ABC+∠ACB＝4∠BAC，D在AC上，BD＝AD，求∠BDC的度数； （2）如图2，点F是△ABC外一点，连接AF、BF、CF，若∠AFB＝∠ACB＝60°，求证：BF＝AF+CF； （3）如图3，H为BC上一点，点F是△ABC外一点，连接AH、AF、BF、CF，BF与AC、AH分别交于点G、I，若∠AFB＝∠ACB＝30°，点G为AC中点，AH∥CF，AI＝1，请直接写出BG的长． 24．（12分）问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示．外形参数：如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决：如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （2）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时矩形EFGH的面积． 25．（12分）如图，已知在△ABC中，点D是边AC上的一点． （1）当∠ABC＝90°时． ①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD2＝AD•CD； ②如图2，AD＝AE，点F在边BC上，且CF＝CD，顺次联结DE、EF、FD．如果EF＝DF，tan∠EFB，求tanC的值． （2）如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD＝∠ACB，点G在线段DB延长线上，且BG＝BC，联结CG，取CG中点H，分别延长HB、CA交于点O，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广州市中考数学临门一脚冲刺卷1 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）实数﹣2，，1010010001，，，，﹣π中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据无理数就是无限不循环小数解答即可． 【解答】解：﹣2，1010010001，，，都是有理数， 无理数有：，，﹣π共3个， 故选：B． 2．（3分）《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【解答】解：根据题意得：这个几何体的俯视图是 故选：B． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、2，原计算错误，不符合题意； C、2318，原计算错误，不符合题意； D、4，正确，符合题意． 故选：D． 4．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则方程必有根（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解得定义进行判断． 【解答】解：把x＝﹣2代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得4a﹣2b+c＝0， 所以方程必有一根为x＝﹣2． 故选：A． 5．（3分）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（　　） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 权【答案】D 【分析】根据总人数为50人，求出样本中70.5～80.5这一分数段的频数，根据频率＝频数除以总数即可求解． 【解答】解：样本中70.5～80.5这一分数段的频数是：50﹣3﹣12﹣9﹣6＝20， 则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是：0.4． 故选：D． 6．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），函数值y随自变量x的增大而增大，且k+b＜0，则函数y＝kx+b的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】先根据一次函数的性质得到k＞0，再利用k+b＜0得到b＜0，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断． 【解答】解：∵对于一次函数y＝kx+b（k≠0），函数值y随自变量x的增大而增大， ∴k＞0， ∵k+b＜0， ∴b＜0， ∴函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 7．（3分）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔棒上的O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，他记录了拉力的大小F与l的变化情况，如图2所示，下列说法错误的是（　　） A．拉力的大小F与l符合反比例函数关系 B．当OA的长l减小时，拉力F在增大 C．当OA的长从1.5m增加到3m时，所施加的拉力减小了100N D．OA的长每增大1m，所施加的拉力就减小150N 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：由函数图象可知，拉力的大小F与L符合反比例函数关系，故A正确； ∵拉力的大小F与L符合反比例函数关系， ∴当OA的长l减小时，拉力F在增大，故B正确； ∵FL＝300， ∴当L＝1.5时，F200；当L＝3时，F100， ∴200﹣100＝100， ∴所施加的拉力减小了100N，故C正确； 当L＝1时，F300；当L＝2时，F150，当L＝3时，F100， ∴300﹣150＝150，150﹣100＝50≠150， ∴当OA的长每增大1m，所施加的拉力不是减小150N，故D错误． 故选：D． 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5．若∠BAD＝120°，则AC的长是（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质知AB＝BC，再由∠BAD＝120°求出∠ABC＝60°，得△ABC是等边三角形，即可求出AC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝5． 故选：B． 9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的动点，则AP+BP的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．11 【答案】B 【分析】连接CP，由题意得PB＝PC，推出AP+BP＝AP+PC≥AC，即可求解． 【解答】解：在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的动点，如图，连接CP， ∴PB＝PC， ∴AP+BP＝AP+PC≥AC， ∴AP+BP的最小值是6， 故选：B． （3分）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解． 【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣1， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4）， 代入y＝ax2+bx+c（a≠0） 得， ∴， ∴①②正确， ∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧， ∴2， ∴2， ∴﹣1＜a＜0，④正确， ∵a+c＝0， ∴0＜c＜1，c＝﹣a， 当x时，y＝ax2+bx+cab+ca+2﹣a＝2a， ∵﹣1＜a＜0， ∴a＞0， ∴ab+c＝2a＞0，③错误． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，直尺和带直角的三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘l1∥l2，带直角三角板ABC中30°角的顶点A在l1上，直角顶点B在l2上，三角板与直尺边缘形成的∠1＝24°，则∠2的度数是　 　 ． 【答案】36°． 【分析】由两直线平行，内错角相等可得∠3＝54°，再利用平角求解即可． 【解答】解：如图， ∵l1∥l2，∠1＝24°，∠BAC＝30°， ∴∠3＝∠1+∠BAC＝54°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABC＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠3＝36°， 故答案为：36°． 12．（3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是 　 　 cm． 【答案】 【分析】由△ABO∽△CDO，得出，代入数据即可求解． 【解答】解：如图，由题意可知，OF＝10cm，OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD，OF⊥AB，OE⊥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴， 解得AB， 即蜡烛火焰的高度是cm， 故答案为：． 13．（3分）对于分式，当x＝﹣1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0，则的值为　 　 ． 【答案】． 【分析】分式无意义时，分母3x+b＝0；分式的值等于零时，分子2x﹣a＝0，所以把x的值分别代入以上两个等式，即可求得a、b的值． 【解答】解：根据题意可知，﹣3+b＝0， 解得：b＝3； 又∵当x＝4时，分式的值为0， ∴2×4﹣a＝0， 解得：a＝8， 则． 故答案为：． 14．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，，A（﹣4，3），则点G坐标为 　 　 ． 【答案】（10，﹣3）． 【分析】过点A作AH⊥y轴于点H，过点B作BK⊥AH，交HA的延长线于点K，过点G作GT⊥x轴于点T，在Rt△AHO中，由勾股定理求出OA＝5得sin∠HOA，解Rt△AOB得AB＝10，证明∠BAK＝∠HOA得sin∠BAK＝sin∠HOA，解Rt△ABK得BK＝8，AK＝6，由平移的性质得△ABO先向下平移3个单位，再向右平移6个单位就得到△EFG，由此得OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，GT＝OH＝3，GE＝OA＝5，然后在Rt△GTE中，由勾股定理求出ET＝4得OT＝OE+ET＝10，据此可得点G的坐标． 【解答】解：过点A作AH⊥y轴于点H，过点B作BK⊥AH，交HA的延长线于点K，过点G作GT⊥x轴于点T，如图所示： ∴∠AHO＝∠K＝∠GTE＝90°， ∴△AHO，△ABK和△GTE都是直角三角形， ∵点A（﹣4，3）， ∴AH＝4，OH＝3， 在Rt△AHO中，由勾股定理得：OA5， ∴sin∠HOA， 在△AOB中，∠OAB＝90°， ∴tan∠ABO， ∴AB＝2OA＝10， 在Rt△AHO中，∠HAO+∠HOA＝90°， 又∵∠HAO+∠BAK＝180°﹣∠OAB＝90°， ∴∠BAK＝∠HOA， ∴sin∠BAK＝sin∠HOA， 在Rt△ABK中，sin∠BAK， ∴BKAB8， 由勾股定理得：AK6， 由平移的性质得：△ABO先向下平移3个单位，再向右平移6个单位就得到△EFG， ∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，GT＝OH＝3，GE＝OA＝5， 在Rt△GTE中，由勾股定理得：ET4， ∴OT＝OE+ET＝10， ∴点G的坐标为（10，﹣3）． 故答案为：（10，﹣3）． 15．（3分）分式方程的解为非负数，且二次函数y＝x2+3x﹣k的图象在x轴上方，则符合条件的所有整数k的和为 　 　 ． 【答案】﹣14． 【分析】根据题意，可以求得k的取值范围，从而可以得到所有整数k的和，本题得以解决． 【解答】解：由分式方程，可得，x， ∵分式方程的解为非负数， ∴0且1， 解得，k≥﹣6且k≠﹣4， ∵二次函数y＝x2+3x﹣k的图象在x轴上方， ∴32﹣4×1×（﹣k）＜0， 解得，k， 由上可得，﹣6≤k且k≠﹣4， ∴k的整数值是﹣6，﹣5，﹣3， ∴所有整数k的和为﹣6+（﹣5）+（﹣3）＝﹣14， 故答案为：﹣14． 16．（3分）如图，在圆O中，AB为直径，CD与圆O相切于点C，点D在AB的延长线上，点E为弧AB的中点，连接CE，交AB于点F，点G为EF中点，连接AG，CD＝4，则DF＝　 　 ，若tan∠BEC，则AG＝　 　 ． 【答案】4；． 【分析】连接OC，OE，BC，过点C作CH⊥AB于H，过点A作AK⊥EF于K，利用切线性质和垂径定理推出∠DFC＝∠DCF，根据等角对等边即可求得DF，再利用圆周角定理可得∠BCH＝∠BAC＝∠BEC，则tan∠BCH＝tan∠BAC＝tan∠BEC，设BH＝2x，则CH＝5x，再证得△EFO∽△CFH，利用相似三角形性质及三角函数定义即可求得答案． 【解答】解：如图，连接OC，OE，BC，过点C作CH⊥AB于H，过点A作AK⊥EF于K， ∵CD与圆O相切于点C， ∴∠OCE+∠DCF＝90°， ∵点E为弧AB的中点， ∴OE⊥AB， ∴∠OEC+∠OFE＝90°， ∵OC＝OE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵∠OFE＝∠DFC， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝CD＝4， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵， ∴∠BAC＝∠BEC， ∴tan∠BAC＝tan∠BEC， ∵∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠BAC＝90°， ∴∠BCH＝∠BAC， ∴tan∠BCH， 设BH＝2x，则CH＝5x， ∵tan∠BAC， ∴AHCHx， ∴AB＝AH+BHx， ∴OA＝OB＝OC＝OEx， ∴OH＝OB﹣BHx， ∵OE⊥AB，CH⊥AB， ∴OE∥CH， ∴△EFO∽△CFH， ∴， ∴OFOHx，FH＝OH﹣OFx， ∴OD＝OF+DFx+4， ∵tan∠COD， ∴CH•OC＝CD•OH， 即5xx＝4x， 解得：x， ∴OF，OA＝OE， ∴EF， ∵点G为EF中点， ∴FGEF， ∵sin∠AFE， ∴AK， ∵tan∠AFE， ∴FK•AK， ∴GK＝FK﹣FG， ∴AG， 故答案为：4；． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）计算及解不等式组 （1）计算：． （2）解不等式组，并把不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【分析】（1）根据求解； （2）根据解不等式组的基本步骤求解即可． 【解答】解：（1）原式 ． （2） 解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x≤2． ∴原不等式组的解集为x≤2， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 18．（4分）如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数； （2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED． 【分析】（1）在△AOD和△BOE中，利用三角形内角和定理可得∠1＝∠AEB，从而得到答案； （2）先证明ED＝EC，∠AEC＝∠BED，再利用AAS可证得△AEC≌△BED． 【解答】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D在AC边上，AE和BD相交于点O， ∴∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2，∠2＝40°， ∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°； （2）证明：∵∠EDC＝∠C， ∴EC＝ED， 由（1）知∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED， 即∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 19．（6分）先化简，再求值：（1）其中x1． 【答案】；． 【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入计算． 【解答】解：（1） • ， 当x1时， 原式 ． 20．（6分）雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”．活动结束后对本次活动的捐款金额抽取了样本进行统计，制作了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求这次调查共抽取的学生人数，并补全条形统计图； （2）求10元捐款所在扇形圆心角的度数； （3）若该校共有3600名学生，请估计该校这次活动中捐款金额为20元的学生人数． 【分析】（1）结合扇形统计图中30元的百分比与条形统计图中30元的人数求出总人数，再计算15元的人数以补全统计图； （2）利用扇形圆心角公式，即该组人数占总人数的比例乘以360°计算； （3）通过样本中20元捐款的比例乘以全校总人数来估计总体数量． 【解答】解：（1）由题意得，30元捐款的人数为8人，占总人数的16%， ∴总人数＝8÷16%＝50（人）． ∴15元捐款的人数＝50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12（人）， 补全条形统计图如下示： （2）∵10元捐款的人数为16人，总人数为50人， ∴10元捐款的圆心角； （3）估计该校3600名学生中捐款20元的人数为人， 答：估计该校这次活动中捐款金额为20元的学生人数为720人． 21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，4），B（n，1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式时x的取值范围． 【答案】（1），； （2）0＜x＜2或x＞8． 【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）由条件可得m＝8， 所以反比例函数的表达式为． 将B（n，1）代入，得n＝8， 所以B（8，1）． 由条件可得， 解得， 所以一次函数的表达式为； （2）∵， ∴， ∴由函数图象可知，x的取值范围为0＜x＜2或x＞8． 22．（10分）列方程解下列应用题： 马年春节前一周，某商场共卖出“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件共1000件，总销售额为8000元．已知“马上有福”挂件的销售价为每件10元，“马踏飞燕”挂件的销售价为每件6元． （1）求马年春节前一周售出的“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件各多少件？ （2）马年春节放假期间，人们购买马年挂件的热情高涨，该商场上调了两种挂件的销售单价，且每件“马上有福”挂件比每件“马踏飞燕”挂件多上调了2元．春节放假结束，该商场统计发现：春节放假期间，“马上有福”挂件的销售额比春节前一周销售额的2倍少400元，“马踏飞燕”挂件的销售额比春节前一周的销售额多4200元，且“马上有福”挂件的销售量是“马踏飞燕”挂件销售量的80%．求“马踏飞燕”挂件每件涨了多少元？ 【分析】（1）设马年春节前一周售出“马上有福”挂件x件，则“马踏飞燕”挂件（1000﹣x）件，根据题意列一元一次方程，求出x的值即可得答案； （2）设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价m元，则“马上有福”挂件每件涨价（m+2）元，根据题意列分式方程，求出m的值即可得答案． 【解答】解：（1）设马年春节前一周售出“马上有福”挂件x件，则“马踏飞燕”挂件（1000﹣x）件， ∵两种挂件共1000件，总销售额为8000元，销售价分别为每件10元和每件6元， ∴根据题意列一元一次方程得，10x+6（1000﹣x）＝8000， 解得x＝500， ∴1000﹣x＝1000﹣500＝500． 答：马年春节前一周售出“马上有福”挂件500件，“马踏飞燕”挂件500件； （2）设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价m元，则“马上有福”挂件每件涨价（m+2）元， ∵春节前一周“马上有福”挂件销售额为10×500＝5000元，“马踏飞燕”挂件销售额为6×500＝3000元， ∴根据题意列分式方程得，， 解得m＝3． 经检验，m＝3是原方程的解．且符合题意． 答：春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价3元． 23．（10分）在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，若∠ABC+∠ACB＝4∠BAC，D在AC上，BD＝AD，求∠BDC的度数； （2）如图2，点F是△ABC外一点，连接AF、BF、CF，若∠AFB＝∠ACB＝60°，求证：BF＝AF+CF； （3）如图3，H为BC上一点，点F是△ABC外一点，连接AH、AF、BF、CF，BF与AC、AH分别交于点G、I，若∠AFB＝∠ACB＝30°，点G为AC中点，AH∥CF，AI＝1，请直接写出BG的长． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠BAC＝36°，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）在FB上截取FE＝FA，连接AE，证明△ABC、△AEF都是等边三角形，通过角度转换得到∠BAE＝∠CAF，即可证明△ABE≌△ACF（SAS），即可解答； （3）在BF上取一点E，连接AE，使得AE＝AF，则∠AEF＝∠AFB＝30°，证明△AGI≌△CGF，得CF＝AI＝1，同（2）原理可得△ABE≌△ACF，BE＝CF＝1，再通过角度计算得到∠EAI＝90°，∠AEF＝∠HAF＝30°，可得EI＝2AI＝2，再通过线段的和即可解答． 【解答】（1）解：∵∠ABC+∠ACB＝4∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴4∠BAC+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝36°， ∵BD＝AD， ∴∠BAC＝∠ABD＝36°， ∴∠BDC＝∠BAC+∠ABD＝72°； （2）证明：如图，在FB上截取FE＝FA，连接AE， ∵∠AFB＝∠BCA＝60°，AB＝AC， ∴△ABC、△AEF都是等边三角形， ∴∠BAC＝∠EAF＝60°，AE＝AF， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF， ∴BF＝BE+EF＝AF+CF； （3）解：在BF上取一点E，连接AE，使得AE＝AF， 则∠AEF＝∠AFB＝30°， ∵点G为AC中点， ∴IG＝FG， ∵AH∥CF， ∴∠ACF＝∠CAH， ∵∠AGI＝∠CGF， ∴△AGI≌△CGF（AAS）， ∴CF＝AI＝1， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF＝1，∠ABE＝∠ACF＝∠CAH． ∴∠AEF＝∠BAE+∠ABE＝∠CAF+∠ACF＝∠CAF+∠CAH＝∠HAF＝30°， ∴∠EAI＝∠EAF﹣∠HAF＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△EAI中，∠AEI＝30°， ∴EI＝2AI＝2， ∵∠AFB＝∠HAF＝30°， ∴FI＝AI＝1． ∴． ∴BG＝BE+EI+IG＝1+2． 24．（12分）问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示．外形参数：如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决：如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （2）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时矩形EFGH的面积． 【答案】（1）则抛物线L1的表达式为yx2+4x+6；抛物线L2的表达式为yx2﹣2x； （2）矩形EFGH的面积＝4×15＝60． 【分析】（1）判断出抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4），分别设抛物线L1和L2的表达式为y＝a1（x﹣4）2+14，y＝a2（x﹣4）2﹣4，利用待定系数法求出a1，a2即可； （2）设xE＝xH＝n，主要yHn2+4n+6，yEn2﹣2n，可得EH＝yH﹣yE6n+6＝15，解方程求出n，可得结论． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边BC＝6cm，AB＝8cm， ∴CD∥AB，BC∥AD，CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm， ∴D（0，6），B（8，0），C（8，6）， ∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线L2于N，交抛物线L1于M，交矩形ABCD于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，∠DNP＝∠APN＝90°，AP＝BPAB＝4， ∴四边形DAPN是矩形； ∴NP＝AD＝6， ∵直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，抛物线L1的高度为8cm，抛物线L2的高度为4cm， ∴QP＝4cm，MP＝MN+NP＝8+6＝14（cm）， ∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4）； 分别设抛物线L1和L2的表达式为y＝a1（x﹣4）2+14，y＝a2（x﹣4）2﹣4， 将D（0，6）代入y＝a1（x﹣4）2+14， 解得a1， 则抛物线L1的表达式为y（x﹣4）2+14x2+4x+6； 将A（0，0）代入y＝a2（x﹣4）2﹣4 解得a2． 则抛物线L2的表达式为y（x﹣4）2﹣4x2﹣2x； （2）∵装置整体图案为轴对称图形， ∴EF⊥MG，HG⊥MG， ∵MQ⊥x轴， ∴EF∥HG∥x轴， ∵EFGH是矩形， ∴HE⊥EF， ∴HE⊥x轴， ∴xE＝xH， 设xE＝xH＝n， ∵yHn2+4n+6，yEn2﹣2n， ∴EH＝yH﹣yE6n+6＝15， 解得：n＝2或6（在对称轴右侧，舍）， ∴xE＝2， 由抛物线对称性可得EF＝2（x对称轴﹣xE）＝4， ∴矩形EFGH的面积＝4×15＝60． 25．（12分）如图，已知在△ABC中，点D是边AC上的一点． （1）当∠ABC＝90°时． ①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD2＝AD•CD； ②如图2，AD＝AE，点F在边BC上，且CF＝CD，顺次联结DE、EF、FD．如果EF＝DF，tan∠EFB，求tanC的值． （2）如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD＝∠ACB，点G在线段DB延长线上，且BG＝BC，联结CG，取CG中点H，分别延长HB、CA交于点O，求的值． 【分析】（1）①易证△ABD∽△BCD，，即可得证； ②设EF＝1，则BF＝2，先证△DEF为等腰直角三角形，再构造三垂直全等：过D作DM⊥BC于点M，易证△BEF≌△MFD（AAS），FM＝BE＝1，BF＝DM＝2，再设CM＝x，在Rt△CDM中，利用勾股定理求解即可； （2）易证△ABD∽△ACB，可得，设S△BOD＝S，则S△BOGS＝S△BOC，则S△BCD＝S△BOC﹣S△BOD＝（）S，S△CBGS△CBD＝（2）S，再求S△BCHS，即可得解． 【解答】（1）①证明：∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠BCD＝90°﹣∠CBD， ∴△ABD∽△BCD， ∴， ∴BD2＝AD•CD； ②解：∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝90°， ∵CF＝CD， ∴∠CDF＝∠CFD＝90∠C， ∴∠EDF＝180°﹣∠ADE﹣∠CDF（∠A+∠C）＝45°， ∵DE＝DF， ∴∠EDF＝∠DEF＝45°， ∴∠EFD＝90°， ∵tan∠EFB， ∴， 设EF＝1，则BF＝2， 如图，过D作DM⊥BC于点M， 则∠B＝∠EFD＝∠DMF＝90°， ∴∠EFB＝∠FDM＝90°﹣∠DFM， ∵EF＝DF， ∴△BEF≌△MFD（AAS）， ∴FM＝BE＝1，BF＝DM＝2， 设CM＝x，则CD＝CF＝1+x， 在Rt△CDM中，CM2+DM2＝CD2， 即x2+4＝（x+1）2， 解得x，即CM， ∴tanC； （2）设AD＝a，则AC＝2a， ∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAD， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴AB2＝AD•AC＝2a， ∴ABa， ∵BG＝BC， ∴， 如图，连接CG， 则， 设S△BOD＝S，则S△BOGS， ∵BG＝BC，H为CG中点， ∴OH垂直平分CG， ∴S△BOC＝S△BOGS， ∴S△BCD＝S△BOC﹣S△BOD＝（）S， ∵， ∴S△CBGS△CBD＝（2）S， ∵H为CG中点， ∴S△BCHS， ∴S△COH＝S△BOC+S△BCH， ∴2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $