小升初探索规律题 （专项训练） 2025-2026学年人教版数学六年级下册

小升初探索规律题 （专项训练） 2025-2026学年人教版数学六年级下册 一、选择题 1．观察这个数列，探索其规律：﹣，，﹣，，﹣，，…第2025个数是（    ）。 A． B．﹣ C． D．﹣ 2．观察下边算式的规律，14285.7×42的正确得数应是（    ）。 14285.7×7＝99999.9 14285.7×14＝199999.8 14285.7×21＝299999.7 …… A．399999.6 B．499999.5 C．599999.4 D．699999.3 3． 共 产 党 好 共 产 党 好 共 产 党 好 共 产 党 …… 社 会 主 义 好 社 会 主 义 好 社 会 主 义 好 …… 上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共，社），第二组为（产，会），那么，第100组是（    ），第2022组是（    ）。 A．（共，社） B．（好，好） C．（产，会） D．（好，义） E．（共，义） 4．航航参观兵马俑坑时，兵马俑整齐威严的排列阵势深深震撼到了他。他根据兵马俑的排列方式，取其中的一部分，用“•”表示1个兵马俑，则第六个点阵中有（    ）个兵马俑。 A．28 B．21 C．36 D．45 5．用相同的圆画图，依据前三幅图的规律，想一想图4的阴影部分在哪？面积是（    ）个圆的面积。 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 6．科学老师用四张航拍剧照展示了无人机变化队形的过程（每个点代表一架无人机）。若按前四张的规律继续变化，第八张剧照应该有（    ）架无人机。 A．27 B．28 C．29 D．30 二、填空题 7．按照19，9，17，8，15，7，□，△，11，5…这一规律推算出口－△＝( )。 8．观察规律：7，14，21，28，35…，第99个数是（ ），“819”是这列的第（ ）个数。 9．根据规律填空。 (1)观察如图宝塔算式的特点，65×65＝4225＝( )×( )×( )＋( )。 15×15＝225＝1×2×100＋25 25×25＝625＝2×3×100＋25 35×35＝1225＝3×4×100＋25 (2)7080，7060，7040，( )，( )，6980，( )。 10．观察：0.3，0.36，0.42，0.48，…，按这个规律，第6个数是( )。 11．下面一组数有相同的规律，则x＝( )，y＝( )。                   12．在一次数学活动中，小乐发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积的计算有规律。例如：53×57＝3021；38×32＝1216；84×86＝7224；71×79＝5609。请利用上述算式中的规律计算：63×67＝( )。 13．请你观察下面几组算式。 24÷3÷2＝24÷（3×2） 100÷5÷4＝100÷（5×4） 560÷7÷8＝560÷（7×8） (1)根据你的观察，再写出一组这样的算式：（ ）。 (2)规律：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以后两个数的( )，它们的结果不变。 (3)请你用字母A、B、C表示算式中的三个数，尝试表达这个规律：（ ）。 14．( )。 15．找规律，写算式。 (1)先观察前两个等式找出规律，再根据规律在（    ）里填上合适的分数，最后写出一个等式。         ( )( ) 照样子写一个等式：( )； (2)我发现：( )（m，n均不为0）。 16．先观察下面每个图形中小长方形个数与所列算式之间的关系，再填一填。 (1)2＋4＋6＋8＋10＝( )×( )。 (2)2＋4＋6＋8＋10＋…＋( )＝10×11。 (3)我的发现：从( )起，n个( )相加，和等于( )。 三、解答题 17．“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。 …… (1)请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。 (2)请你试着写出第7行“倍尔数”吧。 18．按照下图数字排列规则，若用数对（m，n）表示第m行从左往右数第n个数字，例如（3，2）表示的数字是2.2。 （1）数对（5，4）表示的数字是（    ）； （2）数对（6，3）表示的数字是多少？并写出理由。 （3）请你根据图中数字的排列规律，求出第7行所有数字的和。 19．探索规律。 (1)找规律填空。 ，，( )，( )，…… (2)此数列一直填下去，会无限接近（    ）。 A．0 B．1 C．100 20．探究题。 梯形的面积公式不仅能帮助我们解决几何问题，还能巧妙地应用于其他计算中。例如，在计算2＋3＋4＋5＋6时，我们可以将其想象成求一堆圆木的根数，进而转化为梯形面积来求解（如下左图所示）。那么，在计算2＋4＋6＋8＋10＋12时，你能想象出它对应的是怎样的梯形吗？ (1)请在下图右边的方格纸中绘制出这个梯形（每个小正方形的边长代表1dm），并标明其上底、下底和高。 (2)尝试运用梯形面积公式来计算2＋4＋6＋8＋10＋12的结果。 (3)这种方法不仅适用于整数计算，某些小数算式也能如此转化。请你用上述方法计算以下算式：0.3＋0.5＋0.7＋…＋1.7。 21．二十四节气是中华民族文明和智慧的结晶，关乎衣、食、农、事，依气候而作，随岁月流转。2026年2月4日是第一个节气“立春”，这一天是星期三，请你推算一下，该年的“清明”（4月5日）那天是星期几？ 22．阅读下面的材料，回答问题。 生活中很多现象有周期规律，例如图形的循环排列、循环小数的数字重复。解决周期规律问题，关键是找到循环周期，再用“总数÷周期长度”计算余数，余数对应周期内的位置。 例如：图形按“〇△□〇△□……”排列，循环周期是3（〇、△、□）。要找第10个图形，计算10÷3＝3……1，余数是1，对应周期内第1个图形，即〇。 再如：循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。例如：1.66…、0.378378…和1.13636…的循环节分别是“6”、“378”和“36”。为了书写方便，这几个循环小数分别可以写作、和。 根据材料回答问题： (1)循环小数的循环节是什么？循环周期是几？ (2)这个循环小数的小数点后第50位上的数字是多少？写出计算过程。 23．中国5G技术全球领先，已建成234万基站实现全覆盖，网速突破10Gbps！工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形基站布局：既像蜜蜂筑巢般节省资源，又能实现信号无缝覆盖。有趣的是，随着网络扩展，基站会按特定数学规律增加，就像蜂巢层层生长一样。想知道这精妙的增长规律吗？快来一起探索5G网络背后的科学奥秘吧！ 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 图形 …… 每层新增数 6 ▲ ▲ ▲ …… (1)观察蜂巢的生长规律，请你接着在表格里涂一涂，算一算。 (2)观察上表，先想一想新增第几层数和新增六边形个数的关系，再填一填第9幅图（即第8层）新增的六边形数量有( )个。 (3)观察上表，先想一想层数与正六边形总数的关系，再填一填第9幅图中一共有( )个六边形。 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C BC A C C 1．B 观察数列规律：分母依次为1，2，3，…n（即第n个数的分母为n），并且符号由第n个数的奇偶性决定：奇数时为负，偶数时为正。第2025个数为奇数，因此符号为负，且分母为2025，故为﹣ 。 数列的规律为：第n个数的分母为n，且当n为奇数时，该数为负数；当n为偶数时，该数为正数。第2025个数，则n＝2025，分母是2025，是奇数，符号为负，所以第2025个数是﹣。 2．C 观察算式发现：第一个因数是14285.7不变，第二个因数依次是7的1倍、2倍、3倍。从第二个算式开始，积的整数部分都是六位数，最高位依次是1、2（呈依次加1的规律），后面五位都是9；积的小数部分依次是9、8、7（呈依次减1的规律）。因为42＝7×6，第二个因数是7的6倍。根据上述规律，积的整数部分最高位应是5，后面五位是9，即599999，积的小数部分应是4。 14285.7×42＝599999.4 故答案为：C 3．BC 第一行“共产党好”每四个字一个周期，第二行“社会主义好”每五个字一个周期，在第100组中：100÷4＝25，100÷5＝20，第一行字为“好”，第二行字为“好”，则第100组为（好，好）；在第2022组中：2022÷4＝5052，2022÷5＝4042，第一行字为“产”，第二行字为“会”，则第2022组为（产，会）。 第一行“共产党好”每四个字循环，第二行“社会主义好”每五个字循环。 第100组：100÷4＝25，100÷5＝20，第一行为“好”，第二行为“好”，则第100组为（好，好） 第2022组中：2022÷4＝5052，2022÷5＝4042，第一行为“产”，第二行为“会”，则第2022组为（产，会） 故答案为：B，C 本题重点考查周期问题，找到上下两行的周期个数，用除法计算，没有余数是周期的最后一个数，有余数看余数是几结果就是一个周期的第几个数。 4．A 先观察点阵中的兵马俑数量，第1个点阵有1＋2＝3个，第2个点阵有1＋2＋3＝6个，第3个点阵有1＋2＋3＋4＝10个，可以发现规律是第几个点阵，就从1开始连续加到比它多1的数，因此第6个点阵就要从1连续加到7，计算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7，可以运用凑整法求和。 第6个点阵：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 ＝（1＋7）＋（2＋6）＋（3＋5）＋4 ＝8＋8＋8＋4 ＝8×3＋4 ＝24＋4 ＝28（个） 第六个点阵中有28个兵马俑。 5．C 根据题意可知，阴影部分是相邻圆的重叠区域拼接而成，图4如图：； 基于图可知：图1：三个阴影是三个半径相同的扇形面积，三角形的内角和是180°，所以阴影部分合在一起是半个圆的面积； 图2：阴影部分是四个半径相同的扇形面积，四边形的内角和是360°，所以阴影部分合起来是1个圆的面积； 图3：阴影部分是由4个半径相同的扇形面积加上1个半圆面积，4个扇形内角和是360°，所以阴影部分是由1个圆的面积再加上一个半圆的面积，所以合起来是1.5个圆的面积； 图4：阴影部分4个半径相同扇形面积与2个半圆的面积；4个扇形内角和是360°，所以阴影部分合起来是2个圆的面积，据此解答。 如图：图4阴影部分：。 根据分析可知，图4面积是2个圆的面积。 故答案为：C 解答此题的关键是要清楚，半径相同的扇形，可以拼在一起，当内角和是360°的时候，可以围成一个圆。 6．C 通过观察发现，第一张剧照有1架无人机，第二张剧照有（1＋4）架无人机，第三张剧照有（1＋2×4）架无人机，……，第n张剧照有[1＋4×（n－1）]架无人机，据此解答。 当n＝8时， 1＋4×（n－1） ＝1＋4×7 ＝29（架） 第八张剧照应该有29架无人机。 故答案为：C 7．7 观察数列的奇数项和偶数项分别呈现不同的规律。奇数项依次递减2，偶数项依次递减1。据此解答。 □是第7个数，所以□＝15－2＝13 △是第8个数，所以△＝7－1＝6 口－△＝13－6＝7 所以推算出口－△＝7。 8． 693 117 观察数列可发现规律：这列数的第n个数等于7×n（第一个数7×1＝7，第二个数7×2＝14，以此类推）。求第99个数：7×99＝693，求819是第几个数：819÷7＝117。 7×99＝693 819÷7＝117 观察规律：7，14，21，28，35…，第99个数是693，“819”是这列的第117个数。 9．(1) 6 7 100 25 (2) 7020 7000 6960 （1）观察可发现规律：一个因数的十位数字乘比它大1的数，再乘100，最后加上25，就等于这个因数与自身的乘积。 （2）观察数列可以发现相邻两个数的差值是20，且后一个数比前一个数小20。 据此解答。 （1）因为65的十位数字是6，比6大1的数是7，所以65×65＝4225＝6×7×100＋25。 （2）根据规律得： 7040－20＝7020， 7020－20＝7000，6980－20＝6960。 因此，7080，7060，7040，7020，7000，6980，6960。 10． 0.6 从第二个数开始，相邻两个数的差值为0.06，据此写出规律公式，再代入求解。 第1个数：0.3＝0.3＋0.06×0； 第2个数：0.36＝0.3＋0.06×1； 第3个数：0.42＝0.3＋0.06×2； 第4个数：0.48＝0.3＋0.06×3； …… 那么第个数是：。 第6个数为： 11． 0.5 3.5 观察可知，下边两数的乘积等于上边的数，上边的数÷下边一个数＝下边另一个数，据此计算后填空。 4.5÷9＝0.5 7×0.5＝3.5 x＝0.5，y＝3.5 12．4221 观察题干给出的算式，总结规律： 对于十位数字相同、个位数字和为10的两个两位数相乘：  积的前半部分＝十位数字×（十位数字＋1） ，积的后半部分＝两个乘数的个位数字相乘，乘积不足两位时，前面补0凑两位 将前半部分和后半部分按顺序拼接，就是最终结果。 计算63×67：十位数字是6，前半部分：6×（6＋1）＝42 ；个位数字是3和7，后半部分：3×7＝21。 拼接得结果：4221 在一次数学活动中，小乐发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积的计算有规律。例如：53×57＝3021；38×32＝1216；84×86＝7224；71×79＝5609。请利用上述算式中的规律计算：63×67＝4221。 13．(1)30÷5÷2＝30÷（5×2） (2)积 (3)A÷B÷C＝A÷（B×C） （1）（2）仔细观察三个算式可知，算式的左边都是一个数连续除以两个数，算式的右边都是一个数除以两个数的积，据此发现的规律为：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以后两个数的积，与其类似的算式为：30÷5÷2＝30÷（5×2）。 （3）如果用A表示被除数，B和C表示两个除数，那么前面的规律用字母表示为：A÷B÷C＝A÷（B×C）。 （1）30÷5÷2＝30÷（5×2）（答案不唯一） （2）规律：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以后两个数的积，它们的结果不变。 （3）这个规律用字母表示为：A÷B÷C＝A÷（B×C）。 14． 算式中的每一项都是形如的分数； 利用裂项公式：，将每一项拆成两个分数的差； 中间项可以相互抵消（相消），只剩下首尾两项，从而简化计算。 根据分析， 主要考查知识点：分数裂项公式的理解与应用，简便运算。解题关键点：识别分母中两个因数的差为2，准确应用裂项公式，并注意公式前的系数。 解题突破口：通过观察每一项的结构，发现可以将复杂的连加运算转化为首尾两项的减法运算，大幅简化计算。易错提醒：裂项时容易遗漏系数，或抵消时错误保留中间项，需特别注意。 15．(1) (2) （1）观察可知：等式左边是两个分数相加，分子相同，且分子等于两个分母之和（如9＝2＋7，8＝3＋5）；等式右边是这两个分数相乘，且加法结果等于乘法结果。据此推导：分子是11，一个分母是6，另一个分母为11－6＝5，因此括号内填；仿写等式时，只需满足“分子＝两个分母之和”即可，如。 （2）从第一小题的具体等式中，发现“分子为两分母之和的两个分数，相加等于相乘”的规律，因此就等于。 （1） 照样子写一个等式： （2）我发现：（m，n均不为0）。 16．(1) 5 6 (2)20 (3) 2 连续偶数 （1）通过图形展示的排列，推导规律。第1个算式：2＝1×2，是1个偶数（2），结果＝加数个数×（加数个数＋1）。第2个算式：2＋4＝2×3，是2个连续偶数（2、4）相加，结果＝加数个数×（加数个数＋1）。第3个算式：2＋4＋6＝3×4，是3个连续偶数（2、4、6）相加，结果＝加数个数×（加数个数＋1）。即，连续偶数相加的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1）。 （2）由规律可知，连续偶数相加时，最后一个偶数的大小＝偶数的个数×2。 （3）根据（1）中的结论：连续偶数相加的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1），将偶数的个数设为n个，将n代入公式计算求解，计算时，连续的偶数必须从2起。 （1）2、4、6、8、10一共有5个连续偶数， 所以，2＋4＋6＋8＋10＝5×6。 （2）10×11表示有10个偶数，则最后一个偶数为：。 2＋4＋6＋8＋10＋…＋20＝10×11。 （3）从2起，n个连续偶数相加，和等于。 17．(1)①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 (2)203，255，322，409，523，674，877 （1）观察给出的数字，可得：上一行的最后一个数是下一行的第一个数，这个数加上上一行的第一个数就是这行的第二个数，第二个数加上上一行的第二个数就是这一行的第三个数，以此类推； （2）根据（1）的结论写出第7行“倍尔数”。 （1）答：①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 （2） 答：第7行“倍尔数”是：203，255，322，409，523，674，877 18．（1）4.4 （2）11；理由见详解 （3）70.4 （1）第5行数字为1.1，4.4，6.6，4.4，1.1，数对（5，4）表示的是第5行从左往右第4个数字，根据给出的数字排列，这个数字是4.4。 （2）根据规律，第6行的数字是由第5行相邻两个数字的和得到的。已知第5行的数字为1.1，4.4，6.6，4.4，1.1，因此第6行从左数第3个数字（数对（6，3））为第5行第2个和第3个数字之和，即4.4＋6.6＝11。 （3）根据规律，第6行的数字为1.1，5.5，11.0，11.0，5.5，1.1，第7行的数字则是第6行相邻两个数字的和。因此，第7行的数字为1.1，6.6，16.5，22.0，16.5，6.6，1.1，求第7行所有数字的和即为1.1＋6.6＋16.5＋22.0＋16.5＋6.6＋1.1＝70.4。 （1）数对（5，4）表示的是第5行从左往右第4个数字。 数对（5，4）表示的数字是4.4。 （2）根据图中数字排列顺序可知，从第3行开始的数字满足上一行相邻两个数字之和，且边上的两个数字始终为1.1。 则数对（6，3）表示的数为（5，2）与（5，3）位置上数字之和。 4.4＋6.6＝11 答：数对（6，3）表示的数字是11，从第3行开始的数字满足上一行相邻两个数字之和，且边上的两个数字始终为1.1。则数对（6，3）表示的数为（5，2）与（5，3）位置上数字之和。 （3）第6行数字依次为：1.1，5.5，11，11，5.5，1.1 第7行数字依次为：1.1，6.6，16.5，22，16.5，6.6，1.1 1.1＋6.6＋16.5＋22＋16.5＋6.6＋1.1＝70.4 答：第7行所有数字的和为70.4。 解答此类数字规律题，需观察数字排列特征，包括每行个数、数字变化趋势。通过分析每行两端及中间数字的规律，找出通用规律，进而解决数对对应数字、行数字总和等问题。 19．(1) (2)A （1）根据题意，可以发现其分子都为1，分母分别为4、9。4可以写成2²；9可以写成3²。由此可推测出这组数列的规律是：分母依次为连续自然数的平方，据此解答。 （2）根据题意，对于这组数列，由于其分子始终为 1 保持不变，而分母呈现出2²、3²、4²、5²……这样的规律，并且不断增大，在分数中，当分子不变时，分母越大，分数值越小，据此解答。 （1）因为第一个数的分母是2²＝4，第二个数的分母是3²＝9，所以第三个数的分母应为4²＝16，第四个数的分母应为 5²＝25。故括号里依次应填：；。 ，，，，…… （2）在分数中，当分子不变时，分母越大，分数值越小。所以随着这组数列分母的不断增大，分数值会越来越小。持续下去，分母会变得极其巨大，此时分数值就会无限趋近于0。 故答案为：A 20．(1)见详解 (2)42 (3)8 （1）把算式里的每个数看成一层“圆木”，第一个数2就是最上面一层的“圆木”数量（梯形上底），最后一个数12就是最下面一层的“圆木”数量（梯形下底），算式里有6个数，就对应梯形的高是6格，因此在方格纸上画出上底为2dm、下底为12dm、高为6dm的梯形即可。 （2）这串数可以像堆圆木一样摆成梯形，根据梯形面积的公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，这里上底是2，下底是12，高是6，代入即可求出结果。 （3）先数有几个数：从0.3开始，每次加0.2，到1.7为止，一共是8个数。把这串数也看成梯形，上底是0.3，下底是1.7，高是8，根据梯形面积的公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入即可求出结果。 （1）根据分析，画图如下： （2）2＋4＋6＋8＋10＋12 ＝（2＋12）×6÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42 答：2＋4＋6＋8＋10＋12的结果是42。 （3）0.3＋0.5＋0.7＋…＋1.7 ＝（0.3＋1.7）×8÷2 ＝2×8÷2 ＝16÷2 ＝8 答：0.3＋0.5＋0.7＋…＋1.7的结果是8。 21．星期日 首先根据闰年的判断方法（普通年份能被4整除为闰年，整百年份能被400整除为闰年）确定2026年2月的天数；然后计算从2月5日到4月5日经过的总天数；最后利用一周有7天的周期规律，通过有余数的除法，根据余数推算出星期几。 2026÷4＝506……2，有余数，则2026年是平年，2月有28天。 2月剩余天数：28－4＝24（天） 3月天数：31天 4月天数：5天 从2月5日到4月5日经过的总天数：24＋31＋5＝60（天） 60÷7＝8（周）……4（天） 从星期三往后推4天，是星期日。 答：该年的“清明”那天是星期日。 22．(1)428571；6 (2)2；过程见详解 （1）识别循环节与周期：根据材料中循环小数的记法，小数部分上方有点的数字表示循环节的开始和结束。 （2）利用周期规律解题：要求小数点后第 50 位上的数字，属于周期问题。根据材料提供的方法，用总位数除以循环周期长度。 确定对应数字：计算除法算式得到商和余数。商表示完整的循环组数，余数表示在下一组循环中的位置。若余数为 1，对应循环节第 1 个数字；若余数为 2，对应第 2 个数字，以此类推。若没有余数，则对应循环节最后一个数字。 （1）观察循环小数，循环节是从第一个加点的数字到最后一个加点的数字，即 428571。 数出循环节中数字的个数：4、2、8、5、7、1，共 6 个数字。 答：循环小数的循环节是 428571，循环周期是 6。 （2）要求小数点后第 50 位上的数字，用位数除以循环周期： 50÷6＝8……2 算式中商是 8，表示前面有 8 个完整的循环周期；余数是 2，表示第 50 位是第 9 个周期的第 2 个数字。 循环节 428571 中，第 1 个数字是 4，第 2 个数字是 2。 所以，第 50 位上的数字是 2。 答：这个循环小数的小数点后第 50 位上的数字是 2。 23．(1)见详解 (2)48 (3)217 （1）以一个正六边形为中心，逐渐向外扩散，涂出第①层、第②层、第③层…的新增六边形个数。 观察图形可知：，第①层新增0个，第②层新增6个后一层比前一层多新增6个，所以第③层新增6＋6＝12个，第④层新增12＋6＝18个，第⑤层新增18＋6＝24个。 （2）由前面规律可知，新增第n层的六边形个数为6×n，其中n从1开始指新增层序号，第9幅图（即第8层），则求当n＝8时，代入可得新增个数。 （3）第1幅图有1个六边形，从第2幅图开始，每层新增的个数依次为6×1，6×2，6×3，…，6×7，6×8（因为第9幅图是第8层，所以总数为1＋6×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）。 （1） 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 图形 …… 每层新增数 6 12 18 24 …… （2）6×8＝48（个） 第9幅图（即第8层）新增的六边形数量有48个。 （3）1＋6×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8） ＝1＋6×（3＋3＋4＋5＋6＋7＋8） ＝1＋6×（6＋4＋5＋6＋7＋8） ＝1＋6×（10＋5＋6＋7＋8） ＝1＋6×（15＋6＋7＋8） ＝1＋6×（21＋7＋8） ＝1＋6×（28＋8） ＝1＋6×36 ＝1＋216 ＝217（个） 第9幅图中一共有217个六边形。 学科网（北京）股份有限公司 $