小升初专项提优练：探索规律（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

**基本信息** 以图形、数列、周期问题为载体，通过观察-归纳-验证的逻辑链条系统提炼规律探究方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形规律|6题（三角形/小棒/正方体）|分层计数+通项公式（如2n+1）|从具体图形到抽象公式，体现几何直观| |数列规律|5题（奇数和/分数列）|递推关系+求和公式（如n²）|从有限项到一般规律，发展推理意识| |周期问题|4题（小球/字母循环）|周期确定+余数计算|建立循环模型，培养模型意识| |综合应用|3题（扑克牌/数阵）|多规律融合+逆向推理|综合运用规律，提升应用能力|

2026年数学小升初专项提优练：探索规律（人教版） 一、选择题 1．小军用围棋子摆了以下点子图。 按照这样的规律，图5共用的围棋子个数是（    ）。 A．15 B．20 C．21 D．25 2．根据如图所示规律排列图形，第五个图形应该选（    ）。 ___________ A． B． C． D． 3．如图，第1个图有3个小三角形，第2个图有9个小三角形，按照规律，第6个图共有（    ）小三角形。 A．27 B．30 C．33 D．36 4．在一张足够长的纸条上从左到右依次写下1～2014这些自然数，然后从左到右每隔三位加一个逗号：123，456，789，101，112，131，…，则第102个逗号前的那个三位数是第（    ）个三位数。 A．36 B．37 C．38 D．39 5．已知一个由50个奇数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和，在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和的是（    ）。 A．114 B．122 C．220 D．84 6．在2022年元旦联欢会上，五（1）班举行了用火柴棒摆“金鱼”比赛。按照下面的规律摆下去，摆8条“金鱼”需要（    ）根火柴棒。 A．50 B．38 C．26 D．62 二、填空题 7．，，，…，那么＝( )。 8．，，，，，…列数的每一项越来越小，越来越接近( )。 9．根据，，可以得出( )÷( )。 10．62个小球排成一排，…按照此规律，第30个球是( )色的，这排小球中一共有( )个白球。 11．如下图，每个小正方体的棱长是1分米，按照这样的规律继续摆下去，第③个立体图形的表面积是( )平方分米，第⑥个立体图形共有( )个小正方体。 12．如图，在各个手指间标记字母、、、。请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是( )。 三、判断题 13．〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△……第111个图形是☆。( ) 14．0.9，0.99，0.999，0.9999…这列数的每一项越来越大，越来越接近1。( ) 15．按规律填数：，，，□，□，。两个□里分别填、。( ) 16．有这样一组数1，3，5，7，9…那么第n个数是2n－1。( ) 17．根据33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知33333×4＝133332。( ) 四、解答题 18．如图，一副扑克牌的排列顺序为：第一张是大王，第二张是小王，然后按四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。将这54张牌按1~54编号。称如下操作为一次操作：取走所有编号为奇数的牌，将剩下的（如果有）牌从1开始重新编号。若干次操作后，全部的牌都被取走。请问：取走最后一张牌的是第几次操作？最后一张牌是什么？ … 19．先填表，再回答问题。 三角形的个数 1 2 3 4 … 摆成的图形 … 小棒的根数 （    ） （    ） （    ） （    ） … （1）你能用含有字母n的式子表示摆n个三角形需要多少根小棒吗？ （2）如果摆50个三角形，需要多少根小棒？ 20．先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。 前2个奇数的和：（    ） 前3个奇数的和：（    ） 前4个奇数的和：（    ） 前5个奇数的和：（    ） …… （1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。 （2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。 21．回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。 22．观察下列等式与图形（其中正方形的边长均为1）的关系，找出规律，回答问题。 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… （1）写出第4个等式，并在右边给出的四个正方形上涂出与之对应的图示。 （    ） （2）写出你猜想的第n个等式是（                                ）。 23．找规律，回答问题。 （1）请画出第4个图形。 （2）第10个图形共有多少个小三角形？ （3）第n个图形共有多少个小三角形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年数学小升初专项提优练：探索规律（人教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C D B A 1．C 【分析】图1有3个点，图2有6个点，图3有10个点，每增加一行，就会比上一行多1个点，由此根据规律写出图5有多少个点子，由此解答即可。 【详解】图1有3个点：3＝1＋2 图2有6个点，可以写成：6＝1＋2＋3； 图3有10个点，可以写成：10＝1＋2＋3＋4； 图4有15个点，可以写成：15＝1＋2＋3＋4＋5； 图5有16个点，可以写成：21＝1＋2＋3＋4＋5＋6。 故答案为：C 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 2．A 【分析】根据前四个图形总结图形变化的规律，推测第五个图形，再观察第六个图形，验证推论是否正确，据此解答。 【详解】根据已知图形可知： 第一个图形是“＋”形，中间有1个点； 第二个图形是“×”形，中间有1个点，同第一个图形的点数； 第三个图形是“＋”形，中间有5个点；； 第四个图形是“×”形，中间有5个点，同第三个图形的点数； 总结规律可知，图形方向的变化为“＋”、“×”、“＋”、“×”、“＋”、“×”……，中间的点数为1、1、5、5、9、9… 由以上可以推测，第五个图形是“＋”形，中间有个点； 第六个图形是“×”形，中间有9个点，同第五个图形的点数，所以推论正确； 故答案为：A 3．C 【分析】观察发现第几个图的三角形的个数，即用n 来表示第几个图，则小三角形的个数＝（2n－1）×3。 【详解】将n＝6带入（2n－1）×3式子中， （2×6－1）×3 ＝（12－1）×3 ＝11×3 ＝33（个） 故答案为：C 4．D 【分析】每三个数分在一起，则102个逗号前面有102个数字，就有306个数。306个数里面去掉一的9个，两位数有90个，就是有180个数字，这189个数字恰好能分成63组三位数。则剩下的117个数字里面就是从第一个三位数开始的，每三个为一组，能分成39组，正好就是第39个三位数。 【详解】（个） ＝ ＝ ＝117（个） 117÷3＝39（个） 第102个逗号前的那个三位数是第39个三位数。 故答案为：D 5．B 【分析】根据题意可知，设框住的四个数中，第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。四个数的和为x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2），化简为（4x－10）；据此依次列方程为4x－10＝114，4x－10＝122，4x－10＝220，4x－10＝84，分别推出每个选项的第二行中间数是否符合即可。 【详解】解：设第二行中间数为x，则第一行为（x－10）。第二行第1个为（x－2），第二行第3个为（x＋2）。 x＋（x－10）＋（x－2）＋（x＋2） ＝x＋x－10＋x－2＋x＋2 ＝4x－10 A．4x－10＝114 解：4x－10＋10＝114＋10 4x＝124 4x÷4＝124÷4 x＝31 31在第4行第1列，不可能为第二行中间数。 B．4x－10＝122 解：4x－10＋10＝122＋10 4x＝132 4x÷4＝132÷4 x＝33 这四个数的和有可能是122。 C．4x－10＝220 解：4x－10＋10＝220＋10 4x＝230 4x÷4＝230÷4 x＝57.5 57.5不是整数；不符合题意； D．4x－10＝84 解：4x－10＋10＝84＋10 4x＝94 4x÷4＝94÷4 x＝23.5 23.5不是整数；不符合题意。 有可能是这四个数的和的是122。 故答案为：B 6．A 【分析】通过观察，一个“金鱼”用2＋6＝8（根）火柴棒，两个“金鱼”用2＋6＋6＝14（根）火柴棒，三个“金鱼”用2＋6＋6＋6＝20（根）火柴棒，……以此类推，即可得解。 【详解】按照以上规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（2＋6n）； 所以摆8条“金鱼”需要火柴棒： 2＋6×8 ＝2＋48 ＝50（根） 摆8条“金鱼”需要50根火柴棒。 故答案为：A 【点睛】认真观察，发现规律是解决此题的关键。 7．2×2×2×2×2 【分析】本题重在观察所给算式中的规律。通过观察可以发现这个题的规律为：一个数连续相乘几次，就等于这个数的几次方。反过来说就是：一个数的几次方就等于这个数连续相乘几次。 【详解】通过观察规律可知，一个数的几次方就等于这个数相乘几次。所以，＝2×2×2×2×2。 8． 【分析】这是一个分数数列，其分母分别是2连乘1次、2连乘2次、2连乘3次、2连乘4次、2连乘5次……因为分母中2连乘的次数不断增加，导致分母的值越来越大，所以分数值越来越小。 【详解】对于数列，，，，，…，每一项的分数值为1除2连乘若干次的结果。由于2连乘的次数逐渐增加，分母变得越来越大。第一项中，分母是2连乘1次；第二项中，分母是2连乘2次；第三项中，分母是2连乘3次……以此类推，所以分数越来越接近0。 9． 13 10 【分析】观察算式：，，发现同分母分数相除等于它们的分子相除，所以，将所求算式的被除数和除数通分，即可求解。 【详解】由分析可知： 因为，， 所以，＝13÷10 10． 蓝 26 【分析】看图可知，5个小球一个周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个。 每个周期白球个数×周期总数＝白球总个数，如果有余数，看余数中是否有白球，如果有，需要加上。 【详解】30÷5＝6（组） 62÷5＝12（组）……2（个） 12×2＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 第30个球是蓝色的，这排小球中一共有26个白球。 11． 54 66 【分析】边长1分米的正方形，面积是1平方分米，立体图形的表面有几个边长1分米的小正方形，表面积就是几平方分米。看图可知，第③个立体图形从前后左右4个方向观察都是9个小正方形，从上面和下面观察都是9个小正方形，据此确定第③个立体图形表面小正方形的个数即可。 第①个立体图形有1个小正方体；第②个立体图形有2层，增加了（1＋4）个小正方体；第③个立体图形有3层，在第②个立体图形的基础上又增加了（5＋4）个小正方体；以此类推，第⑥个立体图形有6层，下边每层都比上边1层多4个小正方体，据此将各层小正方体个数相加即可。 【详解】9×4＋9×2 ＝36＋18 ＝54（平方分米） 1＋（1＋4）＋（1＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4＋4） ＝1＋5＋9＋13＋17＋21 ＝66（个） 第③个立体图形的表面积是54平方分米，第⑥个立体图形共有66个小正方体。 12．599 【分析】由题可知，对应的数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，…，可得共6个数为1个周期，1个周期中字母出现2次，先用200除以2求出循环的周期数，再乘6，然后再减去最后一个数字即可。 【详解】200÷2×6－1 ＝100×6－1 ＝600－1 ＝599 因此当字母C第200次出现时，恰好数到的数是599。 【点睛】明确1个周期中字母出现2次是解答此题的关键。 13．√ 【分析】根据图示可知，每6个图形一循环，计算第111个图形是第几组循环零几个图形，即可知道其形状，判断即可。 【详解】111÷6＝18（组）……3（个） 所有第111个图形是☆。原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查的是找图形规律，解题的关键是观察图形找到规律，再根据规律求解。 14．√ 【分析】观察这列数，后面的数比前一位多一位小数，并且多的位数上是9。所以这列数是无限扩大的，并无限靠近1的。据此解题。 【详解】由分析得： 0.9，0.99，0.999，0.9999…这列数的每一项越来越大，越来越接近1，这种说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了数字排列的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。 15．× 【分析】由题意可知，后一个分数是前一个分数乘。据此计算。 【详解】由分析可知，，，，□，□，。两个□里分别填、。 故答案为：× 【点睛】此题考查的是找规律，要认真分析、观察前后两个数之间的关系，依此找出他们之间的联系。 16．√ 【分析】根据数排列的序数与数的关系解答即可。 【详解】第1个数：1； 第2个数：1＋2＝3； 第3个数：1＋2＋2＝1＋2×2＝5； 第4个数：1＋2＋2＋2＝1＋3×2＝7； 第5个数：1＋2＋2＋2＋2＝1＋4×2＝9； 则第n个数是：1＋（n－1）×2＝2n－1。 所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题考查数的排列规律，关键是找准数排列的序数与数之间的关系。 17．√ 【分析】根据观察知：第2个因数都是4，其结果最高位都是1、最低位都是2、中间都是3，3的个数比第一个因数中3的个数少1，据此解答。 【详解】33×4＝132 333×4＝1332 3333×4＝13332 可知：33333×4＝133332 故答案为：√ 【点睛】找出算式中各个因数的变化规律是解题的关键。 18．第六次，梅花4 【分析】54张扑克牌的编号不发生变化，则第一次取走所有的奇数后，剩下的都是偶数编号为：2、4、6、8……得出第一次操作后剩下的牌的编号都是2的倍数。将剩下的牌重新编号，按照对应2号（1）、4号（2）、6号（3）、8号（4）……得出剩下的牌的编号是4、8、16……编号都是4＝22的倍数，同理往下第三次操作剩下的牌的编号是8＝23的倍数……第五次操作后剩下的牌的编号是32的倍数，编号1到54的所有牌中，32的倍数只有32，经过第五次操作后，只剩下编号是32的牌。即第6次操作，就是取走了最后一张编号为32的牌。前32号牌中，有2张大王，去掉这两张剩下的30张中，每个花色的牌有13张，里面有2个13余4张，则第四张就是梅花4。 【详解】设：扑克牌的编号始终不变。 第一次操作后，剩下的牌的编号是2的倍数； 第二次操作后，剩下的牌的编号是4的倍数； 第三次操作后，剩下的牌的编号是8的倍数； 第四次操作后，剩下的牌的编号是16的倍数； 第五次操作后，剩下的牌的编号是32的倍数； 第六次操作将最后的32号牌取走。 32－2＝30（张） 30÷13＝2（组）……4（张） 答：取走最后一张牌的是第六次操作，最后一张牌是梅花4。 19．3；5；7；9 （1）2n＋1 （2）101根 【分析】 第1列3根，第二列5根，第三列7根，第4列9根，由此可以看出第n列的根数是2n＋1根。 【详解】填表如下： 三角形的个数 1 2 3 4 … 摆成的图形 … 小棒的根数 3 5 7 9 … 观察表格数据可知： 摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒； 2×50＋1 ＝100＋1 ＝101（根） 摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒，如果摆50个三角形，那么需要101根小棒。 20．4；9；16；25 （1）奇数；偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方。 （2）前n个奇数的和为n2；7396 【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律； （1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答； （2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。 【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4） 前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9） 前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16） 前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25） （1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。 （2）前n个奇数的和的规律为：n2 当n＝86，86×86＝7396 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够结合算式找出规律。 21．48个 【分析】第1个图，外圈边长是3个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是1，最外圈小正方形的个数：32－12＝9－1＝8（个）； 第2个图，外圈边长是5个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是3，最外圈小正方形的个数：52－32＝25－9＝16（个）； 第3个图，外圈边长是7个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是5，最外圈小正方形的个数：72－52＝49－25＝24（个）； …… 第n个图，外圈边长是（2n＋1）个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是（2n－1），最外圈小正方形的个数：（2n＋1）2－（2n－1）2； 【详解】根据分析，第6个图，外圈边长是13个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是11， 132－112 ＝169－121 ＝48（个） 答：第6个图形最外圈有48个小正方形。 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够观察内外圈边上的数量的关系再找规律。 22．（1）；图见详解 （2） 【分析】（1）观察前面的三个等式可知第4个等式是；给出的是四个并排的正方形（边长为1），每个正方形被分成5等份，给每个正方形的前4份涂色，最后1份留白即可； （2）观察前面的三个等式可知第n个等式是（n为正整数）。 【详解】（1）第4个等式是； （2）写出你猜想的第n个等式是。 23．（1）图见详解 （2）100个 （3）个 【分析】第1个图形：1个三角形， 第2个图形：4个三角形， 第3个图形：9个三角形， 第4个图形：16个三角形， 第n个图形：个三角形，据此解答。 【详解】（1）第4个图形：16个三角形， （2）（个） 答：第10个图形共有100个小三角形。 （3）答：第n个图形共有个三角形。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $