10.4 三元一次方程组的解法 闯关练 2025-2026学年 人教版数学七年级下册

10.4 三元一次方程组的解法 闯关练 2025-2026学年下学期 初中数学人教版（2024）七年级下册 一、单选题 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 3．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 4．一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间每晚200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是（   ） A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元 5．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，但他身上的钱还差元；如果改成购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．甲、乙、丙三人到超市购零食．甲买薯片包、饼干袋、糖果盒，花费元；乙买薯片包、饼干袋、糖果盒，花费元．那么丙买薯片包，花费（    ） A．元 B．元 C．元 D．不确定 二、填空题 7．方程组的解是________． 8．(整体代换)有甲、乙、丙三种货物．如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去3.15元；如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去4.20元．现在买甲、乙、丙各1件，需要花_________元． 9． 小区物业为业主精心配制了3种蔬菜包、，其中每包蔬菜包的成本是蔬菜包的2倍，每包蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的售价分别比其成本高月份第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量之比为，三种蔬菜包的总利润是总成本的，则每包蔬菜包与每包蔬菜包的成本之比为__________． 10．古语说：“春眠不觉晓”，每到初春时分，想必有不少人变得嗜睡，而且睡醒后精神不佳．我们可以在饮食方面进行防治，比如以下食物可防治春困：香椿、大蒜、韭菜、山药、麦片．春天即将来临时，某商人抓住商机，购进甲、乙、丙三种麦片，已知销售每袋甲种麦片的利润率为，每袋乙种麦片的利润率为，每袋丙种麦片的利润率为，当售出的甲、乙、丙三种麦片的袋数之比为时，商人得到的总利润率为；当售出的甲、乙、丙三种变片的袋数之比为时，商人得到的总利润率为：那么当售出的甲、乙、丙三种麦片的袋数之比为时，这个商人得到的总利润率为_____ 11．中国的元旦，距今已有 3000 多年的历史，“元旦 ”一词 最早出现于《晋书》．“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的 ，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为_____________ ． 三、解答题 12．解方程组： (1)； (2)． 13．解下列方程或方程组： (1) (2) (3)； (4)． 14．春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元． (1)求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？ (2)随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值． 15．合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行月总收入＝基本工资计件奖金的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数件，月总收入元； 营业员：月销售件数件，月总收入元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． (1)求、的值； (2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元；如果购买甲服装件，乙服装件，丙服装件共需元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 16．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（规定每辆汽车满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 每吨水果可获利润（万元） (1)用辆汽车装运乙、丙两种水果共吨到地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？ (2)水果基地计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共吨到地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆（结果用含的式子表示）？ (3)在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A D B C 1．D 本题考查了三元一次方程组．含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程叫做三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义逐一判断，即可得到答案． 解：A、未知数的最高次数为2次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； B、分母含有未知数，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； C、未知数的最高次数为3次，不是三元一次方程组，不符合题意，选项错误； D、是三元一次方程组，符合题意，选项正确； 故选：D． 2．B 此题考查了解三元一次方程组．根据消元法的简单的角度即可得到答案． 解：经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 故选：B 3．A 本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数可得，从而可得答案． 解：， ②③得：即， ③①得：， ∴， 故选A 4．D 此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚100元，二人间每人每晚150元，单人间每人每晚200元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故选：D． 5．B 本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱，根据题意列出关于，，的三元一次方程组，解之即可求解． 解：设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱， 根据题意得：， 得： ， ， ， ， 每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵元， 故选：B． 6．C 本题考查三元一次方程组的应用，设薯片包元、饼干袋元、糖果盒元，从而可得，求出即可得解．掌握加减消元法的变形方法是解题关键． 解：设薯片包元、饼干袋元、糖果盒元， 依题意可得方程组， ①②，得：， ∴， ∴（元）， ∴丙买薯片包，花费元． 故选：C． 7． ①②③得出，求出④，④①求出，④②求出，再求出即可． 解：， ①②③，得， ④， ④①，得， ④②，得， ④③，得， 所以方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 8．1.05 本题考查三元一次方程组的应用，设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，根据题意，列出三元一次方程组进行求解即可． 解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，由题意，得： ， ，得：； 即：买甲、乙、丙各1件，需要花1.05元； 故答案为：1.05． 9． 本题考查三元方程的应用，设每包蔬菜包、蔬菜包的成本为，第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量分别为，根据三种蔬菜包的总利润是总成本的，列出方程进行求解即可． 解：设每包蔬菜包、蔬菜包的成本为，第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量分别为，则每包蔬菜包的成本为，由题意，得： ， 整理，得：， ∴； 即：每包蔬菜包与每包蔬菜包的成本之比为； 故答案为：． 10． 设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为、、，丙蜂蜜售出瓶数为，则当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为、；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为、；列出方程，解方程求出，即可得出结果． 本题考查了利用三元一次方程组解决实际问题，正确理解题意设出未知数，列出方程组是解题的关键． 解：设甲、乙、丙三种麦片的进价分别为、、，丙麦片售出袋数为， 由题意得：， 解得：， ， 故答案为：． 11． 设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的数量分别是、、袋，则元月2日的数量分别为，，袋，元月3日为，，袋，根据“第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元”建立方程组，化简得到，可求出，，的值，进而利用利润（售价成本）数量即可求解．本题考查了销售中的利润问题，灵活运用方程思想，本题通过设设元旦节当天三种年货的数量分别是、、，根据题意算出元月2日，元月3日的销售量，得出方程组是解题关键． 解：设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的数量分别是、、袋、、均为正整数）， 由题意可得， ， 整理得， 解得， ∴ ∵、、均为正整数， ∴的个位数是或5 ∴的个位数是5或 ∵ ∴时，，不合题意，舍去； 时，，； 时，，不合题意，舍去； 则，，， 腊排骨利润为：（元） 腊肉利润为：（元）， ∴ 故答案为： 12．(1) (2) 本题主要考查了解二元一次方程和解三元一次方程，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）首先将原式整理为，由，可解得，将代入②，解得，即可获得答案； （2）由，可得 ④，由，可得 ⑤，再由，可解得，将代入④，可解得，将，代入②，可解得，即可获得答案． （1）解：， 整理可得， 由，可得， 解得， 将代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为； （2）解：， 由，可得 ④， 由，可得 ⑤， 由，可得 ，解得 ， 将代入④，可得，解得， 将，代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为． 13．(1) (2) (3) (4) 本题主要考查了解一元一次方程，二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组和解方程的一般方法，准确计算． （1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解； （3）用代入消元法解二元一次方程组即可； （4）用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组即可． （1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项得：， 两边同除以4，得：． （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得， 合并同类项得：． （3）解： 由①得③， 把③代入②，得， 解得， 把入③，得． ∴． （4）解：， 将①代入②后整理得：④， 将①代入③后整理得：⑤， 得， 把代入⑤可得， 把，代入①得， 故该方程组的解为：． 14．(1)1月份至多卖出坝坝茶盒 (2) 本题考查了一元一次不等式以及三元一次方程组的应用； （1）设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据题意1月份总销售额至少为元，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解； （2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元，设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据题意可得，解方程组，即可求解． （1）解：设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒． 根据题目描述，1月份总销售额至少为元，即． 化简得到， 即， 解得：． 答：1月份至多卖出坝坝茶盒． （2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元． 设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据2月份总销量相较1月份增长了1倍，即． 根据2月份的销售数据，可建立方程组 由②可得． 由于，得到． 将代入方程①中解出的值：， 即． 解得． 15．(1) (2)元 （1）设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元，根据题意列出三元一次方程组，得出，即可求解． （1）解：设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元， 根据题意得：， ， （2）解：设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元， 根据题意得：， ，得：． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 16．(1)装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆 (2)装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆 (3)安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元 本题考查二元一次方程组，代数式表示式子，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意和表格中的数据可以用关于的代数式表示出装运乙、丙两种水果的汽车数量； （3）根据题意可以写出利润关于的关系式，再根据的取值范围即可解答本题． （1）解：设装运乙、丙水果的汽车分别为辆，辆， 由题意得， 解得 答：装运乙种水果的汽车有辆、丙种水果的汽车有辆． （2）设装运乙、丙水果的汽车分别为a辆，b辆， 由题意得 解得 答：装运乙种水果的汽车是辆，丙种水果的汽车是辆． （3）设总利润为万元， 则． ． 又为正整数， ，，． 将，，依次代入中， 可得当时，最大，此时． 答：安排运甲水果的车辆，运乙水果的车辆，运丙水果的车辆，可使水果基地获得最大利润，最大利润为万元． 学科网（北京）股份有限公司 $