极值点偏移（二）课件-2026届高考数学二轮复习

专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移（二） 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移 乘积型 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 换元后即证 转化为证明 由单调性转化为证明 由转化为证明 的极值点转化为的两个零点 构造，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值证明 典例剖析 3 解析：（1）第一，的定义域为，， 由题意恒成立，即恒成立， 设，则， 当时，，单调递增, 当时，，单调递减, ∴在处取得极大值，也是最大值，， 故； 例题 1. 已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 典例剖析 4 解析：（2）第一，函数有两个极值点，由(1)可知， 设，则是的两个零点， ，当时，，当时，, 所以在上递增,在上递减， 所以，又因为， 所以， 第二，要证，只需证,只需证， 其中，即证， 即证， 例题 1. 已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 典例剖析 5 解析：第三，由,设， 则,，则， 设 ， ， 由(1)知，故, 所以，即，在上递增， ,故成立，即； 例题 1. 已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 典例剖析 6 例题 2. 已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 转化为证或恒成立 构造函数 转化为证明 转化为比较与 转化为比较 典例剖析 7 解析：（1）设直线与曲线相切于点， ， 又，即， 设，则，在上单调递增， 又，有唯一零点， ，解得， ， 则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增． 例题 2. 已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 典例剖析 8 解析：（2）第一，由（1）知， 当时，；当时，， ， 第二，要证，只需证．在上单调递减， 只需证，又， 则只需证对任意恒成立． 例题 2. 已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 典例剖析 9 解析：第三，设， 则， 设，则， 在上单调递减，． 又当时，， 在上单调递增， ，即在时恒成立， 又．故原不等式得证． 例题 2. 已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 典例剖析 10 核心思想 处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 方法讲解 练习 1. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 点拨:本题是乘积型极值点偏题，即将等价于，构造函数，证明，通过研究单调性化简问题为证明，构造函数，通过研究单调性得出在上单调递增，进而证明结论. 典例剖析 12 解析：（1）的定义域为． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． 由题设得，故的取值范围是． （2）不妨设． 由（1）知，，于是． 由于在上单调递减，故等价于． 而， 故等价于，即， 练习 1. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 典例剖析 13 解析：整理得．① 令，①式为， 又在上单调递增， 故①式等价于，即． 令，则， 所以当时，，故在上单调递增． 又，所以，即． 因此． 练习 1. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 典例剖析 14 点拨:（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间； （2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果； ②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论. 练习 2. 已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 典例剖析 15 解析：（1）定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为. （2）①若是的两个不同零点， 则与在上有两个不同交点； 由（1）知：，又， 在的图象如图所示， 由图象可知：， ，即的取值范围为. 练习 2. 已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 典例剖析 16 解析：②不妨设，由①知：， ，， 在上单调递增，在上单调递减； 设， 则， 在上单调递减，，， 又，，又，； ，，在上单调递增，，则. 练习 2. 已知函数 (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 典例剖析 17 专题二 导数 专题 2.3 极值点偏移 商型 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数有两个相异零点､，且，求证：. 对函数求导并研究的单调性 结合函数有两个相异零点、 得极大值，即有，进而有， 应用作差法可得，而、即可证明结论. 典例剖析 19 解析：第一，由题设，， 由，得，由，得， 在上单调递增，在上单调递减， 第二，在处取得极大值，且为最大值. 由有两个相异零点､，可得，即. ， ， 第三， ，即，则， ，， . 例题 1. 已知函数有两个相异零点､，且，求证：. 典例剖析 20 例题 2. 已知函数（）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值. 由条件可知，变形后两式相除得，设 换元后，由分别解出和 通过构造函数，利用导数证明函数的单调性，再解抽象不等式，从而求得的最大值 典例剖析 21 解析：（1）函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令，则，设，则， 易知，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴， ∴，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 例题 2. 已知函数（）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值. 典例剖析 22 解析：（2）第一，依题意，，则 两式相除得，，设， 第二，则，，， ∴，， ∴， 例题 2. 已知函数（）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值. 典例剖析 23 解析：第三，设（），则， 设，则， 所以在单调递增， 则， ∴，则在单调递增， 又，且 ∴， ∴，即的最大值为. 例题 2. 已知函数（）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值. 典例剖析 24 核心思想 换元构造函数证明不等式的关键： 把含双变量的不等式转化为仅含一个变量的等式或不等式进行求解，解题时引入变量构造函数． 方法讲解 练习 1. 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知，，为函数的两个极值点，求的最大值. 点拨:（1）对求导，根据的符号求自变量的范围，进而确定的单调区间； （2）由题设知，是的两个根，由根系关系可得，研究其单调性并求其取值范围，令并构造，利用导数研究单调性求最值即可. 典例剖析 26 解析：（1）当时，，， 则， 令，可得或，令，可得， 所以在，上单调递增，在,上单调递减. （2），由，为的两个极值点， 所以，是方程的两个根，可得，， 练习 1. 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知，，为函数的两个极值点，求的最大值. 典例剖析 27 解析：∴， 又，即、为增函数且大于0，为增函数且大于0， 所以为增函数，故， 令，则， 令，则， 所以在,上单调递减，故的最大值为(3). 练习 1. 已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知，，为函数的两个极值点，求的最大值. 典例剖析 28 点拨: (1)求出的导函数，按a进行分类讨论以确定在区间上值的正负即可作答； (2)由(1)借助韦达定理将进行变形，再构造函数并利用其单调性即可得解. 练习 2. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围. 典例剖析 29 解析：（1）函数的定义域为，， 当时，，当且仅当即“=”，则，在上单调递减， 当时，方程有两个正根为，， 当或时，， 当时，， 于是得在、上单调递减，在上单调递增； 练习 2. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围. 典例剖析 30 解析：（2）因存在两个极值点，且，由(1)知，即，则， 显然，对是递增的，从而有， ， 令， 练习 2. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围. 典例剖析 31 解析： ， 令， ， 即在上单调递增，，则， 于是得在上单调递增， 从而得，即， 所以的取值范围. 练习 2. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围. 典例剖析 32 $