【课件】“天津卷 第20题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦导数应用与多变量不等式，以2025天津卷第20题为例，从切线方程切入，衔接函数单调性、零点存在性等基础，搭建从单变量参数求解到多变量不等式证明的学习支架。 其亮点在于融合分类讨论、分离参数等策略，通过比值代换、隐零点分析培养数学思维（推理与运算）和数学语言（模型构建）能力。如将零点问题转化为函数图像交点，用对数均值不等式放缩证明，助力学生深化逻辑推理，教师可提升教学效率与学生解题能力。

讲解内容：多变量不等式的处理策略——天津卷第20题 参赛人：从良法 李林静 洪陈伟 所在单位：浙江省台州市椒江区台州一中 浙江省台州市玉环市玉环中学 浙江省台州市路桥区路桥中学 题目：2025年天津卷第20题． 已知函数． (1)时，求在点处的切线方程； (2)有个零点，且． (ⅰ)求的取值范围； (ⅱ)证明． 一、试题呈现 二、试题分析 解：(1)当时，，则， 则，且， 故函数在点处的切线方程为． 已知函数． (1)时，求在点处的切线方程； 考查必备知识：导数运算，导数的几何意义 理解概念，灵活运用 已知函数． (2)有个零点，且． (ⅰ)求的取值范围； 求参数范围 直接：概念性质 间接：联系转化 （繁琐） （简单） 思维过程：①由直接到间接； ②由繁到简. 思路一：分类讨论 思路二：分离参数 思路三：换元构造 解法1：分类讨论 令，则． 令，得在(0，e)递增，递减， 按照运用导数研究函数的一般步骤进行 ①当时，在递增． 在上最多一个零点，故不符合题意； 分类要不重不漏 ②当时，方程有唯一根，设． 在递增，在递减． 在上最多两个零点，故不符合题意； 分类要不重不漏 ③当时，方程有两个根， 设，且． 在递增，(，)递减． 在(，)上有唯一零点． ． 用数学语言准确表达 ． 又在递减， ． 故的取值范围为． 剖析：分类讨论法是对原函数直接进行分析，通过分析过程中参数的不同取值导致结果或局部结果不同，从而进行分类讨论．该方法思路直接，但分类标准的界定存在困难． 解法2：分离参数法 利用零点概念得到等式，从而可以变形转化. 问题转化为 与 的图象交点问题. 设，则． 令，解得或，其中； 在上单调递减，在上单调递增； 且当时，；当时，； （变化） （确定） 如图作出函数的图像，要使函数有3个零点， 在内有3个根 结合图像可知，． 故的取值范围为． 剖析：求解参数范围，分离参数法是常用的方法．利用零点的含义得到等式，并对等式进行变形，从而分离出参数，再构造函数，利用导数研究该函数．从而求出参数的范围. 解法3：换元构造 令，则，所以方程可以转化为 ，即， 设函数． 函数有三个零点， 有三个零点． ．有三个零点． ，令，解得或. 指数与对数可以相互转化. 指数求导后式子更加简洁. 在上递减，在(，)递增， 又 ． ，即， 故的取值范围为． 剖析：对数函数在求导后容易出现对数式，使得导数的分析比较复杂．指数与对数存在内在联系，可以将问题中的对数转化为指数． 已知函数有3个零点，且． (ⅱ)证明． 1. 多变量问题？ 单变量问题 （转化） ①代入消元法，寻找联系. ②整体消元法，比值代换. ③利用不等式，适当放缩. ④对称化构造，简化证明. 已知函数有3个零点，且． (ⅱ)证明． 2. 不等式是 否变形？ ①减号乘开，左侧两个对称结构 右侧也变成两项 ② 证明． 已知函数有3个零点，且． (ⅱ)证明． 3. 对称结构如何 求范围? ①比值代换. ②对数均值不等式. 类似 要研究上界，而要研究下界. 解法分析 比值代换 引入新变量表示原有变量，从而转化为单变量处理 放缩证函数不等式 通过放缩，将某一个变量放消去，从而实现消元 换元-差比定理-对均 换元转化，用差比定理得到对数均值不等式，实现消元 对称化构造 要证变量对称化构造，用同一区间函数单调性实现消元 解法1：比值代换 设，易得在(，)上单调递增，在上单调递减． 结合函数图象可得，于是 ． 要证， 只需证． 设，则，结合，可得． 于是．故只需证时，． 只需证时，， 只需证时，． 构造函数易证上述不等式． 事实上是的一个经典放缩． 其中与曲线在(，)处相切． 于是证得了． 只需证时，． 同理证． 由于作比值代换需要精确其范围，因此需要将的范围进一步缩小． 因为，所以． 同理设，因为，则． 结合，可得． 于是．要证， 只需证时，． 只需证时，． 只需证时，． 为了求函数最值方 便，作适当的变形． 构造函数， 则． 设， 则，显然在上单调递减． ，所以存在，使得． 导函数的零点求不出来，因此需要进一步研究导函数，通过隐零点来求函数的最小值． 于是在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 且，即． 所以，显然有．于是． 消去超越式， 剖析：证明多变量不等式问题，需要消元．这里采用比值代换的手段，化多变量为单变量．当导函数的零点求不出来时，需要通过隐零点来估计出函数最值的范围． 解法2：放缩证函数不等式 设，易得到在(，)上单调递增，在上单调递减． 由题知， 于是． 两式相减得， 由对数平均值不等式， 所以． 这里用对数平均值作放缩，其与是等效的， 对数平均值不等式的证明本质就是的两条“曲线夹”．即 与 “曲线夹” 由于没办法取对数，因此可以考虑放缩，达到消元的目的． ，于是， 因为，所以 因为．   剖析：近两年天津卷导数题的关键常数均不是“最佳的”，本题不等式的右边常数也不是最佳上界．这为放缩证明提供了便利． 方法三：换元—差比定理—对均 令，得． 设，则 在(,)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 且当时，；当时，； 如图作出函数的图象， 如图作出函数的图象， 结合图像可知，．由图像可知，， 设，则， 满足，由②③可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为， 则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在(，)上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即． 而由，可知成立，故命题得证． 剖析：法三与法二大同小异，法三通过换元将变换为熟悉的，我们对单字母比较适应，对对数结构有距离感，其实本质没有变化． 原问题等价于，有三个不同实根， 结合函数的图像可知， 故只需证且． 方法四：对称化构造 下面先用对称化构造证明，因为， 要证，只需证， 只需证 ， 两边取对数，只需证. 构造函数， 下证：时，， ，则在上递减． 于是，得证． 同理用对称化构造证明， 只需证 ， 只需证， 为了求导的方便，这里将放缩为． 于是， 令，下证时，即可． 2025年天津卷第20题导数大题，依然是把关题．第(1)问属基础问题，求某点处的切线方程，难点在于复合函数求导．第(2)问属于中档题，给定含参函数，已知零点个数，求参数取值范围，常见的方法有分离参数法、构造函数法和数形结合法(部分分离法的应用)．第(3)问是求零点之间的代数关系，类似于极值点偏移，是对称结构零点的上界和下界的估计，但是增加了零点个数，变化为三零点问题，重点考查了逻辑推理能力、运算求解能力． 整体感悟： 本题还是考察常用的好函数，但复杂的地方在于通过换元后得到“好函数”．为此在平时教学中对常用“好函数”的导数及图形变换要引导学生熟练掌握，重基础重落实． 其次多种方法均是进行变换后变为常用方法：构造函数、比值代换、对数均值不等式，难点在于变换时可用差比定理，简单的飘带放缩等，运用比较灵活，有一定的分层作用! 真正体现了高考选拔人才的三个标准：①具有扎实的学科基础知识；②具有良好的思维素质；③具有批判意识和实践技能． 1.已知函数 ． (1)求在点(，)处的切线方程； (2)有个零点，且 ． (ⅰ)求的取值范围； (ⅱ)证明: ． 三、变式探究 2.已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有个零点， 其中． (ⅰ)求实数的取值范围； (ⅱ)求证： ． 三、变式探究 四、溯源课标 能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟函数知识之间的联系，认识研究函数性质的重要性． 四、溯源课本 设，两个函数的图象如图所示． 判断的图象与之间的对应关系． 新人教A版选修二89页例4 四、溯源课本 证明不等式： 新人教A版选修二94页练习2 四、溯源课本 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 新人教A版选修二104页习题19 四、溯源高考 已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)已知函数的与的关于直线对称， 证明：当时，； (3)如果，且，证明：. 2010年天津卷 五、反思与建议 1.高考真题研究是关键 2010年天津卷首创了零点、极值点偏移，此后极值点偏移经久不衰.大多数是证明两个零点的关系．然而2025年天津卷导数压轴题第三问不按“套路”出牌，旧瓶装新酒，考查三个零点的关系．本题的情景是似曾相识的——多零点大小度量问题．我们平时遇到的大多数是双零点，本题做了加强变为三零点，重点考查函数思想、化归与转化思想．精雕细琢的高考题是我们教学备考的最重要财富，必须研究透彻和领悟明白.总结出一类问题的解题规律和方案. 五、反思与建议 1.高考真题研究是关键 教学中要让学生经历分析、探究、模仿、运用、拓展、迁移等深度学习的过程，积累利用数学思维和方法解决问题的经验． 重视基础，重视基本功，进而重视知识间的融合，锻炼灵活解题能力，复习时候注重各模块、各知识点间的联系，形成学生自己的知识网络，强化学生分析问题、解决问题，即深度学习的能力． 五、反思与建议 2.重视研究教材 试题的部分内容直接源于教材，与教材中的例题、练习、习题融合、嫁接而成，这种命题思路对中学教学以课程标准为纲、教材为本，重视研究教材具有正向引导作用．我们平时在复习备考中要重视教材，把用好教材落到实处． $