【课件】“新高考1卷 第16题 ”-2025年第七届全国高考数学讲题比赛暨高考试卷分析研讨会（北部）

该高中数学课件聚焦数列递推与等差数列证明、导数与数列求和的综合应用。从等差数列定义切入，通过构造新数列建立递推关系与等差数列的联系，再延伸到导数运算与数列求和技巧的结合，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于融合多种解题方法、回溯教材与高考真题，结合变式拓展。通过构造新数列培养数学思维（推理能力），用导数与数列结合发展数学语言（模型观念），如第二问多种求和方法实例提升思维灵活性。助力学生夯实基础与综合应用能力，为教师提供系统教学资源和分层教学素材。

2025年高考数学全国I卷第16题 参赛人：景维龙 所在单位：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市 乌鲁木齐市第二十三中学 一、试题呈现 设数列 满足 ， （1）证明： 为等差数列； （2）设 ，求 。 二、题目与解题方法分析 第一问考查数列的递推与等差数列的证明： 可以利用综合法解决，通过递推公式变形构造新数列，即要证明 是等差数列，首先整理递推式得到 ，再构造新数列令 ，根据等差数列的定义可知 是以 为公差的等差数列，即 为等差数列； 也可以利用分析法，直接从要证的结果出发，令 ，只需证明数列 为等差数列，此时变形得 ，代入原式可得 ，即数列 为等差数列。 该小问对数列递推关系的变形能力要求较高，并注重于数列基本性质的理解，体现了数学的转化和化归思想，其把原数列转化为一个新的数列解决问题。 二、题目与解题方法分析 第二小问主要考查导数与数列求和相结合的综合应用，从多项式函数求导出发，考查等差数列乘以等比数列的求和， 即求 在 时多项式值的问题。 二、题目与解题方法分析 思路一：可以给等式两边同乘以等比数列的公比 ，利用错位相减法解决； 二、题目与解题方法分析 思路二：将类指数型数列通项公式 进行裂项分解，其目的是求和时相邻项可以进行加减抵消； 思路三：根据 的和式的结构可以将其和设为 ，根据初始值 和 可求得 即可； 二、题目与解题方法分析 思路四：采用导数的逆运算可以找出一个原函数对其进行求和，即 ，给等式两边关于自变量 求导再将 代入即可。 该小问考查了导数的运算以及数列求和技巧的灵活应用，对考生的代数运算能力的要求较高，体现了函数与方程思想、也渗透了转化与化归的数学思想。 二、题目与解题方法分析 二、题目与解题方法分析总结思维导图 三、试题解答 【第一问解法一-----综合法构造新数列】： 由题意证明如下，因为 ，在数列 中， ， ， ，即 ，∴ 是以 为首项，为公差的等差数列. 【第一问解法二-----分析法构造新数列】： 令 ，则 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列. 【第二问解法一------错位相减法】： 由题意及（1）得， ，在数列 中，首项为 ,公差为 ，∴ ，即 ，再由 知， ， 给等式两边同时乘以 ，有 ，当 且 时，两式相减利用错位相减法可得: 化简可得 ，所以 。 【第二问解法二------裂项相消法】： 由于 ， ， 因此要求得的 ， 根据 通项公式的结构特征，将指数式分解为两项差的结构，即我们可以设 ，比较对应项系数 ， ，解得： ，因此 ，所以 【第二问解解法三-------待定系数法】： 由于数列 ,利用错位相减法经计算其和的形式为 ,其中 ， ，因此设 因为 ,所以由 ； ，解得： ,即 。 【第二问解法四------导数逆用法】 因为 ，给恒等式两边关于自变量 求导可知： ，等式两边同除以 ，再令 ，可得 。 四、回溯教材 1、选择性必修第二册第13页，给出等差数列的概念； 、选择性必修第二册第25页，体现了新数列的构造； 四、回溯教材 3、选择性必修第二册第35页，错位相减思想的渗透； 四、回溯教材 4、选择性必修第二册第40页，体现等差等比数列的加减乘除后构成新数列的解题方法 五、回溯高考真题 （1）（2023年全国甲卷·理17）设 为数列 的前 项和，已知 , (I).求 的通项公式； （II）.求数列 的前 项和 ． （2）（2020年全国III卷·理17）设数列 满足 ， . （I）.计算 ， ，猜想 的通项公式并加以证明； （II）.求数列 的前项和 ． （3）(2021年全国乙卷·文19）设 是首项为 的等比数列，数列 满足 已知 ， ， 成等差数列． (I).求 和 的通项公式； （II）.记 和 分别为 和 的前 项和．证明： . 六、变式拓展 【变式一】：设 （1）当 时， 数列 前 项和，求数列 的通项公式； （2）设 是 的导函数，求 。 六、变式拓展 【变式一解析】 解析:（1） ,当 时， , 当 时， ，所以 （2）由于 , （1） （2） 由（1）-（2）可得 所以 . 六、变式拓展 【变式二】：设数列 满足 ，且 , （1）求证： 是等差数列； （2）给定正整数 ， , 求 的值。 六、变式拓展 【变式二解析】 解析：（1）证明：给等式两边同时乘以 可得 ，因此 数列是以 为公差的等差数列。 （2）由（1）知 数列是以 为公差，是以 为首项的等差数列，其通项公式 ，所以 ， 而 所以 ，而 ，因此 利用错位相减法可解得 。 七、教学启示 （1）重视数列导数的结合问题，更要注重学科内的综合问题； （2）认真研究教材定义、定理、回归课本、深挖教材； （3）回归基础、夯实基础、打好基础； （4）做好高考真题的研究，发展核心素养。 $