1.5.2 平行线的性质 常考题型分类同步练 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 1.5.2 平行线的性质 一、知平行证平行 1．如图，已知，，求证：． 2．已知，如图，、是直线，，，，求证：． 证明：已知 已知 已知 即 3．如图，在中，点D，E分别在，上，且，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 4．如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。 （1）判断AF与BC是否平行，并说明理由． （2）若，求的度数． 5．如图，已知AB//CD，AD平分∠EAC，∠B=∠D. （1）请说明AD//BC： （2）若∠DAC=（2x+15）°，∠B=（105-3x）°，求∠D的度数. 二、光线中的平行 6． 如图，、分别表示两个互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的光线为．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当，则　 　°． 9．如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是　 　°。 10．光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（　　） A．15° B．30° C．60° D．120° 三、平行+拐点,构造辅助线 11． 如图，已知BA//CD//EF，∠1=50°，∠2=60°，则∠3=　 　. 12．如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线a，b之间，若，则　 　度。 13．如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为　 　度. 14．如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知第一次转过的角度为120°，第三次转过的角度为135°，则第二次转过的角度为（　　) A．75° B．60° C．135° D．120° 15． 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 16．如图，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 17．生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　） A． B． C． D． 18．如图，若，则　 　°． 19．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角　 　时，道路才能恰好与平行． 20．如图，，，，，，则，，的数量关系是　 　． 21．问题情景：如图1，． （1）观察猜想：若，．则的度数为__________． （2）探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． 22．已知 AB，CD 是两条平行线，E 为AB，CD所在平面上一点，请根据如图所示的几种情形，探究∠B，∠D 与∠BED 之间的数量关系. （1）图1中，　 　；图2中， 　 　；图3中，　 　. （2）请从所得的三个关系中，选择一个说明理由 四、平行与折叠 23．如图，将一条长方形纸片沿折叠，已知，则　 　． 24．如图，将·一张长方形纸片折叠，如果∠1=50°，则∠α等于（　　） A．40° B．65° C．50° D．75° 25．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 26．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，已知∠1＝75°，则∠2的度数为　 　． 27．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=47°，则∠2-∠1为（　　） A．8° B．10° C．12° D．14° 28．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至 、 .若 ，则用含x的式子可以将 表示为（　　） A． B． C． D． 答案解析部分 1．【答案】证明：∵，∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用，先根据平行线的性质推导角的关系，再利用角的关系判定新的平行关系。解题时由，根据“两直线平行，同位角相等”可得；结合已知条件，通过等量代换得出；最后根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明。 2．【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行. 【解析】【解答】证明：，（已知） ，（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ，（等量代换） ，（已知） ，（等式的性质） 即：， ，（等量代换） ， （内错角相等，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出，从而进行等量代换得，然后求出，进而进行等量代换得，最后根据内错角相等，两直线平行推出. 3．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】 （1）根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，结合已知可得，再根据平行线的判定"内错角相等，两直线平行"即可求解； （2）根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得，结合已知求出的度数，根据角平分线的定义求出即可求解． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．【答案】（1）解：AF∥BC，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠A=∠FDC， ∵∠A=∠C， ∴∠FDC=∠C， ∴AF∥BC； （2）解：∵AB∥CD，DE∥BF， ∴∠A=∠FDC，∠F=∠ADE， ∵∠A+∠F=110°， ∴∠FDC+∠ADE=110°， ∵∠FDC+∠EDG+∠ADE=180°， ∴∠EDG=70°. 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件可得∠FDC=∠C，再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得证； （2）根据平行线的性质及平角的定义计算即可得出答案. 5．【答案】（1）证明：， ， 又， ， （2）解：∵AD 平分∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC=(2x+15)° 由(1) 可知： ∠EAD=∠B， ∴2x+15=105-3x， 解得：x=18， ∴∠B=(105-3x)° =(105-3×18)° =51°， ∴∠D=∠B=51° 【解析】【分析】(1)首先由AB//CD得∠EAD=∠D，进而根据已知条件可得出∠EAD=∠B，然后根据平行线的判定可得出结论； (2)先根据角平分线的定义得∠EAD=∠DAC=(2x+15)°，再根据(1)得∠EAD=∠B，据此可得出2x+15=105-3x，由此可求出x，进而求出∠B的度数即可得出答案. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵MN∥EF，∠1=∠2=50°， ∴∠BCE=∠2=50°， 由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF=50°， ∴∠BCD=180°-50°-50°=80°， 故选：A． 【分析】由平行线的性质得∠BCE=∠2，再由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF，再根据平角的定义即可求解． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：依题意，水面与容器底面平行， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 【分析】根据直线平行性质即可求出答案. 8．【答案】69 【解析】【解答】解：∵潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：69． 【分析】先利用平行线的性质可得，再根据，，利用等量代换可得． 9．【答案】116 【解析】【解答】解：∵ED∥BC，且∠1=∠2 ∴∠1=∠2=∠ABC=32°. ∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°. 故答案为：116. 【分析】根据平行性质（两直线平行，同位角相等）得到∠1与∠2的度数，然后由于∠1、∠2与∠EDF度数之和为180°，因此即可求得∠EDF度数. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵CD∥EF， ∴∠2+∠5 =180°， ∴∠5 =180°-∠2， ∵CE∥DF， ∴∠3=∠5=180°-∠2， ∵AB∥CD， ∴∠4=∠6， ∵AC∥BD， ∴∠6=∠1， ∴∠4=∠1， ∴∠3-∠4 =180°-∠2-∠1 =180°-(∠1+∠2)= 180°-150°= 30°. 故答案为：B. 【分析】由平行线的性质推出∠2+∠5 =180°， ∠4 =∠1，于是得到∠3-∠4=180°-∠2-∠1 解答即可. 11．【答案】110° 【解析】【解答】解：∵ BA//CD， ∴∠BCD=∠1=50°， ∵∠2=60°， ∴∠DCE=∠DCB+∠2=110°， ∵ CD//EF， ∴∠3=∠DCE=110°. 故答案为：110°. 【分析】由平行线的性质可证得∠DCE=∠DCB+∠2=110°，再由平行线的性质得∠3=∠DCE，即可得到答案. 12．【答案】138° 【解析】【解答】解：如图D-1，延长BA， ∵a//b，∠2=48° ∴∠2=∠3=48° ∴∠1=90°+48°=138° 故答案为：138°. 【分析】先 根据平行线内错角相等求出∠3度数，再根据三角形的外角等于与他不相邻的内角和求解∠1。 13．【答案】210 【解析】【解答】解：过∠2顶点做直线l//支撑平台， ∴l//支撑平台//工作篮底部 ∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180° ∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210° ∵∠4+∠5=∠2， ∴∠2+∠3=210° 故答案为：210. 【分析】过∠2顶点做直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解. 14．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE， 则∠DCF+∠CDE=180°， 由题可知∠CDE=135°，∠ABC=120°， 所以∠DCF=45°， 因为行车路线与开始的路线是平行的， 所以AB∥DE， 又CF∥DE， 所以AB∥CF， 所以∠BCF=∠ABC=120°， 所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°， 所以第二次转过的角度为75°. 故答案为：A. 【分析】利用平行线的性质来求解第二次转过的角度。 15．【答案】B 【解析】【解答】解：过点E作EO//MN， ∵PQ//MN， ∴EO//PQ//MN， ∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°， 设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β， ∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α， ∴70°+β=180°-2α，α=60°-β， 解得α=50°，β=10°， ∴∠CED=∠AEF=50°， 故答案为：B. 【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案. 16．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点C作， ， ， ， . 故答案为：C. 【分析】过点C作，易证，利用平行线的性质得到的度数，进而求得的度数. 17．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过B作， ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。 18．【答案】180 【解析】【解答】解：如图所示，过点O作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 【分析】过点O作，先利用平行线的性质可得．再结合，利用角的运算和等量代换可得． 19．【答案】145° 【解析】【解答】解：过点B作BF∥AD， ∵AD∥CE， ∴BF∥AD∥CE， ∴∠1=∠A=110°，∠2+∠C=180°， ∵∠ABC=∠1+∠2=145°， ∴∠2=35°， ∴∠C=145°． 故答案为：145°． 【分析】首先过点B作BF∥AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行即可得BF∥AD∥CE，然后根据两直线平行，内错角相，可得∠1=∠A=110°，然后由角的构成算出∠2，进而根据二直线平行，同旁内角互补得∠2+∠C=180°，从而代值计算即可. 20．【答案】 【解析】【解答】解：过C，D点分别作，， ∵， ∴， ∴，， 又 ∴ ． 故答案为：． 【分析】过C，D点分别作，，则有，根据平行线的性质，，则 ． 21．【答案】（1） （2）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到，则； （2）同（1）求解即可； （3）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等（同旁内角互补）得到，再根据角的和差及等量代换得到，最后再整体代入得到． 22．【答案】（1）∠B+∠D=∠BED；∠B+∠D+∠BED=360°；∠B=∠BED+∠D （2）若证明∠B+∠D=∠BED，如图： 过点E作EF//AB， ∴∠FEB=∠B. ∵AB//CD， ∴EF//CD. ∴∠FED=∠D. ∴∠B+∠D=∠FEB+∠FED=∠BED. 若证明∠B+∠D+∠BED=360°，如图： 过点E作EF//AB， ∴∠FEB+∠B=180°. ∵AB//CD， ∴EF//CD. ∴∠FED+∠D=180°. ∴∠FEB+∠B+∠FED+∠D=∠B+∠BED+∠D=360°. 即∠B+∠BED+∠D=360°. 若证明∠B=∠BED+∠D，如图： 过点E作EF//AB， ∴∠FEB+∠B=180°. ∵AB//CD， ∴EF//CD. ∴∠FED+∠D=180°. ∴∠FEB+∠B=∠FED+∠D. ∴∠B=∠D+∠FED－∠FEB=∠D+∠BED. 即∠B=∠D+∠BED. 任选一个进行证明即可 【解析】【解答】解：（1）从图1可得∠B+∠D=∠BED；从图2可得∠B+∠D+∠BED=360°；从图3可得∠B=∠BED+∠D. 故答案为：∠B+∠D=∠BED；∠B+∠D+∠BED=360°；∠B=∠BED+∠D. 【分析】（1）根据图形得到结论即可； （2）证明结论，先过点E作FE//AB，结合AB//CD，可得EF//CD，利用平行线的性质以及角的运算即可得到结论. 23．【答案】40° 【解析】【解答】解：如图： ， ， 由折叠的性质可得：， ∴∠CBF=180°-∠1-∠ABF=40°. 故答案为：40°． 【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DAB=∠1=70°，由折叠性质得∠1=∠ABF=70°，进而根据平角的定义，由∠CBF=180°-∠1-∠ABF即可算出答案. 24．【答案】B 【解析】【解答】解：如下图 ∵这是长方形纸片， ∴∠2=∠1=50°. ∵折叠， ∴∠α+∠2=∠3，且∠α+∠3=180°. ∴∠α=(180°-50°)÷2=65°. 故答案为：B. 【分析】根据平行得到角相等，结合折叠的性质，得到∠α度数. 25．【答案】B 【解析】【解答】解： ∵把矩形ABCD沿EF折叠， ∴，即， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B． 【分析】先利用折叠的性质及可求出，再利用平行线的性质求出． 26．【答案】30° 【解析】【分析】先根据平行线的性质由上下两条边平行，得到∠1=∠3=75°，再根据折叠的性质得∠4=∠3=75°，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°． 【解答】解： 由折叠的性质可知：∠3=∠4， ∵此纸片为长方形， ∴∠1=∠3， ∵∠1=75°， ∴∠3=∠4=∠1=75°， ∴∠2=180°-∠3-∠4=30°， 故答案为：30° 【分析】根据“两直线平行，内错角相等”可得∠1=∠3，根据折叠的性质可得∠3=∠4，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°． 27．【答案】A 【解析】【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFG=47°， 由折叠得∠DEF=∠FEM=47°， ∴∠1=180°-∠DEF-∠FEG=86°， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°， ∴∠2-∠1=94°-86°=8°. 故答案为：A. 【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DEF=∠EFG=47°，由折叠得∠DEF=∠FEM=47°，根据平角定义求出∠1=86°，再根据二直线平行，内错角相等∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°，最后求两个角的差即可. 28．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，延长EF到H. ∵这是长方形纸带， ∴BC∥AD. ∴∠DEF=∠CFH. ∵折叠， ∴∠CFH=∠C'FH。 ∴∠DEF=∠CFH=∠C'FH=. 故答案为：A. 【分析】根据折叠的性质以及长方形的性质可得. 学科网（北京）股份有限公司 $