19.1二次根式及其性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 人教版八年级（下） 1 定义 二次根式的双重非负性 二次根式 中，a____0且 ___0 二次根式 我们把形如__________的式子叫做二次根式 ≥ ≥ 复习导入 知识点1：二次根式的双重非负性 那么当 a≥0 时， 的大小是怎样的呢？ 有意义 a≥0 回顾之前思考的过程. 分别表示 65，， ，0 的 根． 算术平方 探究 探究新知 0 1.了解并掌握二次根式的概念. 2.利用二次根式的概念解决具体问题. 学习目标 课堂导入 圆形喷泉的面积为 70πm², 那么它的半径是多少？ 这个式子有什么特点呢？ 圆的面积公式是 S=πr²,所以半径 r =. 新知探究 思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）面积为 3 的正方形的边长为 ，面积为 S 的正方形的边长为 . （2）一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130m2，则它的宽为 m. 被开方数大于0 6 探究1 根据算术平方根的意义填空： 3 0.5 0 解：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于3的非负数,因此，()2=3. 同理，，，分别是，，0的算术平方根，即得上面的等式. 一般地， ()2= (≥0). 性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，“ ”称为二次根号．二次根式也是代数式. 1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”． 9 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（a≥2）； （6）（a＜b）． 例1 指出下列哪些是二次根式. √ √ √ 二次根式 必须含有二次根号“”； 被开方数 a≥0 ； 被开方数 a 可以表示一个数，也可以表示一个含有字母的式子． 问题：填空： ＝ ； 2 0.1 0 【拓展】当 a＞0 时， 当 a＝0 时， a 0 知识点3： 的性质 ＝a (a≥0). 即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身. 一般地，根据算术平方根的意义： 【知识要点】 【思考】当 a 为任意实数时， 都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 不成立. 探究新知 【问题1】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 解：由 x2 ≥ 0，得 x 是任意实数， ∴ 当 x 为任意实数时， 都有意义. 由 x3 ≥ 0，得 x ≥ 0， ∴ 当 x ≥ 0 时， 有意义. 探究新知 【问题2】二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 当 a>0 的时候， 表示 a 的算术平方根，则 >0； 当 a=0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则 = 0； 当a≥0时， 是非负数，即 ≥ 0. 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 跟踪训练 （1） （2） （3） 解：（1）由 a-1≥0 得，a≥1. 所以当 a≥1时， 在实数范围内有意义. （2）由 ≥0 且 3-a≠0 得，a<3. 所以当 a<3 时， 在实数范围内有意义. 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 跟踪训练 （1） （2） （3） 解：（3）因为不论a为何值， ≥0恒成立，所以a取任意实数， 在实数范围内都有意义.     1.被开方数（或式）中含有分母的时候，分母不能为0；2.被开方数（或式）的非负性. 16 若 ，求a -b+c的值. 归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零. 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 二次根式的实质是表示一个非负数的算术平方根. 二次根式本身也是非负数. 双重非负性 新知应用 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 针对训练 解： 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 典例精析 例3 若 求a -b+c的值. 例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a 取任何实数 a | a | 意义 表示一个非负数 a 的算术平方根的平方 表示一个实数 a 的平方的算术平方根 议一议：如何区别 与 ？ 返回 B 22 【例2】当a取何值时，下列根式有意义? (1);　 (2);　 (3)． 解：(1)由题意得≥0，解得a≥-1.　 (2)由题意得≥0且2-a≠0，解得a<2. (3)由题意得(a-1)2≥0，则a是任意实数. 小结:要使二次根式有意义,就要使其被开方数为非负数. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　．  已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x值是　　　 　．  x>1 1(或2或3) 1．[2025安徽]下列计算正确的是(　　) A．＝－a　 B．＝－a C．a3·(－a)2＝a4 D．(－a2)3＝a6 $