19.1 二次根式及其性质（第2课时）课件 2025-2026学年人教版八年级 数学下册

二次根式及其性质（第2课时） 数学人教版八年级下册 1 一般地，我们把形如_________的式子叫作二次根式． (a≥0) 二次根式是_________ ． 代数式 整数分数 类比 概念 类比 整式分式 二次 根式 概念 概念 基本性质 基本性质 基本性质 运算 运算 运算 问题1 结合定义，我们知道，在二次根式 中，被开方数 a≥0，那么对于 这个二次根式整体来说，它的取值范围又是什么呢？ 表示 a 的算术平方根， 分析： 当 a≥0 时， ≥0． 当 a＞0 时， ＞0； 当 a＝0 时， ＝0 ． 新知 （1）几个常见的非负数： ，|a|，a2 ； （2）若 ＋|b|＋c2＝0，则 a＝0，b＝0，c＝0．即若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数均为 0． 二次根式的性质 1（双重非负性）： （1）被开方数 a≥0（二次根式有意义的前提）； （2）二次根式本身 ． ≥0(a≥0)． ≥0 例1 已知实数 m，n 满足|m＋3|＋ ＝0，则 m＝_____，n＝______． 　　解：由题意可得 　　解得 　　所以 m＝－3， n＝1． －3 1 6 例2 已知 ，求－xy 的平方根． 　　解：由题意可得 　　解得 　　所以 ． 　　所以－xy 的平方根是±2． 7 问题2 （1）根据算术平方根的意义填空： ＝________； ＝_________； ＝________； ＝_________． 　　分析： 是 3 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 3 的非负数．因此， ＝3 ． 同理，　　， ， 分别是 0.5， ，0 的算术平方根． 3 0.5 0 问题2 （1）根据算术平方根的意义填空： ＝________； ＝_________； ＝________； ＝_________． 3 0.5 0 （2）根据上述结果，请你概括出共同特征，猜想： ＝ _____(a≥0)． a 新知 二次根式的性质 2：一般地 ． ＝a(a≥0) （1）正用公式：如 ＝2， ； （2）逆用公式：若 a≥0，则 a＝ ，如 5＝ ． 例3 计算： 　　（1） ； （2） ； （3） ． 　　（2） ＝1.5； 　　解：（1） ＝5； 　　（3） ＝ ． ＝ a(a≥0) 11 　　解： 　　（1） ＝22× ＝4×5＝20； 例4 计算： 　　（1） ； （2） ． 　　（2） ＝ × ＝49× ＝14． (ab)2＝a2b2 12 问题3 ＝________； ＝_________； ＝_______； ＝_________． 0 0.1 （1）根据算术平方根的意义填空： 同理，可以解释其他结果． 　　分析： 是 22 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 22 的非负数．因此， ＝2． 2 问题3 ＝________； ＝_________； ＝_______； ＝_________． 0 0.1 （1）根据算术平方根的意义填空： 2 （2）根据上述结果，请你概括出共同特征，猜想： ＝ _____(a≥0)． a 当 a＜0 时，这个式子还成立吗？ 思考 　　由此可以猜想： ＝－a (a＜0)． 　　分析： ＝ ＝3； ＝ ＝ ． 3 ＝ _____(a≥0)． a 当 a＜0 时，这个式子还成立吗？ ＝________； ＝_________． 　　举例： 你能结合算术平方根的意义进行分析吗？ 新知 二次根式的性质 3：一般地， ＝|a|＝ 例5 计算： 　　（1） ； （2） ； （3） ； 　　解：（1） ＝ ＝4； 　　（2） ＝ ＝5； 　　（4） ； （5） ； （6） ． 17 例5 计算： 　　（1） ； （2） ； （3） ； 　　（4） ； （5） ； （6） ． 　　解：（3） ＝0.5； 　　（4） ＝ ＝ ； 18 例5 计算： 　　（1） ； （2） ； （3） ； 　　（4） ； （5） ； （6） ． 　　解：（5） ＝ ＝ ； 　　（6） ＝ ＝ ． 19 问题4 (a≥0) 表示非负数 a 的 算术平方根的平方 表示实数 a 的平方 的算术平方根 a 为任意实数 a a2 先开方后平方 先平方后开方 a≥0 表示意义 取值范围 被开方数 运算顺序 运算结果 (a≥0)和 的结果看似相近，它们的适用条件和运算顺序有什么不同？ a |a| 　　1．计算： 　　（1） ； （2） ． 　　解：（1） ＝3； 　　（2） ＝32× ＝9×2＝18． 2．计算： 　　（1） ； （2） ； 　　（3） ； （4） ． 　　解：（1） ＝0.3； 　　（2） ＝ ＝ ； 2．计算： 　　（1） ； （2） ； 　　（3） ； （4） ． 　　解：（3） ＝ ＝ ； 　　（4） ＝ ＝ ＝ ． － － 二次根式的性质 ≥0(a≥0) ＝a(a≥0) ＝|a|＝ $