精品解析：云南省红河州2026年初中毕业生学业质量检测一模数学

2026届初中毕业生学业质量检测数学试卷 （全卷三个大题，共27小题，共8页：满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 刘徽在为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之．正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量．如果零上记作，那么零下可记作（ ） A. °C B. 5°C C. °C D. 12°C 2. 预计到2025年底，我国高铁运营里程已突破50400公里．数据50400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 数学符号“”可以看作是两条平行的直线被第三条直线所截而成，放大后如图所示．若，（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 为落实“五项管理”中体质管理要求，某校开展了跳绳活动．体育老师统计了某小组5名同学一分钟跳绳次数（单位：次）分别为：，，，，．这组数据的中位数是（　　） A. 159 B. 160 C. 165 D. 166 6. 下列是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 球体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥 7. 七边形的内角和是（　　） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 8. 在一节人工智能实践课上，学生利用AI设计了四个融入红河州哈尼梯田元素的图标，其中可以看作中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 9. 要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 按一定规律排列的代数式：，其中第2026个代数式是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 13. 红河州近期发布“红河蓝莓”区域公用品牌战略，以“爱护眼睛，多吃云南红河蓝莓”的健康理念深入人心．某果园2023年蓝莓总产量为50吨，2025年蓝莓总产量为72吨，设该果园蓝莓总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：_________． 17. 如图，反比例函数的图象过点，则的值为_____． 18. 如图，若，且，则_____． 19. 某中学开展“非遗文化进校园”系列活动，为了解学生对国家级非遗项目：彝族烟盒舞、阿细跳月、建水紫陶烧制技艺、蒙自过桥米线制作技艺的喜好情况，随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成扇形统计图．根据图中信息，该校3000名学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有_____名． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 已知：如图，平分，．求证：． 22. 某生活超市用1600元购进一批饮料，进入市场后供不应求，又用2800元购进第二批这种饮料，第二批饮料的数量是第一批数量的2倍，但单价比第一批少元．求购进第一批饮料的单价． 23. 聚焦青少年红色教育，以故事为纽带、以行走为载体，让红色基因融入青春血脉．某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的爱国主义研学活动，策划了三个研学基地供学生选择：朱德旧居陈列室，张永和纪念馆，张冲故居，且每个基地被选择的可能性相等．记选择朱德旧居陈列室为A，选择张永和纪念馆为B，选择张冲故居为C，每名学生只能任意选择一个基地．记小刚的选择为，小红的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小刚和小红选择同一基地的概率． 24. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在“有一种叫云南的生活．旅居云南”系列新闻发布会之“旅居红河，村长有请”文旅推广活动中，红河州迎来旅游旺季．前来旅行的游客纷纷选购具有民族特色的文创产品，其中，建水紫陶印章书签与哈尼梯田稻穗挂饰颇受甲、乙、丙三位游客的青睐． 素材1 游客具体购买记录如下表所示： 建水紫陶印章书签/份 哈尼梯田稻穗挂饰/个 总价/元 甲 3 1 50 乙 1 2 50 素材2 丙游客计划购买这两种文创共10件，且建水紫陶印章书签的数量不超过哈尼梯田稻穗挂饰数量的3倍． 请完成下列任务： 请完成下列任务： （1）任务1：求建水紫陶印章书签和哈尼梯田稻穗挂饰的单价； （2）任务2：丙游客选择哪种购买方案，能使购买费用最少？ 25. 如图，在中，，是的中点，分别过点作，过点作，交点为．记的周长为的周长为，四边形的面积为． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 26. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求的值； （2）抛物线过点，当自变量的取值范围是时，的最大值与最小值的差记为，且，求的值． 27. 如图，是四边形的外接圆，为的直径，延长至点，连接，，使得，． （1）求的度数： （2）求证：是的切线； （3）探究：若，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含的代数式表示：如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业生学业质量检测数学试卷 （全卷三个大题，共27小题，共8页：满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 刘徽在为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之．正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量．如果零上记作，那么零下可记作（ ） A. °C B. 5°C C. °C D. 12°C 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的零上温度的记法，即可推出零下温度的记法． 【详解】解：∵正负数用于表示相反意义的量，题目规定零上记作，即零上记为正， ∴与零上意义相反的零下记为负，因此零下可记作． 2. 预计到2025年底，我国高铁运营里程已突破50400公里．数据50400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需确定和的值即可得到答案． 【详解】解：将50400转变为符合要求的，可得，满足 ∵将原数变为时，小数点向左移动了4位，原数绝对值大于10， ∴ 因此． 3. 数学符号“”可以看作是两条平行的直线被第三条直线所截而成，放大后如图所示．若，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴A错误． B、根据合并同类项法则：同类项相加，系数相加，字母和指数不变，，∴B正确． C、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，∴C错误． D、根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，∴D错误． 5. 为落实“五项管理”中体质管理要求，某校开展了跳绳活动．体育老师统计了某小组5名同学一分钟跳绳次数（单位：次）分别为：，，，，．这组数据的中位数是（　　） A. 159 B. 160 C. 165 D. 166 【答案】C 【解析】 【详解】解：将这组数据从小到大排序，得：， 这组数据共有个，个数为奇数， 排序后最中间位置的数，就是中位数，即． 6. 下列是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 球体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】由三视图条件分析判断即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体， 根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是正方体． 7. 七边形的内角和是（　　） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 【答案】D 【解析】 【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 【详解】（7﹣2）×180°=900°． 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 8. 在一节人工智能实践课上，学生利用AI设计了四个融入红河州哈尼梯田元素的图标，其中可以看作中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、该图形绕中心旋转后能与原图形重合， 是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合， 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合， 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合， 不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 9. 要使分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式有意义要求分母不为0，据此列不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件为分母不等于0， ∴， 解得：． 10. 按一定规律排列的代数式：，其中第2026个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出规律，可知第一个代数式为，第二个代数式为，第三个代数式为，从而得出第个代数式为，然后代入即可． 【详解】解：第一个代数式为：，即， 第二个代数式为：，即， 第三个代数式为：，即， 第四个代数式为：，即， 那么第个代数式为：， ∴第2026个代数式为：，即． 11. 如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图的步骤可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：由作图步骤可知，射线是的角平分线，  ， ． 12. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求正切值．根据正切函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 13. 红河州近期发布“红河蓝莓”区域公用品牌战略，以“爱护眼睛，多吃云南红河蓝莓”的健康理念深入人心．某果园2023年蓝莓总产量为50吨，2025年蓝莓总产量为72吨，设该果园蓝莓总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据年平均增长率依次推得目标年份的产量，结合已知产量列出方程即可． 【详解】解：∵2023年蓝莓总产量为50吨，年平均增长率为 ∴2024年蓝莓总产量为吨 ∴2025年蓝莓总产量为吨 又∵2025年蓝莓总产量为72吨 ∴可列方程为． 14. 如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，由的度数即可求出的度数． 【详解】解：与都是所对的圆周角，  ，  ， ． 15. 如图，扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形弧长公式求出扇形的弧长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：扇形的半径为，圆心角为， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长， 该圆锥的底面圆的半径为． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式5，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 如图，反比例函数的图象过点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法，将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出的值． 【详解】解：由图象可知，点的坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得． 18. 如图，若，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，再根据比例的性质，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 某中学开展“非遗文化进校园”系列活动，为了解学生对国家级非遗项目：彝族烟盒舞、阿细跳月、建水紫陶烧制技艺、蒙自过桥米线制作技艺的喜好情况，随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成扇形统计图．根据图中信息，该校3000名学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有_____名． 【答案】 600 【解析】 【分析】利用该校总学生人数乘以扇形统计图中“彝族烟盒舞”的学生的占比即可． 【详解】解：根据题意可知，该校学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有（名）． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式乘方的运算法则分别化简每一项，再合并计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 21. 已知：如图，平分，．求证：． 【答案】 证明：∵平分， ， 在与中 ， ， ． 【解析】 【分析】证明，即可解答． 【详解】略 22. 某生活超市用1600元购进一批饮料，进入市场后供不应求，又用2800元购进第二批这种饮料，第二批饮料的数量是第一批数量的2倍，但单价比第一批少元．求购进第一批饮料的单价． 【答案】 购进第一批饮料的单价为元 【解析】 【分析】本题利用“数量总价单价”的关系，设购进第一批饮料的单价为元，则第二批饮料的单价为元，根据“第二批饮料的数量是第一批数量的2倍”建立等量关系，列分式方程求解，检验后得到结果． 【详解】解：设购进第一批饮料的单价为元，则第二批饮料的单价为元， 根据题意，得，  解得， 检验： 当时，， 因此是原分式方程的解，且符合题意． 答： 购进第一批饮料的单价为4元． 23. 聚焦青少年红色教育，以故事为纽带、以行走为载体，让红色基因融入青春血脉．某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的爱国主义研学活动，策划了三个研学基地供学生选择：朱德旧居陈列室，张永和纪念馆，张冲故居，且每个基地被选择的可能性相等．记选择朱德旧居陈列室为A，选择张永和纪念馆为B，选择张冲故居为C，每名学生只能任意选择一个基地．记小刚的选择为，小红的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小刚和小红选择同一基地的概率． 【答案】（1）共9种等可能的结果 （2） 【解析】 【分析】（1）通过列表即可得出所有可能结果数； （2）从（1）可知小刚和小红选择同一基地的结果数，然后用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：列表如下： A B C A B C 那么共有9种等可能的结果； 【小问2详解】 解：从（1）可知，共有9种等可能的结果，小刚和小红选择同一基地的结果有3种，那么小刚和小红选择同一基地的概率为． 24. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在“有一种叫云南的生活．旅居云南”系列新闻发布会之“旅居红河，村长有请”文旅推广活动中，红河州迎来旅游旺季．前来旅行的游客纷纷选购具有民族特色的文创产品，其中，建水紫陶印章书签与哈尼梯田稻穗挂饰颇受甲、乙、丙三位游客的青睐． 素材1 游客具体购买记录如下表所示： 建水紫陶印章书签/份 哈尼梯田稻穗挂饰/个 总价/元 甲 3 1 50 乙 1 2 50 素材2 丙游客计划购买这两种文创共10件，且建水紫陶印章书签的数量不超过哈尼梯田稻穗挂饰数量的3倍． 请完成下列任务： 请完成下列任务： （1）任务1：求建水紫陶印章书签和哈尼梯田稻穗挂饰的单价； （2）任务2：丙游客选择哪种购买方案，能使购买费用最少？ 【答案】（1）建水紫陶印章书签单价为10元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为20元/个 （2）购买建水紫陶印章书签7份，哈尼梯田稻穗挂饰3个时，购买费用最少 【解析】 【分析】（1）根据表格中甲、乙的购买总价信息，设建水紫陶印章书签单价为元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为元/个，列二元一次方程组即可求解单价． （2）设购买建水紫陶印章书签份，总费用为元，则购买哈尼梯田稻穗挂饰个，先根据数量限制条件得到的取值范围，再列出总费用的一次函数表达式，利用一次函数的增减性即可得到费用最少的购买方案． 【小问1详解】 解 ：设建水紫陶印章书签单价为元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为元/个． 根据题意得，  解得，  答：建水紫陶印章书签单价为10元/份，哈尼梯田稻穗挂饰单价为20元/个． 【小问2详解】 解：设购买建水紫陶印章书签份，总费用为元，则购买哈尼梯田稻穗挂饰个， 其中为非负整数，且 ． 根据题意得 ， 解得 ，  ∴的取值范围为 ，且为整数， 总费用 ， ∵， ∴随的增大而减小． ∴当取最大值7时，取得最小值， 此时． 答：购买建水紫陶印章书签7份，哈尼梯田稻穗挂饰3个时，购买费用最少． 25. 如图，在中，，是的中点，分别过点作，过点作，交点为．记的周长为的周长为，四边形的面积为． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两组对边平行可证是平行四边形，进而根据邻边相等可知是菱形； （2）根据两个三角形的周长关系，可知，根据四边形的面积可知，所以可知的取值，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的周长为的周长为， ∴，， ∴， 三角形的面积为：， ∴， 所以四边形的面积：， ∴ ∴ ∴． 26. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求的值； （2）抛物线过点，当自变量的取值范围是时，的最大值与最小值的差记为，且，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式进行求解即可； （2）由（1）可得，即，然后代入可得，进而可分当时，即，当时，当时，即，最后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线的解析式为， ∴把点代入得：，则有， ∴， ， ∴ ； ①当时，即，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； ②当时，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； ③当时，即，此时， 若，则时，此时， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 若，即，此时， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：m的值为或． 27. 如图，是四边形的外接圆，为的直径，延长至点，连接，，使得，． （1）求的度数： （2）求证：是的切线； （3）探究：若，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含的代数式表示：如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （3）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）通过直径所对的圆周角等于90度即可得出答案； （2）先通过等腰三角形的性质，得到，推出，接着利用外角，推出，得到，最后通过得证； （3）连接，不妨设，由题意可知，先证明，得到，再证明，那么，得到，即，最后代入化简计算即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是定值，定值为，理由如下： 连接，不妨设，由题意可知， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $