精品解析：内蒙古自治区通辽市2025-2026学年度第二学期期中考试七年级数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中考试 七年级数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列选项中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 3. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若点在轴上，则点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 5. 机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 135° 6. 老师让四名同学在黑板上各写出一个无理数，你认为写错的是（ ） A. B. C. 3.030030003 D. 7. 下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 9. 已知，则的平方根是__________． 10. 点的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为______． 11. 一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 12. 图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则___． 三、解答题：（本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、解题过程或计算步骤．） 13. 计算 （1） （2）求下列各式中的值． ①； ②． 14. 已知某正数的两个不相等的平方根是和，的立方根是，是的整数部分． （1）求、、的值； （2）求的平方根． 15. 篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（ ① ）， ∴（ ② ） ∴， ∵， ∴（ ③ ）． ∵于点B， ∴（ ④ ）， ∴， ∴ ⑤ （平角的定义）． 16. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上．求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 17. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，． （1）把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形； （2）把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；写出平移后三点的坐标，画出三角形； （3）在x轴上是否存在点Q，使的面积与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 18. 【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究： 【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 七年级数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列选项中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可． 【详解】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得的，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合． 2. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可． 【详解】∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定． 3. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设M点表示的数为x，则，再根据每个选项中的范围进行判断． 【详解】解：如图，设M点表示的数为x，则， ∵，，， ∴符合x取值范围的数为，， 又∵M点更靠近， ∴点M表示的数可能是． 4. 若点在轴上，则点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】先利用y轴上点的横坐标为0的性质求出n的值，再计算得到点B的坐标，根据象限内点的坐标特征判断点B所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， 把代入点的坐标得，， ∴点的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点在第二象限． 5. 机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 135° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 6. 老师让四名同学在黑板上各写出一个无理数，你认为写错的是（ ） A. B. C. 3.030030003 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数是无限不循环小数这一特征． 根据无理数“无限不循环小数”的定义，逐一分析选项中的数是否为无理数． 【详解】A、，7是质数，其平方根无法化简为整数或分数，属于无限不循环小数，是无理数； B、（圆周率），是典型的无限不循环小数，属于无理数； C、3.030030003，为有限小数，故属于有理数，不符合无理数的要求； D、，9不是完全立方数，其三次根无法化简为整数或分数，属于无限不循环小数，是无理数． 故选：C． 7. 下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根概念垂线性质平行线性质及逆命题真假判断，逐一分析每个说法即可得到正确个数． 【详解】解：①一个数的平方根是它本身，则这个数是0，∴①正确． ②只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，题目未说明同一平面，∴ ②错误． ③只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，题目未说明两直线平行，∴③错误． ④“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如两个直角相等但不一定是对顶角，∴逆命题是假命题，④错误． 综上，正确的说法只有个，故选A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点，，的坐标，归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 归纳类推得：点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 9. 已知，则的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入计算得到的值，最后求该值的平方根即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， ， ， 的平方根为， 的平方根是． 10. 点的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上的点横坐标相同，可确定点的横坐标为，再分点在点上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】解：直线轴，点的坐标为， 点的横坐标为， ， 当点在点上方时，点的纵坐标为， 即此时点的坐标为， 当点在点下方时，点的纵坐标为， 即此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 11. 一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 12. 图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则___． 【答案】36 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，进而得到，再利用角平分线的定义得到，最后利用平行线的性质进行计算即可解答． 【详解】解：、， ， ， 平分， ， ， ． 三、解答题：（本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、解题过程或计算步骤．） 13. 计算 （1） （2）求下列各式中的值． ①； ②． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①； ∴ ∴ 解得：或； ② ∴ ∴ 解得： 14. 已知某正数的两个不相等的平方根是和，的立方根是，是的整数部分． （1）求、、的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）由平方根的性质知和互为相反数，可得a的值，根据立方根定义可得b的值，根据无理数的估算可得c的值； （2）分别将a，b，c的值代入中，可解答． 【小问1详解】 ∵某正数的两个不相等的平方根是和， ∴， 解得：， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵，且c是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∴的平方根是． 15. 篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（ ① ）， ∴（ ② ） ∴， ∵， ∴（ ③ ）． ∵于点B， ∴（ ④ ）， ∴， ∴ ⑤ （平角的定义）． 【答案】①平行于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同旁内角互补；③两直线平行，内错角相等；④垂直的定义；⑤60 【解析】 【分析】本题主要考查根据推理过程填写逻辑关系，由平行于同一条直线的两条直线平行得，两直线平行，同旁内角互补得，两直线平行，内错角相等得，垂直的定义得，最后计算结果． 【详解】解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵于点B， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴（平角的定义）． 16. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上．求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】（1）点P的坐标为 （2）点P的坐标为 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案； （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其横坐标即可得出答案； （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【小问1详解】 解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴， ∴，． 点P的坐标为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，． （1）把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形； （2）把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；写出平移后三点的坐标，画出三角形； （3）在x轴上是否存在点Q，使的面积与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图： （2） 如图： ，，； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）依题意在坐标系中找到点，顺次连接即可； （2）按照平移规律进行平移，找到对应点并顺次连接即可； （3）先求出的面积，再由面积相等求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，如图， ，， 或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标系内图形的平移及等积法求边长即坐标；解题的关键是熟练掌握坐标与图形的关系． 18. 【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究： 【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】 （1），理由如下： 过点作， ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 ②不成立，结论为: （3） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1）略 （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作， ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ； （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $