精品解析：山西朔州市怀仁市2025-2026学年度第二学期八年级期中学业质量监测数学试题

怀仁市2025-2026学年度第二学期八年级期中学业质量监测 数学 （监测内容：第十九至二十一章21.3.2） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. 50° B. 130° C. 60° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】解：由平行四边形的对角相等，可知． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：由二次根式的性质，得． 4. 下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵12+（）2＝22，能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、∵22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵42+52≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵52+62≠72，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键． 5. 苯（）是最简单的芳香烃，是化工领域的基础原料，其分子模型含有正六边形（如图），正六边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由多边形的内角和公式可知，正六边形的内角和为． 6. “晋韵风华”无人机表演在山西省太原市汾河景区震撼上演．彩排期间，小翼在平地上操控无人机，无人机从点处起飞，先垂直爬升4米，后水平飞行6米到达点处，则点与点之间的距离是（ ） A. 米 B. 10米 C. 8米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图， 由题意得， ∴根据勾股定理可得点A与点B之间的距离为（米）． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则计算判断即可． 【详解】解：对于选项A，与不能合并，原计算错误； 对于选项B，，原计算错误； 对于选项C，，原计算正确； 对于选项D，，原计算错误． 8. 如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知选项D正确， 故选：D． 9. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，如图是一株美丽的“勾股树”，其中正方形，，，的面积分别为7，10，3，5，则最大正方形的边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形A、B的面积可得正方形F的面积，由正方形C、D的面积可得正方形G的面积，由正方形G、F的面积可得正方形E的面积，从而可求出正方形E的边长． 【详解】解：如图， ∵正方形A、B、C、D的面积分别为7，10，3，5， ∴正方形F的面积，正方形G的面积， ∴正方形E的面积， ∴正方形E的边长． 10. 如图，四边形是菱形，于，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ， ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，进一步列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 12. 满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可． 【详解】解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 13. “花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则________°． 【答案】80 【解析】 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴． 14. 如图，已知的对角线，相交于点，，．若，，则四边形的周长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 15. 两个全等的矩形，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点G，先证，得到．设，在中，根据勾股定理求出的长度，可得的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点G， 四边形和四边形是全等的矩形， ，，， 在和中 ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：， ∴， 阴影部分的面积：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减法法则进行计算． （2）根据二次根式的乘法和减法法则进行计算． （3）根据平方差公式及二次根式的运算法则进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 如图，在中，对角线和相交于点，，分别为，的中点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得到，，，进而得到，再由线段中点的定义得到，由此即可利用证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴． 18. 现有一块长为，宽为的长方形木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请说明理由． 【答案】能，见解析 【解析】 【分析】先求得两个正方形木板的边长分别为，，再比较大正方形木板的边长与的大小及两个正方形木板边长的和与的大小． 【详解】解：能．理由如下： ． ∵， ∴，． 所以能够在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板． 19. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），， （2）的形状是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值； （2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由； 【小问1详解】 解：、，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：的形状是直角三角形； 理由如下： ∵ ，，；且 ∴的形状是直角三角形． 20. 阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务． ×年×月×日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？ 已知在四边形中，，，． 求证：四边形是矩形． 证明：…… 【任务】： （1）上述做法的依据是矩形的一个判定定理，其具体文字表述是：________； （2）补全材料中的证明过程． 【答案】（1）对角线相等的平行四边形是矩形 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可 【小问1详解】 解：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平行四边形；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即对角线相等的平行四边形是矩形； 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 21. 仁仁在课外进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在吊车张贴广告时测量吊臂最高，点离地面的高度及移动距离 模型抽象 测绘数据 ①吊臂总长为15米； ②吊臂支柱点与楼房的距离为12米； ③吊臂支柱点距离地面1.5米 说明 为地面，为楼房，，吊车底盘始终处于水平状态，点，，，，，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题： （1）求吊臂最高点与地面的距离的长； （2）如图，完成处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点下滑至点处．若已知的长为3米，求吊臂支柱点移动的距离的长． 【答案】（1）吊臂最高点A与地面的距离是10.5米 （2）吊臂支柱B点移动的距离的长为米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，由平行线间的距离处处相等，可得 米，进而求出的长； （2）由题意可知米．先求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而求出的长． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴在中，（米）． ∵吊臂B点距离地面米，吊车底盘始终处于水平状态， ∴米． ∴（米）． 答：吊臂最高点A与地面的距离是米 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴（米）． ∵米， ∴在中，（米）． ∴米． 答：吊臂支柱B点移动的距离的长为米． 22. 数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，，分别是，的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点，使，连接 乙：如图③，延长到点，使，连接，，． 丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________． A．仅甲、乙 B．仅乙 C．仅乙、丙 D．甲、乙、丙 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． （3）【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ． 【答案】（1）D （2）见解析 （3）26 【解析】 【分析】（1）观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； （2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得，就可得． 【小问1详解】 解：观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理． 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴， ， ． 【小问3详解】 解：连接并延长，交延长线于P，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，两地间的距离为． 23. 如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当 时，四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2）存在，，或， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【小问1详解】 解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． 【小问3详解】 解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁市2025-2026学年度第二学期八年级期中学业质量监测 数学 （监测内容：第十九至二十一章21.3.2） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. 50° B. 130° C. 60° D. 40° 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 5，6，7 5. 苯（）是最简单的芳香烃，是化工领域的基础原料，其分子模型含有正六边形（如图），正六边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 6. “晋韵风华”无人机表演在山西省太原市汾河景区震撼上演．彩排期间，小翼在平地上操控无人机，无人机从点处起飞，先垂直爬升4米，后水平飞行6米到达点处，则点与点之间的距离是（ ） A. 米 B. 10米 C. 8米 D. 米 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 9. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，如图是一株美丽的“勾股树”，其中正方形，，，的面积分别为7，10，3，5，则最大正方形的边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，四边形是菱形，于，则等于（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 13. “花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则________°． 14. 如图，已知的对角线，相交于点，，．若，，则四边形的周长为________． 15. 两个全等的矩形，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 如图，在中，对角线和相交于点，，分别为，的中点，连接，．求证：． 18. 现有一块长为，宽为的长方形木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请说明理由． 19. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 20. 阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务． ×年×月×日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？ 已知在四边形中，，，． 求证：四边形是矩形． 证明：…… 【任务】： （1）上述做法的依据是矩形的一个判定定理，其具体文字表述是：________； （2）补全材料中的证明过程． 21. 仁仁在课外进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在吊车张贴广告时测量吊臂最高，点离地面的高度及移动距离 模型抽象 测绘数据 ①吊臂总长为15米； ②吊臂支柱点与楼房的距离为12米； ③吊臂支柱点距离地面1.5米 说明 为地面，为楼房，，吊车底盘始终处于水平状态，点，，，，，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题： （1）求吊臂最高点与地面的距离的长； （2）如图，完成处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点下滑至点处．若已知的长为3米，求吊臂支柱点移动的距离的长． 22. 数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，，分别是，的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点，使，连接 乙：如图③，延长到点，使，连接，，． 丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________． A．仅甲、乙 B．仅乙 C．仅乙、丙 D．甲、乙、丙 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． （3）【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ． 23. 如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当 时，四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $