海南文昌中学2025-2026学年高一第二学期5月段考数学试题

**基本信息** 以圣·索菲亚教堂高度估算、蜀绣三角手巾设计等现实与文化情境为载体，通过梯度化试题考查向量、三角、函数等核心知识，落实数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数几何意义、三角函数定义、解三角形|基础题占比62.5%，如第3题直接考查余弦定理应用| |多选|3/18|复数运算、三角函数图象性质|第10题结合图象分析单调性与对称性，考查直观想象| |填空|3/15|向量共线、三角恒等变换、锐角三角形性质|第14题限定锐角条件求边长范围，体现严谨性| |解答|5/60|向量运算、解三角形、三角函数性质、几何综合|18题以蜀绣手巾为背景，融合解三角形与最值问题；19题结合几何中点与向量，考查逻辑推理与创新应用|

2025—2026学年度第二学期高一段考试题 数 学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效，试卷满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则该复数所对应的点在复平面的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知角的终边过点，则（ ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，内角的对边分别为，若，则b等于（ ） A． B．1 C． D．2 4．如图，已知，则（ ） A． B． C． D． 5．已知α∈，β－α∈，sinα＝，cos(β－α)＝， sinβ＝（ ） A． B． C． D． 6．已知平行四边形中，．则对角线的长为（ ） A． B． C． D．3 7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（ ）（精确到整数） A． B． C． D． 8．已知△ABC中，角所对的边分别是，，且，那么三角形ABC是（ ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B．点是函数的图象的对称中心 C．函数在区间 上是增函数 D．将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为 11．△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知(b + c):(c +a) : (a+b)＝10:11:11，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若∥，则___________． 13．已知是第二象限角，且，则___________． 14．在锐角△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，且，，则边长b＋c的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知向量. （1）设向量, 的夹角为，求的值； （2）若向量与互相垂直，求的值. 16.（本小题满分15分） 在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c. 已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求△ABC的面积. 17.（本小题满分15分） 已知向量；，函数 （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）当 时，求函数有两个解．求m取值范围 18.（本小题满分17分） 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，． （1）若∠ACD=45°，求△ABC的面积； （2）当时，求BD的长； （3）要使得取最小值时，请帮设计师 计算此时BD的长． 19.（本小题满分17分） 若△ABC为锐角三角形，、分别为、的中点，且CD与BE交于点G， 延长AG后且与BC交于点F. （1）若AB＝3，AC＝4，角，求BC的长； （2）若AB＝3，AC＝4，角，求的值； （3）若，求的取值范围. 高一数学 第2页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一段考答案 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B D B A D B 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ACD ABD AC 【选择题解析】 2．因为已知角θ的终边过点， 所以，所以. 故选：C. 3．由正弦定理得，．故选：B. 4．因为，故，故，故选：D. 5．因为β－α∈，cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝ ＝. 同理可得cosα＝，所以sinβ＝sin(β－α＋α)＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝. 6．设，由， 所以. 所以点坐标为. . 7．由题意知，，， ∴． 在中，． 在中，由正弦定理得， ∴． 在中，．故选D. 8．由题意有：， 所以，由余弦定理得， 所以，又，所以， 又，由， 所以， 所以，所以，可得， 所以是等边三角形. 故选：B. 9．， A：，正确 B：c，错误 C：，正确 D：，正确 故选：ACD. 10．对A：由图可知的最大值为，又，故； 的最小正周期，又，故可得； 又过点，由五点作图法可知，，故； 故，A正确； 对B：令，解得，当时，解得， 故是函数的图象的对称中心，B正确； 对C：当，， 而在不单调，故C错误； 对D：将函数的图象向右个单位后所得的函数解析式为 ， 因为其为偶函数，故，解得， 又，故当时，取得最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11．设，则， 三式联立解得， 对于A，，A正确； 对于B，， 则，B错误； 对于C，若，则， 则， 即，即，则，，C正确； 对于D，若，则，取中点，连接， 则， 显然当时，最小， 此时，则， 则的最小值为，D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 【解析】 12． 13．由，得， 而是第二象限角，则，， 所以. 14．因为，，所以， 由正弦定理可得 ，sinA= ， ， ，， ，故答案为. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．解： （1）因， …………2分 …………6分 则； …………8分 （2）依题意，， …………11分 即，解得. …………13分 16．解： （1）由正弦定理得 …………3分 因为，所以，， …………5分 因为在中，，所以 …………7分 （2）由，及余弦定理. 得，解得或（舍） …………13分 所以， …………15分 17．解： （1）已知向量；， 则 …………1分 , …………3分 所以最小正周期， …………4分 令， 可得， …………5分 所以的单调递增区间是. …………6分 （2） （ⅰ）将函数的图象先向左平移个单位， 得， …………8分 再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数； …………10分 （ⅱ）当时，， …………11分 由有两个解， 可得有两个解，……12分 根据， 由正弦函数图象可得， …………14分 得. …………15分 18．解： （1）在中，，， 故，， …………1分 由正弦定理得，即， …………2分 而， 故，故, …………4分 故三角形手巾的面积为 …………5分 （2）设，则， 则在中，，…………7分 在中，，…………8分 …………9分 …………10分 （3）设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， …………14分 由于， 当且仅当，即时取等号， …………16分 故， 即取到最小值时，， …………17分 即此时. 19．解： （1）解法一： ………2分 ………4分 解法二：由余弦定理： ………3分 故： ………4分 （3） 由已知可得，F为BC的中点， ………6分 所以： …………10分 （3）设的内角、、所对的边分别为、、， 由可得、、， 在中，， …………11分 在中，， …………12分 ∵，∴上面两式相加得， ∵为锐角三角形，可得、、， 可得、，则，即， …………13分 又 ……14分 当且仅当时取等号， 设（）， 则在递减，在递增， …………16分 ∵，则， …………17分 高一数学段考题参考答案 第2 页 （共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $