精品解析：海南北京师范大学万宁实验学校2025-2026学年第二学期高一数学期中试卷

北师大万宁实验学校2025-2026学年第二学期期中考试（高一） 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则z的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的实部虚部的定义可知答案. 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A 2. 已知向量,，则向量在方向上的投影向量的模长为（ ） A. B. 3 C. D. −3 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式，结合模长的坐标表示，即可求解. 【详解】由条件可得 ， 故向量在方向上的投影向量为， 所以模长为 . 3. 在平行四边形ABCD中，，为AD的中点，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理求解. 【详解】在平行四边形ABCD中，， 所以 所以 又因为为AD的中点， 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 【详解】因为．所以，解得， 于是． 故选：C. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式求得正确答案. 【详解】. 故选：B 6. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移（）个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可得的周期，振幅和过，即可求出其解析式，然后可得平移后的解析式，然后根据对称性求出答案即可. 【详解】设的最小正周期为，由图知，， ∴，∴，∴， 将代入，得，又，∴，∴， 将的图象向左平移，所得函数的解析式为： ， ∵的图象关于直线对称，∴（）， ∴（），∵，∴的最小值为， 故选：C. 7. 的内角的对边分别为，已知，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正弦定理得到，然后利用余弦定理计算即可得到答案. 【详解】，由正弦定理可得 ， . 故选D 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题，重点是要掌握正余弦定理的公式. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，得到，再由为锐角三角形，求得，结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，可得，且， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以， 因为为锐角三角形，则满足，可得， 由正弦定理得， 又因为，所以，可得，可得. 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案 【详解】对于A，由可得其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由可得其共轭复数为，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 C. 若点为的重心，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量得点乘积大于零且不能同向，列不等式组求解，判定A；利用共线向量定理判定B；利用三角形重心公式判定C；利用向量得点乘积的运算和意义判定D. 【详解】选项A： 计算向量.当与夹角为锐角时， . 但当时，，夹角为0°，不属于锐角，故的取值范围应为，选项A错误. 选项B： 根据向量共线定理，若非零向量与平行，必存在唯一实数使得，选项B正确. 选项C： 重心满足，当重合时, 选项C正确. 选项D： ， 方法一：等价于，又等价于在上的投影相等， 方法二：等价于等价于与垂直时条件成立， 不能保证一定有，比如如图所示： 选项D错误. 综上，正确答案为B、C. 故选：BC. 11. 已知函数，，则（ ） A. B. 在区间上只有1个零点 C. 的最小正周期为 D. 为图象的一条对称轴 【答案】AC 【解析】 【分析】将 的解析式化为，然后逐一判断即可. 【详解】 所以，故A正确 令可得，满足的有，故B错误 的最小正周期为，故C正确 当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误 故选：AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的乘法及除法运算化简复数，再代入计算乘方得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】， ， . 故答案为： 13. 若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦的和差角公式得，，进而得 【详解】解：因为，所以. 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 14. 已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由数量积公式求出，建立平面直角坐标系，由，得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆，则，得进行求解． 【详解】由，且得，， 所以， 建立平面直角坐标系，如图所示： 不妨记，得，设点， 由，得，由向量模的几何意义得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆， 则， 得 ， 等号成立时，得，即， 故的最大值为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法和数乘运算求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出的值，再求出的坐标并求其模. （2）根据向量平行的性质求出的值，再求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 16. 已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）当，求的最值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）最大值为1，最小值为 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用公式可求得.因为图象上一个最低点为，所以且，再根据可求得.从而得的解析式为. （2）首先根据求得的范围.将看作一个整体，结合正弦函数的图象可求得的最小值和最大值. 试题解析：（1）由得， 因为图象上一个最低点为，所以且， 因为，所以. 所以的解析式为. （2）由得. 所以当即时，取最小值 当即时取最大值. 考点：三角函数的图象和性质. 17. 在直角坐标系中，O为坐标原点，，，. （1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系； （2）若，求点C的坐标. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）求出的坐标，根据共线向量的坐标关系，即可得出关系； （2）根据向量相等坐标关系，求出关于的方程，求解，即可得出结论. 【详解】解：由题意知，， . （1）因为A，B，C三点共线，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 所以解得 所以点C的坐标为. 【点睛】本题考查向量的坐标表示，涉及到共线向量和相等向量的坐标关系，属于基础题. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）若为的相伴特征向量，求实数m的值； （2）记向量的相伴函数为，求当且时的值； （3）已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在点，使得. 【解析】 【分析】（1）利用特征向量的定义即得； （2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果； （3）由题可得的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【小问1详解】 ∵， 又为的相伴特征向量， ∴； 【小问2详解】 ∵向量的相伴函数为， 又， . ，， ， ∴； 【小问3详解】 由题可知， ∴， 设，， ，， 又， ， ， 即， ， ，， ， 又， 当且仅当时，和同时等于， 在图像上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大万宁实验学校2025-2026学年第二学期期中考试（高一） 数学试题 考试时间120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则z的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. i 2. 已知向量,，则向量在方向上的投影向量的模长为（ ） A. B. 3 C. D. −3 3. 在平行四边形ABCD中，，为AD的中点，（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移（）个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 7. 的内角的对边分别为，已知，，则 A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 C. 若点为的重心，则 D. 若且，则 11. 已知函数，，则（ ） A. B. 在区间上只有1个零点 C. 的最小正周期为 D. 为图象的一条对称轴 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 若，，则___________. 14. 已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 16. 已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）当，求的最值． 17. 在直角坐标系中，O为坐标原点，，，. （1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系； （2）若，求点C的坐标. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）若为的相伴特征向量，求实数m的值； （2）记向量的相伴函数为，求当且时的值； （3）已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $