重庆市南开中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年高一（下）期中学业水平检测 数学答案 一、单项选择题： 1.A 【详解】由zi=2+i,得z 2+i=1-2i,故选A. 2.C 【详解】由重心坐标公式可得坐标 0+1+50+2+1 3,3 即(2,1)，故选C. 3.B 【详解】由“ b。只能得到“仍，不满足充分性：由“立上五”可以得到“在=6，清颛 lal 11 lal 11 必要性，故选B. 4.D 【详解】正-C+AD=AC+©=AB+AC,故选D. 2 2 23 6 2 5.c 【详解】由b2+c2=a2+2S,可得b2+c2=a2+bcsin A, 由余弦定理b2+c2-a2=2 bccos 4=besin A,则tanA=2,故选C. 6.A 【详解】由网-Ad-B+4d可知△MBC为等膜三角形，且∠BAC=子：，则BC在函上的投影向量为 3 3BA,故选A 7.B 【详解】 atan B+btan A=tan Atan B, a+b 首先正切化为正余弦比值，即as血B bsn4=a+b）sm4sinB Cos B cos A cos Acos B 然后将边化为正弦值，即smA加8+血B血=（如A+S如）血Asm及 cos B cosA cos Acos B' 两边约去sin Asin B同时去分母， 可得cosA+cosB=SinA+sinB,即sinA-cosA=-(sinB-cosB), 利用辅助角公式， 数学答案第1页共7页 可得v2sm(4-孕=-万snB-孕，即(A-孕=m(8-孕=如（子-）， 则4-年--B吸者A-牙+牙-日=不，A+B=或者A-B=元（含》，做选B. 44 44 8.C 【详解】由A,B,C三点共线，OA=2xOB+yOC, 则2x+y=106x>0,y>0),且1-y=1-y+22=1+2。-1, x+1y+2x+1y+2x+1y+2 观察分母与条件等式之间关系，构造2(x+1)+(y+2)=5, 2x+0-0+2+,=2+4号+24+2=8， x+1y+2 当y+2=4x+1 x+1=4>+2,即2(x+=y+2时，2x=y=号时取得等号， 1 所以1-y 3 x+1y+2 的最小值为氵1=故选0 二、多项选择题： 9.BCD 【详解】选项A:举反例z1=1,22=i,故不成立； 选项B:设z=a+bi(a,b∈R)，名=2，则2=a-bi,名+2=2a∈R,成立； 透项C:可设=mi(m,m≠0，则马==-1i为纯虚数，成立： mi m 选项D:由复数减法的几何意义可判断成立；故选BCD. 10.AD 【详解】选项A:由方=(2,2)，如=22， |a-2b上√5i平方可得a-2}=a2-4a6+462=51,则a万=-4成立： 选项B:cos<a,b> ab 。46 3x23,故不成立： ab 选项C:a在b.上.的投影向量为 =4=-万=(-1，-)，故不成立： (22)2 2 选项D: 由几何意义可知a-列≥si<a,6x5x =1故成立；故选AD. 11.ACD 数学答案第2页共7页 【详解】设AB中点为D,由5OA+5OB+60C=0, 可得100D+60C=0,即50D=3C0, 选项A:外心O在CD上，CD为中垂线， 所以CA=CB,△ABC为等腰三角形，故成立； 选项B:可设R=0C=0A=0B=5,由50D=3C0,可知OD=3,由OD⊥AB,可得AD=BD=4, 所以CA+C觅=2C可=16，而AE=8,故不成立： 选项C:利用选项B的运算结果，由等面积法，可得内切圆半径 a+6+e45+45+851侧尽-55+)，放底立， r== 8×8 8 r8 选项D:由CM=OA+uOB,得OM-OC=2OA+uOB, 即0M=0C+20i+0B,代入50+50丽+60C=0,即0元=-0a-oB, 6 可得O应=（几-）0A+(4-)0B,由等和线知识观察可知系数和 --6-[ .10 则入+4的取值范围为0，？ 故成立；故选ACD. 三、填空题： 【详解】因为m∥，所以2=1x(-1),即1=- 2 a牙 【详解】记a与所成角为0，因为a⊥(a-b, a-(a-B)-a2-a-B-ap-lalBlcos0-aP-V2laPcos0=0, 解得c0s0=上，所以日= 2 4 14.22,25) 【详解】由正弦定理可知： sin C-sin B=2sin Bcos A sin(A+B)-sin B=2sin BcosA sin Acos B+sin Bcos A-sin B=2sin BcosA →sin AcosB-sin BcosA=SinB→sin(A-B)=sinB, 数学答案第3页共7页 故A-B=B或A-B+B=A=π（舍去）， 所以C-1=s血C-sinA b sin B sin(-3B)-Asin2B=sin3B-isin2B sin(B+2B)-2sin Bcos B sinB sin B sin B sin Bcos2B+cos Bsin2B-2Asin B cos B sin Bcos2B2sin Bcos*B-2sin B cosB sinB sin B =cos2B+2cos2 B-2Acos B=4cos2 B-24cos B-1, 且由0<A=2B<2, 0<8<至0C=-8受可得g<B 6 41 当sB=之9，时，-存在最小值，做有22,2. 4 2’2 b 四、解答题： 15.【详解】(1)因为z:(1-2i)=(m-i)1-2)=(m-2)-(1+2m)i为纯虚数， 所以m-2=0且1+2m≠0，所以m=2,z=2-i; 6分 (2)因为复数a:5+=a+1=a+02+0-2a-1+2+a1, 十 2-i(2-02+)55 2a-1<0 1 且在复平面内对应的点在第二象限，所以 5 台-2<a< 2+4>0 5 故实数a的取值范围是(-2， 2 13分 16.【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2-2 accos B, 即v而=3+e2-2x3e:解得6=2或号（合)： .6分 -sinC=3 2）由sMc=-absinC=3yosa 2 2 得s如C=D,所以cosC=30或cosC=-3而 10 10 10 又因为点D满足D=2DB,所以CD=C+2, 3 -ga+-gG+aa+号-9±g3v而3西+4g或号9， 9-9 10 Γ99 得cD=或cD= 15分 3 数学答案第4页共7页 17,【详解】(1)因为1=)所以点E为DC的中点，有E亚=DB】 1 文DB=B-AD,所以EF=(B-AD. 1 1 所以庆=)1=-)，得+μ=0： 2 7分 2 (2)以A为坐标原点，直线AB为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立如图所示直角坐标系，由条件 可得A(0,0)、B(4,0),E(2t+1,2). 所以AE=(21+1,2).BE=(21-3,2) 所以AE·(AE+BE)=AE+AE-BE =(21+1)2+4+(21+1):(21-3)+4 =8r2+6, B 因为0≤t≤1，所以8r2+6单调递增， 所以AE-(AE+BE)∈[6,14] 】5分 18.【详解】(1)设∠AMB=0. 则1cDH而-cH号函-(M+M@H-证-痂 =得++M师- ×42+42+4×4cos0=V20+16cos0∈[2，句： 5分 (2)(i)取BD中点F, 因为MF=MD+MB=M+MB,ME=MB+BE=MA+MB, 所以MF=ME,即M、F、E三点共线，且F为ME中点， 因为BD.BP=BP2,所以BP(BP-BD)=BPDP=0, 故BP⊥DP,P在以BD为直径的圆上 所以PF8D而-远-2+4-2x2x4×2 =5, 哑HM+历-经x++442万，F卡行. 2 则PM·PE=(PF+FM(PF+FE)=(PF+FM)-PF-FM） PFP-WPFP_E=3-28-4为定值 11分 4 4 数学答案第5页共7页 (i)由(i)可知：|PMP+|PE=(PM+PE)2-2PM·PE=(2PF)2+8=20, 设|PM=m,|PE=n.则m2+n2=20, 由1MF1-FPIS PMHMF+FPSMF|FPl,可知meV7-V5,V7+V], 设后由导202-1+0画有4马， m m2 m2 m2 4 2’2 所以0m+2m}=20(m+20_20m2+4n2+4m） m2+n2 m2+n2 3-4(凸) 20(43m4)=204=1=2043二 1+n2 1+P 令u=3-4∈-22i-7,22i-7刀，则(m+2mP=204-2160 Γ02-6M+23, @当1=0时，(m+2nP=80,②当￥0时，m+2=204-16 +25-6, 6一-4,0U0,7+3) 因为u+25-6e10u24-8网，所以点-6 10 所以(m+2n)2∈66-6N21,80)U(80,100], 综上所述，(m+2m2∈[66-621,100]，即m+2n∈[37-√5,10]， 所以PM+2PE的最大值为10， 当且仅当u=5,即1=”=2时等号成立，此时PM上2，PE上4. 17分 19.【详解】(1)因为2S+V3BABC=0, 所以|BABCIsin/ABC+V3 BABC]cos∠ABC=0,即sinLABC+-V5cos∠ABC=0, 得am∠ABC=-5,所以∠ABC=名，而AB=BC, 3 在△MBC中，由正弦定理可知，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-()=3AB2, 所以AC=V3AB,即B-5 AC 3 4分 (2)(i)记△MBC,△4BD面积分别为S、S2,设∠DAC=P, 在△4CD中，由余弦定理可知：AC2=2+4-2×2×4×cos0=20-16cos0, 数学答案第6页共7页 4=22+AC2-2×2 AC.cosp=4+20-16cos0-4ACc0s0, 面Aca8n20专9Bc26C.56-w0o0 43 3 AC 4 在△ACD中，由正弦定理可知： -,即ACsing=4sin0②， sine sin ®@②可知，S,im(+p)2:B=5osp+3、 1 2 325 11分 33 os0+2sin=4 33 sin(0-): 6 1 (i)记△4CD面积为S,则S,=。×2×4sin8=4sin8, 2 V3,4V =A01=S2 33 2sin(0-) 5+45n0- ）1+4sin(0-乃) 33 6 1aC8+856=4w5cos0+4sin95y5+85 sin(0- )）5+8sin(0-) 33 6 6 令1=4sin(0-),则由 5+21>0 6 +1>0,得1e(-1,4, 而1=1+1=13 5+2225+20在(-1,4上单调递增，故2∈(0，]y 所以元的最大值为，当且仅当1=4，即日=2时等号成立。 2元 13 3 17分 数学答案第7页共7页2025-2026学年高一（下)期中学业水平检测 数学 本试卷分为第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，第I卷和第 Ⅱ卷都答在答题卷上， 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知复数z满足分=2+i（i是虚数单位)，则z的虚部为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知O为坐标原点，A(1,2),B(5,1),则△OAB的重心坐标为 Aa B.(6,3) C.(2,1) D.(3,3) Q。设a,b为非零向量，则“a6”是“a=b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，在△ABC中，AB=3AD,CE=ED,设AB=4,AC=b,则A正= +2b 1 B.4 2 1 D名+ D 5.在△ABC中，a,b,c分别为内角AB,C的对边，面积为S,若b2+c2=a2+2S,则tanA= 1 B.2 C.2 D.4 6.已知△ABC中，AB=AC=B+AC,则BC在B☑上的投影向量为 B.-3B☑ C.3BA D.-3BA 2 数学第1页共4页. 1.在△ABC中，，b分别为内角么B的对边，若tanB+btaA=tan Atan B,则△ABC的形状-定是 atb A.等腰三角形 B直角兰角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 已知点A在线段BC上不含瑞点，0是直线BC外一点，且OA=2x0B+y0C,则十y十2的 8. ·小值是 A.4 D.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.设，22为复数，则下列结论中正确的是 A.若{日z2|,则3=z2 B.若名=2，则名+22是实数 c.若为纯虚数，则石也为纯虚数 D.|2-z2图3|+|z21 0.已知向量a,b满足：a=5,b=(2,2),a-2bl=√51，则 A:a.b=-4 B.4与b夹角的余弦值为-5 C.4在b上的投影向量坐标为(1,1) D.a-b(2∈R)的最小值为1 11.己知△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,外接圆圆心O满足5OA+5OB+6OC=0,M为△ABC 的外接圆上一动点，且CM=1OA+uOB(4∈R),则 A.△ABC为等腰三角形 B.CA+C园=AB c.R=55+) D.九+4的取值范围为 8 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共5分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不 写过程) 12.己知向量m=(2,1),n=(-1,),且m∥n,则实数元= 13.若向量a,b满足：l=√2a,a1(a-b),则a与b的夹角为 数学第2页共4页 14.在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角AB,C的对边，且c-b=2 bcosA,若C-1存在最小值，则实 b 数九的取值范围是」 四、解答题：本题共5个小题，共77分。各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或 推理过程)· 15.(13分) 已知复数z=m-i(i是虚数单位，m∈R),且z·(1-21为纯虚数， (1)求复数z: (2)若复数-a·i2026+20 一在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a的取值范围. z 16.(15分) 在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角AB,C的对边，a=3,b=V10. (1)若cosB=一，求C的值： (2)若△AMBC的面积为}，点D满足而=2D死，求线段CD的长。 17.(15分) 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2DC=4,AD=BC=√5，F是BC的中点，点E满足 DE=tDC(其中0≤1≤1). 1 (1)若1=2且EF=B+HD(NeR),求九+“的值： (2)求AE·(AE+BE)的取值范围. 数学第3页共4页 18.(17分) 在△MAB中，M=M=4,MC=-M+M丽，D为MM的中点. (1)求CD的取值范围： (2)若∠AMB=号E为BC的中点，P为平面上一动点，满是DF=那， (i)求证：PM,P匣为定值： ()求PM+2P西的最大值. 19.(17分) 在△ABC中，已知AB=BC,△ABC的面积S满足：2S+V5BA·BC=0. 求伦的值。 (2)如图所示，O为线段AC上一点，延长BO至点D,使得CD=2AD=4,记∠ADC=0. (i)用含O的式子分别表示△ABC与△ABD的面积： (i)若AO=九AC,求实数元的最大值. 数学第4页共4页