青海西宁市第十四中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷

**基本信息** 高一月考数学试卷聚焦复数、向量、解三角形核心内容，解答题如第18题结合角平分线求长度，体现知识综合应用与逻辑推理，适配高一阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数虚部（1）、解三角形边角关系（2）、向量基底（3）|基础巩固，突出概念辨析| |多选题|3|向量性质判断（9）、三角形形状（10）|能力提升，考查逻辑推理| |填空题|3|三角形解的个数（12）、海域救援情境应用（13）|联系实际，培养数学眼光| |解答题|5|向量运算（15）、复数应用（16）、解三角形多问（18）|综合应用，发展数学思维与语言|

高一月考数学答案 一、单选题 1．复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】复数的虚部为，所以复数的虚部为. 2．在中，角所对的边分别为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得，所以或， 因，则，故为锐角，即. 3．下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为，所以共线，故A不符合题意； 因为，所以不共线，故B符合题意； 因为，所以共线，故C不符合题意； 因为，所以共线，故D不符合题意； 4．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，则， 则. 5．已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的求法，结合数量积公式、求模公式，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 6．在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（    ） A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用三角函数值求角，再利用正弦定理进行三角恒等变形，即可得到结果. 【详解】因为，，所以，即， 又由，结合正弦定理得：， 即，则， 因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以为等边三角形. 故选：C. 7．1．在中，，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由，得， 整理为， 即，，即. 8．记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正弦定理得到边的比例关系，再结合边的关系推导出最大边，最后用余弦定理求最大角的余弦值即可. 【详解】由题意得， 结合正弦定理得：， 所以 因为，所以， 则，即， 由正弦定理，得． 又，同理可得， 所以，故为的最大内角， 设，所以． 二、多选题 9．下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，为非零向量，且，则 D．若向量，，两两的夹角相等，且，，，则 【答案】ABD 【分析】若，可判断A；根据向量数量积运算律可得或判断B；根据向量数量积运算律可得判断C；根据结合题意分类求解判断D. 【详解】对于A，若，满足且，但与也不一定平行，故A错误； 对于B，可化为， 因为，所以或，所以不一定有，故B错误； 对于C，两边平方得，化简可得， 即，所以，故C正确； 对于D，若向量，，两两的夹角相等，则向量，，两两的夹角可以为或， 而， 当向量，，两两的夹角为时， 此时，，， 当向量，，两两的夹角为时， 此时，，， 综上或，故D错误. 10．的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 11．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AD 【分析】对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解； 【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径， 代入条件得，由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对于B选项，将代入，得， 由余弦定理，，故，B错误； 对于C选项，若，由基本不等式可得 的面积， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误； 对于D选项，由， 得， 由，得，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，故.D正确. 三、填空题 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 【答案】2 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理求解判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得, 即，整理得，而， 则，又，解得，由，，得，则， 由正弦定理得，因此角可以为锐角，也可以为钝角， 所以的解的个数为2. 13．位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 14．已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求解即可. 【详解】. 因为，所以时，， 因为在上单调递增，所以，， 解得，. 又，所以当时，，当时，范围不符合题意. 综上的取值范围为. 四、解答题 15．已知平面内三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与,再利用向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）因为， 则，， 若，则，解得. 16．已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 17.已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 即，则， 所以，则， 又，则. （2）由，得， 则， 18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. (1)求sin B的值； (2)求c的值. (3)若的平分线交BC于点D，求AD的长. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）方法一，根据（1）的结果求，再根据正弦定理求的值；方法二，根据余弦定理求； （3）根据，代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理=， 可得，所以sin B=. （2）方法一　根据条件，b<a，∴B为锐角， 由（1）sin B=，所以cos B=， 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=， 由正弦定理=可得c=3. 方法二　由余弦定理， 得(， 整理得， 解得或(舍去)， 所以. （3）， 即，得. 即，解得. 19．在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）用正弦定理将边转化为角，再利用三角形内角和定理与三角恒等变换公式化简，进而求出角A； （2）先利用三角形面积公式求出边c的长度，再用余弦定理求出边a； （3）用余弦定理得到b、c的式子，再用基本不等式来分析求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 又，所以. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一月考数学 一、单选题 1．复数（为虚数单位）的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．在中，角所对的边分别为．若，则（   ） A． B． C． D． 3．下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 5．已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（    ） A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．1．在中，，若，则（   ） A． B． C．1 D． 8．记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，为非零向量，且，则 D．若向量，，两两的夹角相等，且，，，则 10．的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 11．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 三、填空题 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 13．位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 14．已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 四、解答题 15．已知平面内三个向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 17.已知向量，满足，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数k的值． 18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. (1)求sin B的值； (2)求c的值. (3)若的平分线交BC于点D，求AD的长. 19．在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高一月考数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分) 1.复数z=-2i+1(i为虚数单位)的虚部为() A.2 B.-2 C.2i D.-2i 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,b=V6,B=60°，则A=() A.30 B.45 C.60 D.90 3.下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是() A.a=(3,2),b=(-6,-4) B.a=(,2),6=G c.a-2,列.万-（别 D.a=(3,7),b=（-6,-14) D 4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、AE的中点，则AE.DF=() A.-1 B.1 c. D. 5.已知平面向量ā=(1，-2)，b=(3,4),则6在ā方向上的投影向量坐标为() A.(1,-2) B. C.（-1,2) n.层) 6。在。1C中，角所对的边分别是山么6若sn号行，且asm台=n4,则该三角形的形状是() A.三边均不相等的三角形 B.底边与腰不相等的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7.在△ABC中，BC=4BD,若AD=xAB+yAC,则x-y=() A.月 C.1 D.-1 8.记aABC的内角4B,C的对边分别为ab,c,已知c=b+acos ,2sinA=3sinB,则△ABC最大内角的余弦值为 1-cosA () A B月 c. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法错误的是() A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若ac=bc且c≠0，则d=b C.若a,b为非零向量，且a+b曰a-b|,则aLb D.若向量a,6,c两两的夹角相等，且a2,1b2,1c=6,则a+b+c=l0 10.△ABC的内角：A,B,C所对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是() A.若sinA>sinB,则A>B B.若sin2A=sin2B,则aABC是等腰三角形 C.若a2+b2-c2>0,则△ABC是锐角三角形 D.若a=bc ,则△ABC是等腰直角三角形 sinA cosB cosC 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2B-sinC=sin4sinB,则() AC=月 B.当a=2b时，simA=2 1 C.当a+b=4时，△ABC面积的最大值为1 D.当△ABC为锐角三角形时，b的取值范围是 2 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题5分，共15分） 12.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b-acosC=asinC,且b=2,a=√3，则△ABC的 解的个数为一 13,位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20k的B处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救.甲船立即前 往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西30，且与甲船相距1Okm的C处的乙船.则乙船前往营救遇险游轮时 的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线CA的夹角的正弦值为 14.已知向量a-(6sma刂，万=(r,0>0,记函数)-=a-6.若（在骨司上单调递 增，则o的取值范围为一· 四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.己知平面内三个向量a=(1,8),b=（-1,2),c=(2,1). (I)若a=mb+nc,求实数m,n的值： (2)若(a+kc)/仍-c),求实数k的值. 16.已知复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i。 (1)若复数z是实数，求实数m的值： (2)若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 17.已知向量a,6满足|a=2,b=1,a+b=7. (1)求向量ā与b的夹角： (2)若（ā-kb)⊥(kā+2b),求实数k的值. 18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√7，b=2,A=60°. (I)求sinB的值； (2)求c的值 (3)若∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长. 19.在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c,且bcosC+ccosB=2 acosA. (1)求角A的大小： (2)若b=2,SBc=35,求a: (3)若a=√3，求b+c的取值范围.