精品解析：青海湟川中学2025-2026学年第二学期高一数学第一次考试试卷

青海湟川中学2025-2026学年第二学期 高一年级数学第一次考试试卷 命题人：高红桃 李慧斐 梁雅娟 审题人：蒋豆豆 高红桃 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题（共8题，每题5分，每题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则集合（　　） A. B. C. D. 2. 在中，若，则B为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 化简等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 5. 已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 设复数z满足条件，那么的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分数，选对但不全的得部分分数，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列各项正确的为（ ） A. 复数的虚部为 B. 复数为纯虚数 C. 复数的共轭复数对应点在第四象限 D. 复数的模为5 10. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（     ） A. 在中，若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则的面积为8 D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则内切圆的半径为2 C. 若，则 D. 若P为内一点满足，则与的面积相等 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 二、填空题（共3题，每题5分，共计15分） 12. 已知向量，，，若，则__. 13. 若命题“对任意为假命题的a的取值范围是______ 14. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、过程或演算步骤．） 15. 已知向量，满足，，且，向量，，． （1）求与的夹角； （2）若，求实数k的值． （3）若与的夹角为锐角，求x的取值范围． 16. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 17. 已知函数部分图象如图所示． （1）求ω和φ的值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）设，已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围． 18. 已知函数． （1）求函数的单调减区间，对称轴，对称中心，值域． （2）画出函数在一个周期内的图像． （3）设锐角的三个内角分别为A，B，C，且．若，求λ的取值范围． 19. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： （1）证明：； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海湟川中学2025-2026学年第二学期 高一年级数学第一次考试试卷 命题人：高红桃 李慧斐 梁雅娟 审题人：蒋豆豆 高红桃 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题（共8题，每题5分，每题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则集合（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定集合，由交集运算即可求解. 详解】 ， 所以 故选：B 2. 在中，若，则B为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求角的大小. 【详解】由，又且， 所以或. 故选：B 3. 化简等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式，结合三角函数值的符号，化简所求表达式. 【详解】依题意，原式 ①. 由于，所以，故①可化为. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查三角函数值在各个象限的符号，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 4. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】C 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 5. 已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量垂直求得，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】由，又， 所以，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为， 6. 设复数z满足条件，那么的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】设复数z在复平面对应的点为， 因为，所以， 因此点在单位圆上， 因为，设复数在复平面对应的点为， 所以表示圆上的点到点的距离， 因此的最大值为. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 8. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】推出的等价式子，即可判断出结论. 【详解】为钝角三角形. ∴在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分数，选对但不全的得部分分数，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列各项正确的为（ ） A. 复数虚部为 B. 复数为纯虚数 C. 复数的共轭复数对应点在第四象限 D. 复数的模为5 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数除法运算可得，结合复数的相关概念理解辨析． 【详解】∵，则可得： 复数的虚部为1，A错误； 为纯虚数，B正确； 复数的共轭复数为，其对应点为，在第四象限，C正确； 复数的模为，D错误； 故选：BC． 10. 已知 的内角 所对的边分别为 ， 下列四个命题中， 正确的命题是（     ） A. 在中，若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若在线段 上，且，则的面积为8 D. 若 ，动点在所在平面内且 ，则 动点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【详解】利用正弦定理结合三角形中大边对大角，可判断A；化简条件得到，求得或，可判定B；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D． 【分析】对于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B中，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由在线段上，且，，，， 则，设， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 在中，可得，则， 所以的面积为，故C正确； 对于D，在中，因为，， 则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ACD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则内切圆半径为2 C. 若，则 D. 若P为内一点满足，则与的面积相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理和勾股定理判断； 对于B，利用等面积法求解； 对于C，判断； 对于D，利用找到点与线段间位置，然后利用线段比求解面积比. 【详解】对于A， 根据正弦定理得，，所以,则 ，所以A正确， 对于B，当时，，由选项A可知为直角三角形，设内切圆半径为，则，所以，解得，所以内切圆半径为1，所以B错误； 对于C，当时，，可知为直角三角形，所以C错误； 对于D，即(如图，D为AC中点)，由此可得P 为BD中点，,,由此知与的面积不相等，故D错； 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 二、填空题（共3题，每题5分，共计15分） 12 已知向量，，，若，则__. 【答案】 【解析】 【分析】根据即可求出，从而可求出，这样即可求出的值． 【详解】解：； ，，； ；． 故答案为： 13. 若命题“对任意为假命题a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】写出全称量词命题的否定，为真命题，分，和三种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得为真命题， 当时，不等式为，有解，满足要求， 当时，若，此时必有解，满足要求， 若，则，解得， 综上，a的取值范围为. 故答案为： 14. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，得到，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】因为点G为重心，可得， 又因为三点共线，所以， 所以， 当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、过程或演算步骤．） 15. 已知向量，满足，，且，向量，，． （1）求与的夹角； （2）若，求实数k的值． （3）若与的夹角为锐角，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由求得，再根据数量积的定义求得与的夹角； （2）根据垂直向量的数量积为0，列出关于的方程，求得实数k的值； （3）利用向量夹角为锐角其数量积大于零，且两向量方向不相同，即可得解. 【小问1详解】 由，得，即. 所以. 所以. 因为，所以，即与的夹角为. 【小问2详解】 若，则， 所以， 即，解得. 【小问3详解】 若与的夹角为锐角，则，且与不能同向. 由，得，即，解得； 若与共线，则，即，解得或（舍去）. 当，则，与同向； 所以x的取值范围是． 16. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. （1）求点到点的距离； （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【小问1详解】 由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. 【小问2详解】 在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 17. 已知函数部分图象如图所示． （1）求ω和φ的值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）设，已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2）、、 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最低点和最高点对应横坐标的差值与周期的关系，结合代入法、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可； （3）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合函数零点定义、换元法、正弦型最值性质、二次函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 设该函数的最小正周期为，且， 由函数图象可知：且， 即， 由图象可知： ， 因为，所以令. 【小问2详解】 由上可知：， 由， 因为， 所以令，单调递增区间为， 令，得，而，所以单调递增区间为， 当，得，而，所以单调递增区间为， 综上所述：函数在上的单调递增区间为、、. 【小问3详解】 ， 令，， 即， 令， 二次函数，， 开口向下，对称轴为， 因此， 所以要想在上存在零点， 只需，所以实数a的取值范围为. 18. 已知函数． （1）求函数的单调减区间，对称轴，对称中心，值域． （2）画出函数在一个周期内的图像． （3）设锐角的三个内角分别为A，B，C，且．若，求λ的取值范围． 【答案】（1）函数的单调减区间为，对称轴为.对称中心为，值域为． （2） 答案不唯一 （3） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式将化简为的形式，根据整体代换法求其单调减区间，对称轴，对称中心，值域； （2）根据五点作图法可得； （3）由确定，根据三角形内角和、两角和差的正弦公式及二倍角公式将化简为的函数，并由是锐角三角形确定的取值范围，从而得的取值范围. 【小问1详解】 ． 令，因为是增函数， 所以当，即时，单调递减，所以函数单调递减. 所以函数的单调减区间为. 令，得，所以函数的对称轴为. 令，得，所以函数的对称中心为. 因为，所以，所以函数的值域为． 【小问2详解】 根据五点作图法列表得 【小问3详解】 由（1）得， 因为，所以. 锐角中，所以， 所以，所以. 所以. 所以 . 因为，所以，所以. 所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，， 即的取值范围是. 19. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $