第5章 分式及分式方程单元综合练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第5章 分式及分式方程单元综合练习 一．选择题（共10小题） 1．在中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若分式的值等于0，则x的值为（　　） A．±1 B．0 C．﹣1 D．1 3．下列各式从左到右变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．若分式方程有增根，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　） A．y2+2y﹣3＝0 B．y2﹣2y﹣3＝0 C．y2﹣3y﹣2＝0 D．y2﹣y﹣2＝0 7．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 8．将分式中的a、b都扩大到3倍，则分式的值（　　） A．不变 B．扩大到3倍 C．扩大到9倍 D．扩大到6倍 9．若x，y的值扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 10．用A，B两种智能机器人搬运建筑材料，A型机器人比B型机器人每天多搬6吨，A型机器人搬运60吨所用的时间与B型机器人搬运45吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少建筑材料？设A型机器人每天搬运x吨建筑材料，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．若分式的值为0，则x＝　 　 ． 12．若分式有意义，则x应满足的条件是　 　 ． 13．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为　 　 ． 14．根据分式的基本性质填空： （1）； （2）． 15．将下列各式约分的结果填在横线上． （1）　 　 ． （2）　 　 ． （3）　 　 ． 16．随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为x米/秒，则所列分式方程是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．（1）解方程：；（2）先化简，后求值：，其中x＝﹣4． 18．对于分式． （1）如果x＝1，那么y取何值时，分式无意义？ （2）如果y＝1，那么x取何值时，分式有意义？ （3）要使分式的值为零，x、y应该有怎样的关系？ 19．已知关于x的方程2的解为正数，求m的取值范围． 20．列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． （1）求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； （2）面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 21．第十届重庆永川国际茶文化旅游节开幕前，某秀芽茶叶公司预测今年秀芽茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批秀芽茶叶，上市后很快脱销，公司又用68000元购进第二批秀芽茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克秀芽茶叶进价多了10元． （1）该秀芽茶叶公司两次共购进这种秀芽茶叶多少千克？ （2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？ 22．已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的2倍．若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元． （1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需要多少天？ （2）甲、乙两工程队每天的施工费用各为多少万元？ 23．庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（n＞1）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题． 请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程： （1）尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空． n（n＞1） 2 0.5 4 0.25 10 0.1 20 0.05 ①　 　 250 0.004 2500 0.0004 （2）大胆猜想：当且仅当的n的质因数仅含　 　 和　 　 时，可以化为有限小数． （3）归纳：如果n的质因数仅含2和5，设n＝2α5β（α，β是非负整数，且不同为0） ①当α≥β≥0时，　 　 是一个有限小数； ②当β＞α≥0时，　 　 也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数0．a1a2a3⋯ak，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成25×4＝102＝22×52） 阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容． 24．【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对{a，b}是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取a＝3，b＝4，k＝5代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为x＝3，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取a＝1，b＝2，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以{1，2}是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 （1）下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“10级和谐系数”的有　 　 （填序号）； ①{2，8} ②{6，8} ③{6，4} （2）若实数对{m+2，m﹣2}是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； （3）若整数对{n，n+6}是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足k2+24n﹣10＝2P2﹣126（P为整数）求整数n的值． 第5章 分式及分式方程单元综合练习 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：分式有：、、，共3个， 故选：C． 2．若分式的值等于0，则x的值为（　　） A．±1 B．0 C．﹣1 D．1 【解答】解：由题意得： x2﹣1＝0， x＝±1， 又x+1≠0， x≠﹣1， 所以x＝1， 故选：D． 3．下列各式从左到右变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，则A不符合题意； 1，则B符合题意； 与不一定相等，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：B． 4．若关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：将原分式方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母x﹣1（x≠1），得﹣（x+5）+m＝0， 整理得x＝m﹣5， ∵分式方程无解， ∴x＝1是原方程的增根， 将x＝1代入x＝m﹣5，得1＝m﹣5， 解得m＝6， ∴m的值为6． 故选：C． 5．若分式方程有增根，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：， m﹣1﹣1＝2（x﹣2）， m﹣2＝2x﹣4， 2x＝m+2， ∵分式方程有增根， ∴x＝2是方程2x＝m+2的根， ∴4＝m+2， ∴m＝2， 故选：A． 6．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　） A．y2+2y﹣3＝0 B．y2﹣2y﹣3＝0 C．y2﹣3y﹣2＝0 D．y2﹣y﹣2＝0 【解答】解：设 ，原方程可化为， 即y2﹣2 y﹣3＝0， 故选：B． 7．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、是最简分式，不能化简，不符合题意． B、原式＝x+y，不符合题意． C、原式＝﹣m+1，符合题意． D、原式，不符合题意． 故选：C． 8．将分式中的a、b都扩大到3倍，则分式的值（　　） A．不变 B．扩大到3倍 C．扩大到9倍 D．扩大到6倍 【解答】解：根据题意可知，， ∴新分式的值是原分式的3倍， 即分式的值扩大到3倍． 故选：B． 9．若x，y的值扩大为原来的3倍，下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴选项D符合题意， 故选：D． 10．用A，B两种智能机器人搬运建筑材料，A型机器人比B型机器人每天多搬6吨，A型机器人搬运60吨所用的时间与B型机器人搬运45吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少建筑材料？设A型机器人每天搬运x吨建筑材料，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设A型机器人每天搬运x吨建筑材料，则B型机器人每天搬运（x﹣6）吨建筑材料， 由题意得：， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．若分式的值为0，则x＝　﹣3　 ． 【解答】解：根据题意可知，， ∴x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 12．若分式有意义，则x应满足的条件是x≠﹣3　 ． 【解答】解：根据题意可知，x+3≠0， 解得：x≠﹣3． 故答案为：x≠﹣3． 13．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为m＜3且m≠2　 ． 【解答】解：关于x的分式方程的解为正数， 去分母得2x﹣m＝3（x﹣1）， 解得：x＝3﹣m， ∵方程的解为正数， ∴3﹣m＞0且3﹣m≠1， 解得：m＜3且m≠2． 故答案为：m＜3且m≠2． 14．根据分式的基本性质填空： （1）； （2）． 【解答】解：（1）． 故答案为：a2b﹣ab2； （2）． 故答案为：a﹣1． 15．将下列各式约分的结果填在横线上． （1）x2 ． （2）x﹣1　 ． （3）　　 ． 【解答】解：（1）x2． 故答案为：x2． （2）x﹣1． 故答案为：x﹣1． （3）． 故答案为：． 16．随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为x米/秒，则所列分式方程是　　 ． 【解答】解：根据题意，得． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．（1）解方程：； （2）先化简，后求值：，其中x＝﹣4． 【解答】解：（1）原方程两边同乘以（x﹣3），得x﹣2＝x﹣3+x， 解得x＝1， 经检验，当x＝1时，x﹣3≠0， ∴原方程的解为x＝1； （2）原式 ， 当x＝﹣4时，原式 ＝5． 18．对于分式． （1）如果x＝1，那么y取何值时，分式无意义？ （2）如果y＝1，那么x取何值时，分式有意义？ （3）要使分式的值为零，x、y应该有怎样的关系？ 【解答】解：（1）当x﹣3y＝0时，分式无意义，把x＝1代入x﹣3y＝0可得y； （2）当x﹣3y≠0时，分式有意义，把y＝1代入x﹣3y≠0可得x≠3； （3）当2x+y＝0且x﹣3y≠0时，分式值为零． 19．已知关于x的方程2的解为正数，求m的取值范围． 【解答】解：2， 去分母，得2﹣（x+m）＝2（x﹣2）． 去括号，得2﹣x﹣m＝2x﹣4． 移项，得﹣x﹣2x＝﹣4+m﹣2． 合并同类项，得﹣3x＝﹣6+m． x的系数化为1，得x． ∵关于x的方程2的解为正数， ∴0且2． ∴m＜6且m≠0． 20．列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． （1）求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； （2）面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【解答】解：（1）设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元． ， 解得， 答：“经典臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元； （2）设第二季度面粉的单价是m元， ． 解得m＝10． 经检验，m＝10是所列方程的解． ∴（1+20%）m＝（1+20%）×10＝12． 答：第三季度面粉的单价是12元． 21．第十届重庆永川国际茶文化旅游节开幕前，某秀芽茶叶公司预测今年秀芽茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批秀芽茶叶，上市后很快脱销，公司又用68000元购进第二批秀芽茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克秀芽茶叶进价多了10元． （1）该秀芽茶叶公司两次共购进这种秀芽茶叶多少千克？ （2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？ 【解答】解：（1）设秀芽茶叶公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶， 根据题意得：， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意， ∴2x+x＝2×200+200＝600． （2）设每千克茶叶售价y元， 根据题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%， 解得：y≥200． 答：每千克茶叶的售价至少是200元． 22．已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的2倍．若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元． （1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需要多少天？ （2）甲、乙两工程队每天的施工费用各为多少万元？ 【解答】解：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据题意得： ， 解得：x＝25， 经检验：x＝25是原方程的根， 则2x＝25×2＝50（天）， 答：甲、乙两工程队各需要25天和50天； （2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a﹣1）万元， 根据题意得：10a+15（a﹣1）＝85， 解得：a＝4， 则a﹣1＝3（万元）， 答：甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元． 23．庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（n＞1）满足何种条件时，可以化为有限小数”的问题． 请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程： （1）尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时，的结果．完成填空． n（n＞1） 2 0.5 4 0.25 10 0.1 20 0.05 ①　）　 250 0.004 2500 0.0004 （2）大胆猜想： 当且仅当的n的质因数仅含　2　 和　5　 时，可以化为有限小数． （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设n＝2α5β（α，β是非负整数，且不同为0） ①当α≥β≥0时，　　 是一个有限小数； ②当β＞α≥0时，　　 也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数0．a1a2a3⋯ak，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成25×4＝102＝22×52） 阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容． 【解答】解：（1）由题意可得：， 故答案为：， （2）当且仅当n的质因数仅含2和 5时，可以化为有限小数． 故答案为：2，5； （3）归纳： 如果n的质因数仅含2和5，设n＝2α5β（α，β是非负整数，且不同为0） ①当α≥β≥0时，是一个有限小数； ②当β＞α≥0时，也是一个有限小数． 反过来，如果可以化为有限小数0．a1a2a3⋯ak，那么，n的质因数仅含2和5．（如，可以理解成25×4＝102＝22×52） 故答案为：，． 24．【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对{a，b}是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取a＝3，b＝4，k＝5代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为x＝3，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取a＝1，b＝2，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以{1，2}是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 （1）下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“10级和谐系数”的有　②　 （填序号）； ①{2，8} ②{6，8} ③{6，4} （2）若实数对{m+2，m﹣2}是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； （3）若整数对{n，n+6}是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足k2+24n﹣10＝2P2﹣126（P为整数）求整数n的值． 【解答】解：（1）解方程得，解方程得， ∴， ∴a2＝k2﹣b2，即a2+b2＝k2， ∵k＝10， ∴a2+b2＝102＝100， ①∵22+82＝4+64＝68≠100， ∴{2，8}不是“10级和谐系数”； ②∵62+82＝36+64＝100， ∴{6，8}是“10级和谐系数”； ③∵62+42＝36+16＝52≠100， ∴{6，4}不是“10级和谐系数”； 故答案为：②； （2）由条件可知（m+2）2+（m﹣2）2＝62， 解得或； （3）整数对{n，n+6}是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”， ∴n2+（n+6）2＝k2， ∴k2＝2n2+12n+36， 由条件可知2n2+12n+36+24n﹣10＝2P2﹣126， ∴n2+18n+76＝P2， ∴（n+9）2＝P2+5， ∴（n+9）2﹣P2＝5， ∴（n+9+P）（n+9﹣P）＝5， ∵5的整数因数对为（1，5），（﹣1，﹣5），（﹣5，﹣1），（5，1）， ∴分为以下四种情况讨论： ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得， 综上，整数n的值为﹣12或﹣6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/9 19:27:34；用户：张文玉；邮箱：18150859082；学号：47368668 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $