精品解析：江苏徐州市邳州市2025～2026学年度第二学期期中学业水平测试八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期中学业水平测试 八年级数学试题 注意事项： 1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 一个不透明的袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到可能性最大的是（ ） A. 红球 B. 黄球 C. 白球 D. 都有可能 2. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 某同学抛掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都是正面朝上，抛掷第四次，则下列说法正确的是（ ） A. 第四次一定是反面朝上 B. 第四次反面朝上的概率大于正面朝上的概率 C. 第四次一定是正面朝上 D. 第四次可能还是正面朝上 5. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 6. 从2，3，4，5，6这五个数中，随机选取三个不重复的数字构成一个三位数，下列事件是必然事件的是（ ） A. 三位数是2的倍数 B. 三位数是奇数 C. 三位数大于230 D. 三位数大于700 7. 如图，等腰梯形中，，，与交于点，下列四个结论中①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标注1至6，投掷一次，下列事件中：①朝上一面的数是偶数；②朝上一面的数是3的倍数；③朝上一面的数不小于3．概率最大的是_________．（填序号） 10. 因式分解：________． 11. 如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形． 12. 如图，在平面直角坐标系中，顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，则面积为__________． 13. 对多项式用提公因式法分解因式，应提取的公因式是__________． 14. 若菱形的对角线长为10和24，则此菱形周长为_____． 15. 若，，则__________ 16. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为__________． 17. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的长度为_____． 18. 如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 20. 如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 47 96 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.95 0.951 （1）表中的__________，__________； （2）在此批次毛绒玩具中任取一个是优等品的概率约为_________（精确到）； （3）若此批次毛绒玩具共计有40000个，则这批玩具中大约有多少个是非优等品？ 22. 如图，矩形的对角线，相交于点，， （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 23. 综合与实践：气象谚语是人们观察自然现象的经验总结，蕴含着概率的数学思想，请以“朝霞不出门，晚霞行千里”为例，完成以下实践任务． 任务一：数据收集 通过气象软件收集某地区近10年“朝霞出现后当天是否下雨”和“晚霞出现后次日是否晴天”的数据如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 朝霞是否出现 是 否 否 是 否 是 是 否 是 是 当天是否下雨 是 否 否 是 否 是 否 否 是 是 晚霞是否出现 是 否 是 否 是 否 是 否 是 否 次日是否晴天 是 否 否 是 是 是 是 否 是 是 任务二：数据整理与分析 （1）统计频数（由上表发现近10年来的数据） ①朝霞出现的年份数：__________，朝霞出现后当天下雨的年份数：_________； ②晚霞出现的年份数：__________，晚霞出现后次日晴天的年份数：_________． （2）解释概率思想：“朝霞不出门，晚霞行千里”是经验性的概率总结，而非绝对规律，从数据看，朝霞后下雨的频率约为_________，晚霞后次日晴天的频率约_________，说明“朝霞下雨，晚霞晴天”是大概率事件，但不是必然发生，这体现了随机现象的特点：单次结果不确定，但大量观察后频率会具有__________．在实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率__________概率． 拓展辨析： （3）从以下谚语中选择一句，判断它描述的是不可能事件，必然事件还是随机事件，并说明理由． ①竹篮打水一场空；②种瓜得瓜，种豆得豆；③瑞雪兆丰年． 24. 如图，已知矩形，作正方形，使顶点，在矩形对角线上，顶点在边上，顶点在边上．（要求：仅用圆规与无刻度直尺作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 25. 如图，点在正方形的边上，以为边，在正方形右侧作正方形，点在延长线上，连接，，点、为对角线，的中点，点为线段的中点，连接，，． （1）若，为的中点，求的长度； （2）求证：，． 26. 阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 （1）①中第四步变形依据是__________； （2）把多项式分解因式并求出最小值； （3）已知，求代数式的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中学业水平测试 八年级数学试题 注意事项： 1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 一个不透明的袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到可能性最大的是（ ） A. 红球 B. 黄球 C. 白球 D. 都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小，解题的关键是计算每种颜色球摸到的概率．利用概率公式分别计算出摸到红球、黄球、白球的概率，然后利用概率的大小判断可能性的大小． 【详解】解：∵袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球， ∴总球数是：个， ∴摸到红球的概率是； 摸到黄球的概率是； 摸到白球的概率是； ∴摸出黄球的可能性最大． 故选：B． 2. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】多项式因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，等式右边是整式和差形式，不是乘积，A不是多项式因式分解； B选项：，左边是多项式，右边是整式的乘积形式，符合定义，B是多项式因式分解. C选项：，等式右边是整式和差形式，不是乘积，C不是多项式因式分解. D选项：，左边是单项式，而多项式因式分解一般是对两个或两个以上项的多项式进行变形，D不是多项式因式分解． 4. 某同学抛掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都是正面朝上，抛掷第四次，则下列说法正确的是（ ） A. 第四次一定是反面朝上 B. 第四次反面朝上的概率大于正面朝上的概率 C. 第四次一定是正面朝上 D. 第四次可能还是正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】质地均匀的硬币每次抛掷是独立的随机事件，前几次的抛掷结果不会影响下一次抛掷的结果，每次抛掷正面和反面朝上的概率相等． 【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，每次抛掷都是独立的随机事件，前三次抛掷的结果不会对第四次抛掷产生影响，且每次抛掷正面朝上和反面朝上的概率都为， ∴第四次抛掷既可能正面朝上，也可能反面朝上，两种结果的概率相等，故D正确． 5. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角． ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 6. 从2，3，4，5，6这五个数中，随机选取三个不重复的数字构成一个三位数，下列事件是必然事件的是（ ） A. 三位数是2的倍数 B. 三位数是奇数 C. 三位数大于230 D. 三位数大于700 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件的定义，结合五个数字的取值范围，判断每个事件是否一定发生即可求解． 【详解】解：A．当三位数个位为3或5时，不是2的倍数，故该事件是随机事件，不符合要求； B．当三位数个位为2，4或6时，三位数是偶数，不是奇数，故该事件是随机事件，不符合要求； C．最小三位数，所有组成的三位数都大于230，该事件是必然事件，符合要求； D．最大三位数，不可能得到大于700的三位数，该事件是不可能事件，不符合要求． 7. 如图，等腰梯形中，，，与交于点，下列四个结论中①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点D作于点F，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出，，根据，得出，即，判断①正确；证明，得出，，再证明，判定④正确；根据与不全等，得出，判定②错误；根据与不一定相等，，说明与不一定相等，判定③错误． 【详解】解：过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示： 则，， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即，故①正确； ∵，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴与中三个内角都对应相等， ∵的对边，的对边，且， ∴与不全等， ∴，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∵， ∴与不一定相等，故③错误； 综上，正确的个数为2个． 8. 如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时最小，即最小， ∵与关于对称， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， 则，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标注1至6，投掷一次，下列事件中：①朝上一面的数是偶数；②朝上一面的数是3的倍数；③朝上一面的数不小于3．概率最大的是_________．（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】先确定投掷一次骰子所有等可能的结果总数，再分别找出三个事件包含的结果数，根据概率公式计算各事件的概率，比较概率大小即可得到结论． 【详解】解：①朝上一面的数是偶数，符合条件的结果为，共种，因此； ②朝上一面的数是的倍数，符合条件的结果为，共种，因此； ③朝上一面的数不小于，符合条件的结果为，共种，因此． ∵， 概率最大的是③． 10. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形． 【答案】两组对边分别相等 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，得出答案即可． 【详解】解：根据作图可知：，， 因此根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形． 12. 如图，在平面直角坐标系中，顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，则面积为__________． 【答案】42 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到轴，由点的坐标得到，，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴． 13. 对多项式用提公因式法分解因式，应提取的公因式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】解题思路是分别确定系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，再组合得到公因式即可． 【详解】解：系数的最大公约数， 相同字母的最低次幂：多项式中各项都含有的相同字母是，的最低次幂是，仅在第二项出现，不纳入公因式， 因此，应提取的公因式是． 14. 若菱形的对角线长为10和24，则此菱形周长为_____． 【答案】52 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形四条边相等计算周长即可． 【详解】解：∵ 菱形的对角线长分别为10和24， ∴ 对角线的一半长分别为5和12， ∵ 菱形的对角线互相垂直， ∴ 菱形的边长为， ∴ 菱形的周长为． 15. 若，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式将已知等式左边因式分解，再代入的值，即可计算求出的值． 【详解】解：根据平方差公式，得：， ，， ， 等式两边同时除以，得． 16. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出及，结合已知条件求出的度数，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数；由利用等腰三角形性质求出的度数，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 17. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的长度为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据折叠得出，设，则，根据勾股定理，即，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠可得：， 设，则， 在矩形中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， 即的长度为5． 18. 如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时，． 三、解答题（本大题共8小题，共76分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】连接，交于点O．利用平行四边形的性质得到，，则可得，然后利用平行四边形的判定可证得结论． 【详解】略． 21. 某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 47 96 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.95 0.951 （1）表中的__________，__________； （2）在此批次毛绒玩具中任取一个是优等品的概率约为_________（精确到）； （3）若此批次毛绒玩具共计有40000个，则这批玩具中大约有多少个是非优等品？ 【答案】（1）191； （2） （3）2000个 【解析】 【分析】（1）根据频率、频数和总数的关系进行求解即可； （2）根据频率估计概率的原理，从表格数据可知，优等品的频率在附近波动，再根据题干要求精确到，即可得出答案； （3）根据优等品的概率，求出这批玩具中非优等品的个数即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ； 【小问2详解】 解：随抽样数量n的增大，优等品的频率稳定在附近，故可估计其概率为，根据题中“精确到”的要求，可得概率的估计值是； 【小问3详解】 解：这批玩具中大约有非优等品的个数为： （个）． 22. 如图，矩形的对角线，相交于点，， （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形； （2）96． 【解析】 【分析】(1) 先利用两组对边平行证明四边形是平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分证明，从而判定为菱形 (2) 利用矩形对角线交点性质得出的面积是矩形面积的四分之一，再由菱形对角线将其分成两个全等三角形，求和即得四边形的面积 【小问1详解】 解：四边形是菱形； ∵， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵是矩形对角线交点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴将其分成两个全等的三角形， ∴， ∴． 23. 综合与实践：气象谚语是人们观察自然现象的经验总结，蕴含着概率的数学思想，请以“朝霞不出门，晚霞行千里”为例，完成以下实践任务． 任务一：数据收集 通过气象软件收集某地区近10年“朝霞出现后当天是否下雨”和“晚霞出现后次日是否晴天”的数据如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 朝霞是否出现 是 否 否 是 否 是 是 否 是 是 当天是否下雨 是 否 否 是 否 是 否 否 是 是 晚霞是否出现 是 否 是 否 是 否 是 否 是 否 次日是否晴天 是 否 否 是 是 是 是 否 是 是 任务二：数据整理与分析 （1）统计频数（由上表发现近10年来的数据） ①朝霞出现的年份数：__________，朝霞出现后当天下雨的年份数：_________； ②晚霞出现的年份数：__________，晚霞出现后次日晴天的年份数：_________． （2）解释概率思想：“朝霞不出门，晚霞行千里”是经验性的概率总结，而非绝对规律，从数据看，朝霞后下雨的频率约为_________，晚霞后次日晴天的频率约_________，说明“朝霞下雨，晚霞晴天”是大概率事件，但不是必然发生，这体现了随机现象的特点：单次结果不确定，但大量观察后频率会具有__________．在实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率__________概率． 拓展辨析： （3）从以下谚语中选择一句，判断它描述的是不可能事件，必然事件还是随机事件，并说明理由． ①竹篮打水一场空；②种瓜得瓜，种豆得豆；③瑞雪兆丰年． 【答案】（1）6，5；5，4 （2），；稳定性，估计 （3） ①竹篮打水一场空，是不可能事件，因为竹篮打水是无法完成的，不可能发生的； ②种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件，因为种下的瓜一定结出的是瓜，种下的豆一定结出的是豆，这件事一定会发生； ③瑞雪兆丰年，是随机事件，因为丰收还受其他因素影响，瑞雪可能会是丰收年，也可能不会是丰收年，是随机发生的． 【解析】 【分析】（1）根据表格得出数据； （2）根据频数得出频率； （3）根据事件的分类求解． 【小问1详解】 解：①朝霞出现的年份数为6，朝霞出现后当天下雨的年份数为5； ②晚霞出现的年份数为5，晚霞出现后次日晴天的年份数为4； 【小问2详解】 解：朝霞后下雨的频率约为，晚霞后次日晴天的频率约； 单次结果不确定，但大量观察后频率会具有稳定性．在实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率估计概率； 【小问3详解】 解：略． 24. 如图，已知矩形，作正方形，使顶点，在矩形对角线上，顶点在边上，顶点在边上．（要求：仅用圆规与无刻度直尺作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】 如图，作线段的垂直平分线，交于点F，交于点H，交于点O，以点O为圆心，为半径画弧，交于E、G两点，连接，，，，则四边形即为所求作的正方形： 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，交于点F，交于点H，交于点O，以点O为圆心，为半径画弧，交于E、G两点，连接，，，即可． 【详解】解：根据作图可知：，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． 25. 如图，点在正方形的边上，以为边，在正方形右侧作正方形，点在延长线上，连接，，点、为对角线，的中点，点为线段的中点，连接，，． （1）若，为的中点，求的长度； （2）求证：，． 【答案】（1） （2） 证明：过点M作于点H，过点N作于点K，如图所示： 则， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得出，，，根据勾股定理求出，从而得出，根据正方形性质得出，，，根据勾股定理求出，从而得出，最后根据勾股定理求出； （2）过点M作于点H，过点N作于点K，证明，得出，，求出，得出． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：； 【小问2详解】 略 26. 阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 （1）①中第四步变形依据是__________； （2）把多项式分解因式并求出最小值； （3）已知，求代数式的最大值． 【答案】（1）平方差公式 （2）因式分解为；最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）观察式子结构即可解答； （2）根据材料，结合完全平方和平方差公式即可求解； （3）由已知得到，代入中，再利用完全平方公式变形求解即可． 【小问1详解】 解：①中第四步变形依据是平方差公式； 【小问2详解】 解：将多项式因式分解： ； 求多项式的最小值： ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最小，且最小值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最大，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $