陕西榆林市靖边县靖边中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

靖边中学2027届高一第二学期期中考试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第八章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若点A在直线m上，直线m在平面a内，则下列关系表示正确的是 A.ACm B.m∈a C.A∈a D.ACa 2.若(x-i)i=y十5i(x,y∈R),则x十y= A.6 B.5 C.-6 D.-5 3.在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，则AB+AD+C它= A.2CE B号Aò C.BE D.-号Aò 4.已知向量a=(一2，一1)，b=(-1,一1)，则向量b在向量a上的投影向量为 A.（-65.-35) 5 B.(-25,-5) 5 5 c(-8- D(-8-》 5.已知m,n,l为三条不同的直线，a,3为两个不同的平面，若a∩3=L,mCa,nC3,且m与n异 面，则 A.l至多与m,n中的一条相交 B.l与m,n均相交 C.l与m,n均平行 D.l至少与m,n中的一条相交 6.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，可抽象为如图2所示的几何体，该几何 体是上、下底面周长分别为32cm,24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm,忽略收纳罐的厚 度，则该香料收纳罐的容积为 A cm' B.74 cm C.148 cm 图1 图2 D.298cm3 【高一期中考试题·数学第1页（共4页）】 25-T-722A 7.如图，在正三棱锥P-ABC中，PA=AB,点D,E分别是棱AB,PB的中点，则直线PD与 CE所成角的余弦值为 A P n 8.为了测量A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15° 北偏东45°方向.再往正东方向行驶48海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的 北偏西60°方向，则A、B两岛屿之间的距离为 A.28√3海里 B.28√6海里 C.24√3海里 D.24√6海里 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.若a>b,则a>b B.若a=b,则a∥b C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若a=b,b=c,则a=c 10.已知之1,2均为复数，且2≠0，则下列结论正确的是 A.若12=0，则=0 B.若之=，则1十2是实数 C.若<0，则1是纯虚数 D.若=，则1=2 11.已知三棱锥P-ABC的有顶点都在球O的球面上，△PAB是等边三角形，AB=AC=2, BC=2√2，点D是棱PB的中点，且CD=√7，则下列说法正确的是 A.PC=2√2 B.PB⊥AC C点D到平面ABC的距离为 D.球0的表面积为28x 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数9为纯虚数则实数a的值为 13.在边长为2的菱形ABCD中，M,N分别为BC,CD的中点，AM·AB D =5,则AM·AV= 14.如图，在棱长为3的正方体ABCD-AB,CD中，点M,N分别为棱 AB,AA上的点，且AM=AN=1,点P是正方体ABCD-A,BCD表 面上的一点，若CP∥平面CDNM,则点P的轨迹长度为 【高一期中考试题·数学第2页（共4页）】 25-T-722A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(一2,3)，b=(k,2-k). (1)若a∥b,求实数k的值； (2)若a十2b与2a一b垂直，求实数k的值. 16.(本小题满分15分) 如图所示，OA'B'C'为四边形OABC的直观图，其中OA'∥CB',OA'=3,OC'=1,B'C'=1. (1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积； (2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. y 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且S= (2-2）sinA. (1)证明：b=2c; (2)若bcos A=-子c,求cosC 【高一期中考试题·数学第3页（共4页）】 25-T-722A 18.(本小题满分17分) 如图，在正方体ABCD-ABC1D1中，点G,E,F,P分别为棱AB,D1C,BC,AA1的中 点，点M是棱A1D1上的一点，且DM=3AM (1)求证：D,B,F,E四点共面； D E (2)求证：D1G∥平面DBFE; (3)已知点N是棱AB,上的一点，且平面PMN∥平面DBFE,求 公的值 G 19.(本小题满分17分) 如图，三棱锥A-BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，CD=2√3，平面ABD⊥平面 BCD,AD⊥CD,P,M分别为AD,CD的中点. (1)证明：BP⊥平面ACD: (2)求MP与平面BPC所成角的余弦值； (3)求二面角P-BM-D的正弦值， B 【高一期中考试题·数学第4页（共4页）】 25-T-722A靖边中学2027届高一第二学期期中考试题·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由点，线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确.故选C 2.A因为(x-i)i=1+xi=y+5i,所以x=5,y=1,x+y=6.故选A. 3.BA+市+C花=A花+C葩=A范=Ad,故选B 4.D向最b在向量a上的投影向量为·日=子a=(一号一号)，故选D 5.D由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线1与m,n不能同时平行，若直线l与m,n同时平 行，则m与n平行，与两直线异面矛盾，所以l与m,n中的一条相交或与m,n都相交.故选D. 6.C由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为8cm,6cm,故该香料收纳罐的容积为号×3×(8+6十 √82×62)=148cm3.故选C. 7.C取线段BD的中点G,连接EG,CG,易得EG∥PD,所以∠CEG为直线PD与CE 所成角或其补角.不妨设AB=4,易得EG=√3，CE=23.在△BCG中，由余弦定理得 CG9=BG?+BC-2BG·BCcos∠GBC=13,所以CG=√13.在△ECG中，由余弦定 、理得os∠CGG十CCG23是236即直线PD与CE所成角的余A飞 2EG·EC 弦值为。.故选C 8.D根据题意画出图形，如图所示： B 北 东 由题意知∠ADC=105,∠ACD=30,CD=48,所以∠DAC=45,在△ADC中，由正弦定理得：s85 sin30,解得AD= AD 48X1 =242,又∠BDC=45,∠BCD=90,所以BC=DC=48,BD=48VE,又∠ADB ② 2 =15°+45°=60°，在△ADB中，由余弦定理得：AB=(48√2)2+(24√2)2-2×48√2×242cos60°=3456， 解得AB=24√6，所以A、B两岛屿之间的距离为24√6海里.故选D. 9.BD向量不能比较大小，A错误；a=b表示向量大小相等，方向相同，所以a∥b,B正确；若b=0,则不能推 出a∥c,C错误；根据平面向量相等的定义，D正确.故选BD, 10.ABC因为12=0，又2≠0，所以1=0，A正确；设=a+bi(a,b∈R),则2=a一bi,所以1十2=2a 为实数，B正确；设1=a十bi(a,b∈R),则号=(a十bi)2=a2一b十2abi,又号<0，所以a=0,b≠0，所以 是纯虚数.C正确；若=1=一+号.则清足=，面≠，D错误.故选AC 【高一期中考试题·数学参考答案第1页（共4页）】 25-T-722A 11.ABD因为点D是棱PB的中点，所以PD=DB=1,又CD=√7，BC=2√2，所以BC=CD+DB,所以 CDIPB,所以PC=√CD+PD=2√2，故A正确；因为BC=AB+AC,PC=PA2+AC,所以CA⊥ AB,CA⊥AP,又AB∩AP=A,AB,APC平面PAB,所以CA⊥平面PAB,又PBC平面PAB,所以PB⊥ AC,故B正确；在平面PAB内，过点D作AB的垂线，垂足为E,又CA⊥平面PAB,DEC平面PAB,所以 CA⊥DE,又AB⊥DE,AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,所以DE⊥平面ABC,所以点D到平面ABC的 距离为DE,又DE=DBsin∠DBA-号，枚C错误：设球O的半径为R,△PAB的外接圆的半径为r,所以 即看解得=2.所以R=√（令）+产√+(-V月所以球0的表面积 AP 2r=- 2 S=4×(√写)-2袋，故D正确，故选ABD. 12.2 因为M,N分别为BC,CD的中点，所以AM·A店=(AB+B0·A店-A亦+AD·A店-5，所以AD :AB=2,所以Ai.A衣=(A市+AD)·(A市+2A=号A亦+号A市+A成·AD- 14.2√13十2√2在棱AB1上取一点E,使得A1E=1,连接CE,EM,如图所示，易 得EM∥CC,EM=CC,所以四边形EMCC是平行四边形，所以MC∥EC,又A MCC平面CDNM,EC中平面CDNM,所以EC∥平面CDNM.在棱BB上 取一点F,使得BF=1,连接FN,FE,FC,如图所示.同理可得FC∥平面 CDNM,又FC1∩EC1=C,FC,EC1C平面FEC,所以平面FEC∥平面 CDNM,所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为△CEF.因为正方体 ABCD-A1BCD,的棱长为3，所以EC=FC=√3+2=√I3,EF=√/22+2=22，所以点P的轨迹 长度为EC+FC十EF=2wI3+22. 15.解：(1)因为a=(-2,3),b=(k,2-k),且a∥b, 所以一2(2-k)一3k=0,… …3分 即一4一k=0,所以k=一4.… …6分 (2)因为a=(-2,3),b=(k,2-k), 所以a2=13,b=k2+(2-k)2=2k2-4k+4,a·b=-2k+3(2-k)=-5k+6,…9分 因为a+2b与2a-b垂直， 所以(a+2b)·(2a-b)=2a2+3a·b-2b2=26-15k+18-4k2+8k-8 =4k2-7k十36=0，…………11分 解得b=或k三一4. 13分 16.解：(1)在直观图中OA'=3,OC=1,B'C=1,OA'∥CB', 则在平面图形中OA=3,BC=B'C=1,OC=2OC=2,CO⊥OA,CB∥OA, 于是AB=√22+2=22，…3分 所以平面四边形OABC的平面图形如下图所示： 【高一期中考试题·数学参考答案第2页（共4页）】 25-T-722A 22 5分 由上图可知，平面四边形OABC为直角梯形，所以面积为1+3)X2=4. 2 7分 (2)直角梯形OABC以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，…9分 由(1)可知几何体底面圆半径为r=2,圆柱母线长和高都为1，即1=l1=1; 圆锥的高为h2=2,母线长为L2=2√2， 所以体积V=V+华=r么十吉矿e=4十号 20 3r: 13分 所以表面积S=πr2+2πrl1+πrl2=4π十4π十4√2π=(8十4√2)元. 15分 17.(1)证明：△ABC的面积S=号esin A,又S=(2-2)sinA,所以号esin A-=(2-2)sinA, 又A∈(0，x),所以simA>0,所以2c=28-2,… …3分 所以(b十c)(b-2c)=0,又b十c>0,所以b=2c.…7分 c=1=b+c2-a2 (2)解：因为6cosA=子c,所以cosA=68 2bc 9分 所以a=+c-c=+e2-2=号e,所以a=3 , 12分 所以cosC-a2+0-c22c2+4c2-2 =5② 2ab 2X32 8· 15分 号cx2c 18.(I)证明：连接DB,如图所示，因为点E,F分别为棱DC,BC的中点，所以EF∥D,B,EF=之DB, 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DB∥D1B,DB=DB1, D 所以EF∥DB,所以D,B,F,E四点共面. 5分 (2)证明：连接D1C,GC分别交DE,DB于点H,O,连接HO,如图所示. 在正方体ABCD-A,BCD,中，D,E/DC.DE=2DC, 所以△HED△HDC,所以2H-0=} 7分 2 G 同理可料号瓷子 8分 在△CDG中，光-8品所以H0/nG, ……9分 又HOC平面DBFE,DG过平面DBFE,所以DG∥平面DBFE. 11分 (3)解：因为平面PMN∥平面DBFE,平面PMN∩平面A1B1CD1=MN,平面DBFE∩平面A1BCD= EF,所以EF∥MN,…14分 又EF/D,B,所以nBN.又DM-AM所以会答-含0- 17分 【高一期中考试题·数学参考答案第3页（共4页）】 25-T-722A 19.(1)证明：取BD中点E,连接AE. 因为△ABD是等边三角形，所以AE⊥BD, 1分 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AEC平面ABD,所以 AE⊥平面BCD, 又CDC平面BCD,所以AE⊥CD. 又因为CD⊥AD,AD∩AE=A,AD,AEC平面ABD,所以CD⊥平面ABD, 而BPC平面ABD,所以CD⊥BP.…3分 因为P为AD的中点，所以BP⊥AD, 又CD∩AD=D,CD,AD℃平面ACD,所以BP⊥平面ACD.…5分 (2)解：过点M作MH⊥PC,垂足为H. 因为BP⊥平面ACD,MHC平面ACD,所以BP⊥MH, 又BP∩PC=P,BP,PCC平面BPC,所以MH⊥平面BPC, 所以∠MPC为MP与平面BPC所成的角.…7分 因为AD1CD.MD=CM=2CD=5,PD=2AD=1, 所以PM=√/PD+MD=√1？+(W3)2=2,PC=√PD+CD=√/12+(2√3)2=√/13，…8分 在△CPM中，由余弦定理得cos∠MPC=PC+PMCF-3)+2-W3)7s 2PC·PM 2×√13×2 26 所以MP与平面BPC所成角的余弦值为7,3 26 11分 (3)解：取ED的中点O.连接PO.易知P0/AE,P0=专AE=. 过点P作PG⊥BM,垂足为G,连接OG. 由(I)知，AE⊥平面BCD,所以PO⊥平面BCD. 又OG,BMC平面BCD,所以PO⊥BM,PO⊥OG. 因为PO∩PG=P,PO,PGC平面POG,所以BM⊥平面POG. 又因为OGC平面POG,所以BM⊥OG, 所以∠PGO为二面角P-BM-D的平面角. 14分 由(I)知CD⊥平面ABD,BDC平面ABD,所以CD⊥BD, 所以在Rt△BDM中，BM=√BD+Df=V√2+（√3）2=√7， 由(2)知，BP⊥平面ACD,又PMC平面ACD,所以BP⊥PM. 在RABPM中，Smw=号BP·PM=BM·PG, 即2×3X2=合×7×PG,解得pG=2T 7 16分 3 在Rt△POG中，sin∠PGO=PQ 2 PG 221 4 所以二面角P-BM-D的平面角的正弦值为？ 17分 【高一期中考试题·数学参考答案第4页（共4页）】 25-T-722A