广东中山市华侨中学2025-2026学年高一下学期数学期中试卷

广东省中山市华侨中学2025-2026学年高一下数学期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.(5分)若a是第二象限角，则点P(sina,cosa)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 25分)已知非零向量d,b满足6三V⑧a,且向量6在向量a上的投影狗量是多d,则向量d与 b的夹角是() A君 B.3 π c.3 D. 3.(5分)将函数，=sm2x一牙)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到 原来的一半，纵坐标伸长为原来的②倍，则所得到的图象的函数解析式是() A.y=-V2cos 4x B.y=-v2cosx C.y=V2sin 4x D.y=V2sinx 4.(5分)在△ABC中，D在BC上，且BD=2DC,∠DAC+∠BAC=T,则A5 的值为() AD A.V② B.2 C.3 D.3 s6分)a(a+君)-ma=期co(n-)的位为t) 7 A.一25 C.- 19 D. 19 B. 25 25 25 6.(5分)在△ABC冲，2BO=OC,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N,设AB=mAM AC=nAN,则2m+n的值为(） A.1 B.2 C.3 D.4 7.(5分)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若 sin(A+B)= 2v2S a2+b2-c2 则兮的取值范围为（) A(2 8.(5分)在边长为1的正三角形ABC中，P,Q分别在边AB,AC上，且PQ= ,则BP.CQ的取值范 围是() A哈 D. 第1页 共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 1 1 9.(6分)已知cosacosB=4,cos(a+)=3则(） A.iosin=立B.csa-例=君 C.tanntand 是D.8in2asin28=D 10.(6分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，下面四个结论正确的是() A.若a cos A=bcos B,则△ABC为等腰三角形或直角三角形 B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 C.若B-了Q=4V3。且△ADC有丙解，则b的取值范围是（⑧，4V网 D.若c0s2A+cos2B<1+cos2C,则△ABC为锐角三角形 11.(6分)给出下列命题，其中正确的选项有() A.若1a=4,=1,向量a与向量石的夹角为120°，则d在6上的投影向量为-26 B.已知a=(1,2),=(1,1),且a与ā+6的夹角为锐角，则实数入的取值范围是 C.若PA.PB=P方.PC-P心.PA,则P是△ABC的垂心 D.在△ABC中，向量AB与AC满足 AB BC=0,且 BA BC 1 B BC 2 ,则△ABC为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.6分)已知向量d,6满足a=2,=1,1(a+),则a-2= 13.(5分)如图，为了测量河对岸A,B两点之间的距离，在河岸这边取点C,D,测得∠ADC=90°， ∠BDC=60°，∠ACD=45°，∠BCD=75°，CD=100m,设A,B,C,D在同一个平面内， 试求A,B两点之间的距离为 1A6分列)已知商数f回)=sin(oz+)sn(。r+客）)o>0.(e∈R).若方程fa)=0在区间 (石内无解，则的取值范围是 第2页 共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，在平行四边形ABCD中，D应=5EC 0 EC B ()用向量AB,AD表示AC,A正： 2若AF-5 3AB+3AD,证明：A,E,F三点共线 16.(15分)如图，观测站C在目标A的南偏西20方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测 到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得C,D相距21km. 北 A D B (I)求sin∠BDC: (2)求D,A之间的距离. 17.(15分)已知函数f()=2sin(wz+p)(。>0,A>0,ol<)的一段图象如图所示： 5π11π 1212 πO 12 (1)求函数f(x)的解析式： ②若f@)=子a∈(0》求r(a-)的值 第3页 共4页 187分已知在△ABC中，N为AB中点，B成-号d,A=2.Ad=4 B M (山)若∠BAC=60°，求A: (回设A店AC的夹角为0，.若cas0-子求证：CN1AB, @)若线段NC上一动点P满足AP三2AC+4AB,试确定点P的位置 19.(17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知2cco8C=a cos B+bcos A. C (1)求C (2)若D在AB上，CD平分∠ACB.若E在AC上，BE平分∠ABC,且BC+BD=BE+CE,求 ∠ABC. 第4页 共4页 广东省中山市华侨中学2025-2026学年高一下数学期中试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 2 0 D C 0 C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 B,C A,B,C A,C,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2v3 13.50v2m 4(U层周 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1点0AG-店+Ad,正-店+d (2)证明见详解 16.)4v3 7 (2）15km 17.(①f)=2sim(2x+) (2)4v2 3 18.)Vg 2 (2)证明见解析 (3)点P为线段NC的中点 190君 第1页 共10页 (2） 数学参考解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.D 【解答过程】 因为α是第二象限角， 所以s2na>0,cosa<0, 所以点P(sina,cosa)在第四象限， 故选D 2.D 【解答过程】 :B=V3到@斗，向量6在向量d上的投影向量是2， 9音得红) vcs(,）-aw(a,）号(a,eo 则(a,6)= 故选：D 3.C 【解答过程】 格隔数=sn2z-牙的图象向左平移写个单位长度，得y=sm2c+百)- ]=sin2x的图象， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得y=sin4x的图象， 然后将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的v2倍，得y=√2sin4x的图象. 故选：C 4.C 【解答过程】 因BD=2DC,则BC=3DC, 因∠DAC+∠BAC=π，则sin∠DAC=sin∠BAC, 在△ADC中利用正弦定理得，AD CD sin AB sinDAC①， BC 3DC 在△ABC中利用正弦定理得， sinc=sim/BAC’0 sinC=sin∠DAc②， 由①②两式得AB AD =3. 第2页 共10页 B D 故选：C 5.D 【解答过程】 cas(a+君)-sima= 君-aa君-如a=9sa-名a=V5s(a+)=f a+)-(e+别=6+)1=2x(等》-1是 aa)=as(2a+-）=-co(a+）)-碧 故选：D. 6.C 【解答过程】 由2Bd=0C,得2(40-AB)=Ad-A6, 又AB=mAM，AC=nAN 则Ad=2Ad+公A, 3 3 又以，0N共线，因此+背=1，即2m+n=3 故选：C 7.B 【解答过程】 因为sin(A+B)= ,a2+6B2c2'可得sinC= 2V2S 2v2.absin -,且sinC≠0， a2+b2-c2 所以1= V2ab a2+b2-c2 a2+b2-c2 由余弦定理可得cosC= 2ab 2 又因为C∈0，，所以C= 41 因为△ABC为锐角三角形，则满足 ∫0<B< 0<亭-B< 可得<B< 4 第3页共10页 由正弦定理得 sin A sin(B) 号cosB+号sinB V2 v② sin B sin B sin B 2tan B 2 又因为tanB>1,所以0< tanB<1,可得0< V2 v② 2tan B < 2 可得 故选：B 8.A 【解答过程】 如图，以BC的中点为坐标原点O,BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系. 因E三角形A5C的边K,则A0,9.以-号0，Cr0, 因肌，Q分别在边AB,4C上，不纺设行-AM店-A(-号点，AE0,可得 ==哈e弘+则 PG=+45a. 又Pe=方则P02=a+P+A-2-e+2-=京则 =专+n2-立（网 因B时-，.1-》.=u-,-3a-. 2 则Bm.cd-1--)-1-j0u-)=-a+-4-. 将(*)代入上式，可得 丽.0-a++a+四-0=6a+P-30++. 由可9=+-立sA+ 4,当且仅当入=“=时取等， 1 n≤+a3-立sA乎ga8+mr流aE断=A日 4 ,则t∈[与， 成.c6--+号)=君-多+立tc上单调选减，微丽.de哈子 第4页共10页 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.B,C 【解答过程】 1 1 1 由cos(a+)=cos-sin a sin月=3'且cos=4,则sinasin=-2,故A错 误： 111 cos(a-B)=cos a cos B+sin a sin B= 412=6,故B正确： 1 由tana tan B= cos a Cos B= 一3故C正确： sin 2a sin 28=2 sin acosa.2 sin B cos B=4sin a sin B cos a cos B=4 -2 ,故D错误。 故选：BC 10.A,B,C 【解答过程】 对于A,若aosA-bcosB,则由余弦定理得a×+c-a2 =b×a2+e-0 2bc 2ac 即a2(62+c2-a2)=b2(a2+e2-b2) b2c2-b4=a2c2-a,c2(a2-b2)=(a2+62)(a2-b2） 所以(a2-b2)(a2+2-c2)=0,所以a=b域a2+62=c2, 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A正确： 对于B.在领角△ABC中，A+B>分放A>2-B且A行-B∈(0，)】 故sinA>sim(行-B)=cosB,所以不等式inA>cosB恒成立，故B正确： 对于C,若B=3a=4V3,且△ABC有两解， 则a血B<b<a,故4v5×<b<4V店，即6<6<4V3,故c正确」 对于D,若cos2A+cos2B<1+cos2C,则1-cos2C<(1-cos2B)+(1-cos2A), 即sin2C<sin2B+sin2A,由正弦定理得c2<b2+a2,所以角C为锐角， 但角A,B未知，无法判断△ABC为锐角三角形，故D错误， 故选：ABC. 11.A,C,D 【解答过程】 A.因为a=4,=1,向量d与向量b的夹角为120°，则d.i=-2, 所以d在b上的投影向量为 d. 2.6=-26,故A正确： B.因为a=(1,2),6=(1,1),且a与a+入b的夹角为锐角，a+入6=(1+入，2+)， 第5页共10页 所以a·(a+6)<0,且ā，(a+)不共线且同向， 即1+入+22+)<0，且2+A≠2(1+)，解得X<- ,故B错误； c.因为PAPB=PB.PC=P心.PA 所以P2.(P4-Pd=0,PA.(PB-Pd=0,Pd.(PA-P2=0 即P店.Ad=0,P.C方=0，P己.A店=0，所以P是△ABC的垂心，故c正确： D.在△ABC中，因为向量AB与AC满足 AB BC=0. AC AB 则 BC, AC AB AC 又 是∠A的角平分线上的向量，所以AB=AC, BA BC BA BO 2所以∠A= ,所以△ABC为等边三角形，故D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2V3 【解答过程】 由61(a+)得6.(a+)=0,所以ā.6+=a.i+1=0,所以a.6=-1 a-26=Va2-4a.i+462=V4+4+4=2V3. 故答案为：2√3 13.50v2m 【解答过程】 在△BDC中，∠BDC=60°，∠BCD=75°，则∠CBD=45°， 其中sin75°=sin(45°+30)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =2×3+②x1v+v② 4 由正弦定理，得BD= BCsinBCD 100sin 75 =50(3+1)m. sin∠CBD sin45° 在△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，则∠DAC=45°， 又DC=100m,则AD=100m, 又∠ADB=∠ADC-∠BDC=90°-60°=30°， 在△ABD中，由余弦定理，得AB2=AD2+BD-2AD·BDcos∠ADB =1002+[50(V3+1)]2-2×100×50(V/+1)cos30°=5000， 第6页 共10页 所以AB=50v2m. 故答案为：50√2m 14. (U后哥 【解答过程】 f倒=m(r+君)n(r+）=sm(oa+君)n(r+君+》 -sin()() 令fa)=0.有2uz+写=xk∈2.解得x=20 -7 令<，解得+有<<2+ 方程)=0作区间（受）内无解，则区间(o+号2w叶写 内不存在整数， 又 2m1 32 πT 2 2w2 得w≤1，又w>0, 32w+ 所以ω 1 C(1,2), 1 5 解得0<ω≤ 或 3 ≤ω≤ 6 则w的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1) 4C=AB+A市，A店=5AB+AD 6 【解答过程】 由平行四边形ABCD,可得AC=AB+AD, .DB=5EC,.DB=5DC :A花=Ad+D-A币+G-Ad+名A成.即A应-普A店+Ad (2) 证明见详解 【解答过程】 由a)A2- 证+心，-西+0-专（倍店+A0) 6 所y正-号证， 所以A,E,F三点共线 16.(1) 第7页 共10页 4v3 7 【解答过程】 由题意知：BD=20km,CD=21km,BC=31km 在ABCD中，由余弦定痒cos∠BDC-BD+CD-BC400+44-961 2BD.CD 2×20×21 因为0°<∠BDC<180, 所以sin∠BDC=V1-cos2ZBDC=4Y3 7 (2) 15km 【解答过程】 cs∠CDA=cos1s0-∠BDC)=-6as∠BDC-70<∠CDA<180, ∴sin∠CDA=V1-cosLCDA=4y3 7 由题意知：∠CAD=20°+40°=60° 在△ACD中，由正弦定理得： CD AC sin CAD=sin ZADG,所以AC=24km 由余弦定理得：AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=AC2 即AD2+441-6AD=576, 解得：AD=15km或AD=-9km(舍) .D,A之间的距离为15km 17.(1) f(z)-2sin (2a+) 【解答过程】 由图象可知，T= 晋-()=不所以名=w>0=2 f(豆)=2m(-名+9)=0.得-石+g=2k,k∈z、叉m<分撤4=君 于是f(e)=2sin(2x+6) (2) 4v2 3 【解答过程】 f回=2m(a+君)-子即血(2a+君)-3 f(a-）)=2im2a-a)+君】=2sim(a+6-)=-2cs(2a+) ae(0).得2a+言e(后司）又0<血(2a+合)=号< 以2a+后e( 则 第8页 共10页 (w+)=y1-() 2√2 3 于是f(a-)=-2cos(2a+)= 4v2 3 18.(1) v19 2 【解答过程】 因为B成-专6，则Ad-A店-号(4d-Ad） 可得Aa=A店+4d 因为AB=2,AC=4,∠BAC=60, 由平面向量数量积的定义可得A店.Ad-Acos60°=2×4×号4， 所以， -骨a+d-d+aG-oa店+6ad.ad+ad 4V9×4+6×4+4=1© 2 (2) 证明见解析 【解答过程】 因为N为AB的中点，则C成=A-4d=写A店-Ad, 由平面向量数量积的定义可得A店.Ad-Aeos9=2×4×寻=2， 所以， c.A店-（分a店-ad）店-5A店-A店d-方×2-2=0， 又因为CN、AB均为非零向量，故CN⊥AB,即CNLAB. (3) 点P为线段NC的中点 【解答过程】 因为点P在线段NC上的一点，设NP=XNC,其中0<A<1, 则AP-AN=入AC-A）,所以，A=1-)A+XAd=1,入A店+4C 又因为AP=号Ad+AB,且A店、AC不共线， 1 所以， 号，架=此时，点P为段NC的点 λ= 19.(1) 【解答过程】 因为2 ccos C=a cos B+bcosA,由正弦定理 第9页 共10页 a b sin A=sin B=sinC 得：2 sin C cos C=sin Acos B+sin B cos A=sin(A+B), 因为sin(A+B)=sin(r-C)=sinC,所以2 sin C cos C=sinC. 因为C∈0所以smC>0,所以eosC=专所以C=号 (2) An 9 【解答过程】 因为CD平分LACB,所以LACD=∠BCD= 6 设LABC=20,则∠ABE=∠CBE=0,因为LACB=T 所以A- -28,∠CEB= 2-0,∠CDB= 3 5m-29 6 BC CE BE BD BC BC 由正弦定理， sin(停-0)-sin0-sin' sin号sin(警-20) sin(20+) sin君 sin sin 因为BC+BD=BE+CE,所以1+ sin(20+若) sin() sin(0) 因为 +如写=m[(侣+)+（层】+s如[(+）-(？-】=2m(+)(?-) sin石 所以1+ c0s(唱-).即 sin若 sin sin(20+)cos(号+) sin(20+)cos(号+) 所以tsin cos ）=sim2n(29+) 因为nin月=2cos(a-)-cos(a+aj, 1 /30,π /50 COs2+6-Cos26 /50, π 30 即cos(2+6)+cos(2+6)=co(2+6” 30π 2coLg+6s0c02个6 因为g∈(0,3)，所以cos0≠号所以eas 39. +)-0 4π 9 第10页 共10页