广东省中山市中山纪念中学等五校2023-2024学年高一下学期第一次联考数学试卷

2026 届中山纪中、珠海一中、惠州一中 东莞中学、深圳实验五校第一次联考数学试题 命题：深圳实验学校高一备课组 审题：深圳实验学校：潘盛华 (满分 150 分。考试时间 120 分钟。) 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 复数 的模|z|是 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 4 2.下列说法正确的是 ( ) A. 若 则 B. 若 则 C. 若 则 D. 若 则 3. 如图, 二面角α-l-β等于120°, A,B是棱l上两点, BD,AC分别在半平面α,β内, AC⊥l, BD⊥l, 且AB=AC=BD=2,则CD的长等于 ( ) A. 4 4. 在 △ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 已 知 若 则△ABC的外接圆半径等于 ( ) 高一数学试卷 第1页 (共6页) A. B. 2 C. 2 D. 4 5.祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家.祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若用平行于半球底面的平面α去截半径为R的半球，且球心到平面α的距离为 则平面α与半球底面之间的几何体的体积是 ( ) 6.已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为 ( ) A. 100 B. 50 C. 48 D. 24 7. 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a,b,c, 且2b=a+c, 设△ABC的面积为S, 若 则此三角形的形状为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D. 等边三角形 8.正四面体的棱长为3，点M，N是它内切球球面上的两点，P为正四面体表面上的动点，当线段 MN最长时， 的最大值为 ( ) A. 3 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是 高一数学试卷 第2页 (共6页) A. 若 则△ABC一定是等边三角形 B. 若A=60°, a=3, b=2 ,则△ABC有两解 C. 若acosA=bcosB, 则△ABC一定是等腰三角形 D. 若tanA+tanB+tanC>0, 则△ABC一定是锐角三角形 10. 如图, 在△ABC中, D为BC的中点, AD与BE交于点F,若 则下面对于xy的描述正确的是 A. 2x+3y=-1 B. 2x-3y=1 C. x-y=1 D. x+y=-1 11. 如图, 矩形ABCD中, AB=4, BC=2, E为边AB的中点, 沿DE将 折起，点A折至A₁处( A₁∉平面ABCD), 若M 为线段A₁C的中点, 平面A₁DE 与平面DEBC所成二面角α，直线A₁E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是 A. 存在某个位置, 使得BM⊥A₁D B. △A₁EC面积的最大值为 D. 三棱锥A₁-EDC 体积最大时, 三棱锥. 的外接球的表面积16π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，已知由斜二测画法得到的水平放置的四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的面积为 . 13.为了测量某建筑物的高度AB，可以选与底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D. 现测得∠BCD=30°,∠BDC=120°, CD=100米, 并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则该建筑物的高度AB= 米. 14. 已知点A(0,1) , 点P(x,y)是△ABC内(包含边界)一动点，请你结合所学向量的知识，求出 的最大值为 . 高一数学试卷 第3 页 (共6页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量 (1) 若 求实数m的值； (2) 若向量a和b的夹角( 为钝角，求实数m的取值范围. 16. (15分) 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是边长为2的正方形, PA⊥底面ABCD. (1) 求证: BD⊥PC; (2) 若PC与底面ABCD所成的角为45°; (Ⅰ ) 求点B到平面PCD的距离; (Ⅱ) 求二面角D-PC-A的余弦值. 17. (15分) 在 中，满足 (1)求A; (2)若 边 BC上的中线. 求△ABC的周长和面积. 高一数学试卷 第4页(共6页) 18. (17分) 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型 点E在棱PB上，满足 点F在棱PC上，满足 要求同学们按照以下方案进行切割： (1)试在棱PC上确定一点G，使得 并说明理由； (2)过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H 点的位置； (Ⅰ)请求出 的值； (Ⅱ)若正四棱锥模型. 的棱长均为6，求直线PA与平面α所成角的正弦值. 19. (17分) 定义向量 的“伴随函数”为. 函数. 的“伴随向量”为 (1)在 中，已知 点M 为边AB上的点，且 求出向量 的“伴随函数”f(x), 并直接写出f(x)的最大值M ; (2)已知向量 函数 求函数f(x)的“伴随向量” 的坐标； (3)已知 向量 的“伴随函数”分别为f(x)、 g(x), 设 且 的“伴随函数”为h(x)，其最大值为m. 求证： 向量 的充要条件为 2026届五校第一次联考 数学答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B C B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AD AC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 2 13. 300 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 已知向量 (1) 若 求实数m的值； (2) 若向量a和b的夹角(<ā，b>为钝角，求实数m的取值范围. 解:(1)由 则 即 即4m-1=0,得 ------- 6分 (2) 若(ā,b)为钝角, 即 ⇔ 且ā, b不共线, 即 得 且-12-m(1-m)≠0 得m≠4且m≠-3 综上解得 且m≠4. ---------- 13 分 试卷第1页，共7页 16. (15分) 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是边长为2的正方形, PA⊥底面ABCD. (1) 求证: BD⊥PC; (2) 若PC 与底面ABCD所成的角为45°; (Ⅰ) 求点 B到平面 PCD 的距离; (Ⅱ) 求二面角D-PC-A的余弦值. (1) 证明: ∵底面ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ∵PA⊥面ABCD, BD⊂面ABCD ∴PA⊥BD ∴AC∩PA=A, AC⊂面PAC, PA⊂面PAC ∴BD⊥面PAC ∵PC⊂面PAC ∴BD⊥PC ----- 5分 (2) ( Ⅰ) ∵PA⊥面ABCD, AC⊂面ABCD ∴ PC与面ABCD所成角为∠PCA,PA⊥AC----------- 6分 ∴∠PCA=45°, ∠PAC=90° ∴∠APC=45° ∴AC=PA ∵因为正方形ABCD边长为2 ---- 7分 ∴PC=4 ∵PA⊥面ABCD, AD⊂面ABCD ∴PA⊥AD ∴在△PDC中] 记点B到面PCD 的距离为d 由 得 ∴点B到面PCD距离为 -------- 10分 法二: ∵AB//面PCD 试卷第2页，共7页 ∴点B到面 PCD距离即为点 A到面 PCD距离, ∵面PAD⊥面PCD,∵面PAD∩面PCD=PD ∴ A到面PCD距离即为A到PD的距离 ∴点A到面PCD距离为 点B到面 PCD距离为 (Ⅱ) 过A作AE⊥PC于E,设AC、BD交于O, 过O作OF⊥PC于F, 连接FD,由 (1) BD⊥PC ∵OF∩BD=O ∴PC⊥面OFD ∵FD⊂面OFD ∴PC⊥FD ∴二面角D-PC-A的平面角为∠DFO ∴AE=2 ∵O为AC中点,AE⊥PC,OF⊥PC 在正方形ABCD中, ∴在Rt△OFD 中, ∴二面角D-PC-A的余弦值为 -------- 15分 17. (15分) 在△ABC中, 满足( (1)求A; (2)若 边 BC上的中线. 求△ABC的周长和面积. (2)周长为 面积为( 【分析】(1)由已知及正弦定理边化角，借助和角的正弦理解即得. (2)□由中点向量公式、余弦定理、三角形面积公式列式计算即得；□边AB，AC的中点分别为M，N，利用数量积的运算律并结合圆的性质计算即得. 试卷第3页，共7页 【详解】(1)在△ABC中, 由. 及正弦定理，得 而sin C=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 则( 显然sin B>0, 因此1 则0<A<π, 得-1<cosA<1, 解得( 所以 ----- 7分 (2) 由边 BC上的中线. 得 两边平方得 则 即 在△ABC中，由余弦定理 得 解得 因此b+c=10, bc=24, 所以△ABC的周长为 面积为 .- 15分 18. (17分) 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型 P-ABCD. 点E在棱PB上, 满足 点F在棱PC上，满足 要求同学们按照以下方案进行切割： (1) 试在棱PC上确定一点G, 使得EF∥平面ABG, 并说明理由; (2)过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H 点的位置； (Ⅰ)请求出. 的值； (Ⅱ) 若正四棱锥模型P-ABCD的棱长均为6，求直线PA与平面α所成角的正弦值. 试卷第4页，共7页 (1)由已知得,点E在棱PB上,满足 点F在棱PC上，满足 所以，取PC上靠近C的四等分点为G，则必有 则根据三角形相似，必有BG∥EF , 使得EF∥平面ABG -------- 5分 (2)(Ⅰ) 延长FE, 与延长CB交于M , 连接MA, 并延长与CD的延长线交于N, 连接FN, 交PD于H, 由(1) 可得 即G为CF的中点, 由EF||BG, 可得B为MC的中点, 由AD∥BC.可得D为CN的中点,在等腰三角形PCD中, F为PC的中点, 取CD的中点K, 连接FK, 则PD=2KF, 所以, PD=3DH, 即 -------- 11分 (Ⅱ) 法一: ∵BD⊥面PAC,BD∥EH ∴EH⊥面PAC,又∵EH⊂α面PAC,从而平面α⊥面PACPA与面平面α所成角为平面∠PAF -------- 14分 直线PA与平面α所成角的正弦值为 -------- 17分 法二：由等体积法求出点P到平面α的距离 ∵BD⊥面PAC,BD∥EH ∴EH⊥面PAC,又∵EH⊂α面PAC,从而平面α⊥面PAC 由 得 直线PA与平面α所成角的正弦值为 19. (17分) 定义向量 的“伴随函数”为f(x)=asinx+bcosx; 函数f(x)=asinx+bcosx的“伴随向量”为 (1)在△OAB中, 已知 点 M为边AB上的点，且 求出向量 的“伴随函数”f(x)，并直接写出f(x)的最大值M; (2)已知向量 函数 试卷第5页，共7页 求函数f(x)的“伴随向量” 的坐标； (3)已知 向量 的“伴随函数”分别为f(x)、g(x), 设 且 的“伴随函数”为h(x)，其最大值为m.求证：向量 的充要条件为m=λ+μ. 19. (1)f(x)=4sinx-3cosx, M=5 (3)证明过程见解析. 【分析】(1)根据题意得到写出伴随函数，并用辅助角求出最大值；(2)先运用三角恒等变换得到 从而求出“伴随向量 (3) 设 得到 先证明充分性，再证明必要性 【详解】(1) 因为点M 为边 AB的点, 且 所以 ------- 2分 由题意得: f(x)=4sinx-3cosx, ------- 4分 又f(x)=4sinx-3cosx=5sin(x-φ), 其中 所以M=5 --------- 6分 所以“伴随向量 -- 10分 (3) 设 因为 所以 =λsin(x+α)+μsin(x+β) 充分性： h(x)=λsin(x+α)+μsin(x+β)≤λ+μ,当且仅当存在x₀使得： 试卷第6页，共7页 时，等号成立，其中 所以 即 必要性：当 时, 所以 当且仅当 时，等号成立， 所以 综上：向量 的充要条件为 - 17分 【点睛】本题考查平面向量与三角恒等变换综合，理解新定义，且熟练掌握向量和三角函数知识才能解决此题，特别是第三问，要设出向量，表达出 ，先证明充分性，再证明必要性， 学科网（北京）股份有限公司 $$2026届五校第一次联考 数学试题 命题：深圳实验学校高一备课组 审题：深圳实验学校：潘盛华 (满分150分。考试时间120分钟。) 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考 场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要 求填涂的，答卷无效。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在 试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1复数：= √5-i 的模|z是() (1+i)2 1 A. 2 B.1 C.2 D.4 2.下列说法正确的是() A.若ab,则a=i B.若a11b,b11c,则a/1e C.若m=n,n=k,则m=k D.若ab=ac,则c=b 3.如图，二面角a-1-B等于120°，A,B是棱1上两点，BD,AC 分别在半平面Ca,B内，AC⊥1，BD⊥I,且AB=AC=BD=2, B 则CD的长等于() A.4 B.2√5 C.25 D.万 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=25,若 asinB=bsin A+3 则△ABC的外接圆半径等于() 高一数学试卷第1页（共6页） A.√5 B.2 C.25 D.4 5.祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平 面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那 么这两个几何体的体积相等”.例如，可以用祖啦原理推导半球的体积公式，如图，底面半 径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为 R,高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面“去截这两个几何 体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若用平 行于半球底面的平面a去截半径为R的半球，且球心到平面&的距离为5R,则平面a与 半球底面之间的几何体的体积是() A. 5v2 R3 B.7v5 24 24R3 c.52 rR D.72 12 123 6.已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到 一个三角形，则这个三角形面积的最大值为() A.100 B.50 C.48 D.24 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2b=a+c,设△ABC的面积为 s,若丽BC。-25S,则此三角形的形状为《) 3 A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 8.正四面体的棱长为3，点M,N是它内切球球面上的两点，P为正四面体表面上的动 点，当线段N最长时，PM.PN的最大值为() A.3 B.g C.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的命题是 高一数学试卷第2页（共6页） A.若a=6=c cosc00sBc0sC,则△4BC一定是等边三角形 B.若A=60°，a=3,b=2√2，则△ABC有两解 C.若CosA=bcosB,则△ABC一定是等腰三角形 D.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC一定是锐角三角形 10.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE=2EC,AD与BE交 于点F,若CF=xAB+yAC,则下面对于xy的描述正确的是 B A.2x+3y=-1 B.2x-3y=1 C.x-y=1 D.x+y=-1 11.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点 A折至A,处(A是平面ABCD),若M为线段AC的中点，平面A,DE与平面DEBC所成二 面角a,直线AE与平面DEBC所成角为B,则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是 A.存在某个位置，使得BM⊥AD B.△AEC面积的最大值为2√2 c.sina=√5sinB D.三棱锥A-EDC体积最大时，三棱锥A一EDC的外接球的 表面积16元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 I2.如图，已知由斜二测画法得到的水平放置的四边形ABCD的直观 图是一个边长为1的正方形，则原图形的面积为一 13.为了测量某建筑物的高度AB,可以选与底部B在同一水平面内 的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=30°，∠BDC=120°，CD=100米，并 在点C测得塔顶A的仰角为60，则该建筑物的高度AB=米， 14.已知点A0,D,B5,3,G 221 2》,点P)是 △ABC内（包含边界）一动点，请你结合所学向量的知识， x+y 求出+子的最大值为 高一数学试卷第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知向量a=(2,m),b=(（1-m,-6)(m∈R). ()若a+=a-b,求实数m的值： (2)若向量a和6的夹角(a,b)为钝角，求实数m的取值范围. 16.(15分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD. (1)求证：BD⊥PC; (2)若PC与底面ABCD所成的角为45°： (I)求点B到平面PCD的距离： (Ⅱ)求二面角D-PC-A的余弦值. 17.(15分) 在△ABC中，满足c+√3 asin B-b-acos B=0. (1)求A: (2)若a=29,边BC上的中线AD=√万，求△ABC的周长和面积. 高一数学试卷第4页（共6页） 18.(17分) 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD.点E 在棱PB上，满足 隔-号点F在棱PC上，满 PF 1 PC=2 要求同学们按照以下方案进行 切割： (1)试在棱PC上确定一点G,使得EF/平面ABG,并说明理由： (2)过点A,E,F的平面交PD于点H,沿平面C平将四棱锥模型切割成两部分，在实施 过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置： (I)请求出 P的值： P (Ⅱ)若正四棱锥模型P-ABCD的棱长均为6，求直线PA与 平面Q所成角的正弦值. B 19.(17分) 定义向量OM=(a,b)的“伴随函数”为f(x)=asinx+bcosx;函数f(x)=asinx+bcosx的“伴 随向量”为OM=(a,b). (I)在△OAB中，己知OA=(6,-3),OB=(3,-3),点M为边AB上的点，且 OM=OA+OB,求出向量OM的“伴随函数”f,并直接写出f)的最大值M: a)已知响量a-(2an登26-(5cs21-2sm'引 函数f(x)=a6, 求函数f(x)的“伴随向量”OM的坐标； (3)已知OM HON=1,向量OM、ON的“伴随函数”分别为f(x)、g(x),设 OP=2OM+uON(2>0,4>0),且OP的伴随函数”为h(x),其最大值为m.求证：向量 OM=ON的充要条件为m=入+4， 2026届五校第一次联考 数学答案及评分标准 一、选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 8 B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 1 答案 AD AC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2W5 13.300 14.5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=(2,m),b=(1-m,6)(meR). ()若+列=-列，求实数m的值： (2)若向量a和6的夹角(a,b)为钝角，求实数m的取值范围。 解：(1)由方+a-,则a6=0 即a.6=2(0-m）-6m=0 即4m-1=0,得m=名 6分 a.b<0 (2)若(a,)为钝角，即 a,6*180° -a.b<0且a,6不共线， 即a.6=2-m)-6m<0,得m>,且-12-m-m≠0 得m≠4且m≠-3 综上解得m>且m≠4. 13分 试卷第1页，共7页 16.(15分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD. (I)求证：BD⊥PC: (2)若PC与底面ABCD所成的角为45°： (I)求点B到平面PCD的距离： (Ⅱ)求二面角D-PC-A的余弦值. (1)证明： ,底面ABCD是正方形 .BD⊥AC :PA⊥面ABCD,BDC面ABCD .PA⊥BD .ACOPA=A,ACc面PAC,PAC面PAC .BD⊥面PAC ,PCc面PAC ∴.BD⊥PC 5分 (2) (I) ,PA⊥面ABCD,ACC面ABCD ∴.PC与面ABCD所成角为∠PCA, 6分 PA⊥AC ∴.∠PCA=45,∠PAC=90 .∠APC=45 ∴.AC=PA ,因为正方形ABCD边长为2 :.AC=PA=22 -7分 ∴.PC=4 :PA⊥面ABCD,ADC面ABCD ∴.PA⊥AD :PD=23 ∴.在APDC中PD+DC2=PC2 .SAncD=2 DCPD=2√5 记点B到面PCD的距离为d 由Vna号Sam·PA=}Snd得d-26 1 ∴点B到面PCD距离为2V6 ------10分 法二：，AB//面PCD 试卷第2页，共7页 ∴点B到面PCD距离即为点A到面PCD距离， 面PAD⊥面PCD,,面PAD∩面PCD=PD ∴.A到面PCD距离即为A到PD的距离 六点A到缅PCD距离为2，点B到缅PCD距离为26 (Ⅱ) 过A作AE⊥PC于E,设AC、BD交于O,过O作OF⊥PC于F,连接FD, 由(I)BD⊥PC OFBD=O ∴.PC⊥面OFD :FDC面OFD ∴.PC⊥FD ∴.二面角D-PC-A的平面角为∠DFO PA=AC=22 :.AE=2 ,O为AC中点，AE⊥PC,OF⊥PC &0F=AB=1 在正方形ABCD中，OD=BD=AC=5 2 在RIOFD中，tan∠DFO=E=反 icos∠Dr0= 3 二面角D-PC-A的余弦值为 15分 3 17.(15分) 在△ABC中，满足c+√5 asin B-b-acos B=0. (1)求A: (2)若a=29,边BC上的中线AD=√万，求△ABC的周长和面积. 04=答 (2)周长为10+2√9，面积为6√5： 【分析】(1)由已知及正弦定理边化角，借助和角的正弦理解即得。 (2)口由中点向量公式、余弦定理、三角形面积公式列式计算即得：O边AB,AC的中 点分别为M,N,利用数量积的运算律并结合圆的性质计算即得. 试卷第3页，共7页 【详解】(1)在△4BC中，由c+√5 asin B.-b-acosB=0及正弦定理，得 sin C+3sin Asin B-sin B-sin Acos B=0, sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,cos Asin B+3 sin Asin B-sin B=0, 显然sinB>0,因此1-cosA=√5sinA,(1-cosA)2=3sin2A=31-cos2A), 则0<A<π，得-1<c0sA<l,解得cosA=-2 所以4-号 --7分 (2)由边BC上的中线AD=√万，得AB+AC=2AD,两边平方得 AB+AC+2AB.AC=4AD, 则62+c2+2 bccos2π=28，即日+2-bc=28, 3 在△4BC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,得b+c2+bc=76,解得 [b2+c2=52 bc=24 因此b+c=10,bc=24, 所以aMBc的周长为10+2丽，面积为csn号=66 3 15分 18.(17分) 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型 P-A8cD.点E在棱B上，满足路-子点F在棱PC上，满足咒- PC2,要求同 学们按照以下方案进行切制： (1)试在棱PC上确定一点G,使得EF/平面ABG,并说明理由： (2)过点A,E,F的平面C交PD于点H,沿平面C平将四棱锥模型切割成两部分，在 实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置： （I)请求出兴的值： PD (Ⅱ)若正四棱锥模型P-ABCD的棱长均为6，求直线PA与 平面Q所成角的正弦值. 试卷第4页，共7页