8.5.3 （第2课时）平面与平面平行的性质课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教2019A版必修 第二册 8.5.3 平面与平面平行 第2课时 平面与平面平行的性质 线线平行线面平行 a b 即 复习 1.直线与平面平行的判定定理： 线面平行⇒面面平行 β α a b P 2.平面与平面平行的判定定理： 即 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。  b a  b a // 简记 ：线面平行 线线平行。 3.直线和平面平行的性质定理 若α//β，直线l在α内，直线m在β内，则直线l与直线m的位置关系如何？ 在什么条件下，直线l与直线m平行 ？ l β α m β α l 探究 5 证明: ｛ 两个平面平行的性质定理： 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言： b a 简记:面面平行，则线线平行 图形语言： 面面平行 线线平行 作用：①作平行线的方法； ②判定直线与直线平行的重要依据. 平面与平面平行的性质定理的认识 关键：寻找两平行平面与第三个平面的交线. b a β γ 例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 已知：如图，α∥β，AB∥CD，A∈α， C∈α,B∈β，D∈β. 求证: AB=CD. β A C B D γ β A C B D γ 夹在两个平行平面间的所有平行线段相等. 证明： A C B D γ 1、若两个平面互相平行，则其中一个平面内的直线必平行于 另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行； 小结：面面平行的其它一些性质 4、夹在两个平行平面间的所有平行线段相等. 例2 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,D1是B1C1的中点,设平面A1D1B∩平面ABC=l1,平面ADC1∩平面A1B1C1=l2. 求证: l1∥ l2. 解析：连接D1D, 因为D与D1分别是BC与B1C1的中点,所以DD1 BB1, 又BB1 AA1,所以DD1 AA1,所以四边形A1D1DA为平行四边形,所以AD∥A1D1, 又平面A1B1C1∥平面ABC,且平面A1B1C1∩平面A1D1B=A1D1,平面A1D1B∩平面ABC=l1, 所以A1D1∥l1, 同理可证:AD∥l2, 因为A1D1∥AD,所以l1∥l2. 例3 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过CMD1作正方体的截面,则截面的面积是　　　　. 【解答】由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN 是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,其中MN= , CD1=2 ,MD1=CN= 过M作ME⊥CD1,垂足为E, 则D1E= 所以ME= 所以S截面= 【延伸探究】在题中的正方体中,试画出平面A1BC1与底面ABCD所在平面的交线l,并说明理由. A1 B1 C1 D1 A B C D 【解析】平面ABCD内,过B作直线与AC平行. 即为所求作直线l(如图). 理由:因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1, 平面A1BC1∩平面A1B1C1D1=A1C1, 平面A1BC1∩平面ABCD=l, 所以A1C1∥l,又AC∥A1C1,故l∥AC. 三种平行关系的转化 线 线 平 行 线 面 平 行 面 面 平 行 线面平行判定 线面平行性质 面面平行判定 面面平行定义 面面平行性质 小结： 平行关系的综合应用 [例4]　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 跟踪练习： 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点.能否过D1点作平面α，使平面α∥平面PAC？证明你的结论. 跟踪练习：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点.能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面PAC？证明你的结论. 解　能作出满足条件的平面α，其作法如下： 如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α. 证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则O为BD的中点， 又P为DD1的中点，则PO∥D1B. ∵BD1 平面PAC，OP⊂平面PAC，故D1B∥平面PAC. 又因为M为AA1的中点， 故D1M∥PA，又D1M 平面PAC，PA⊂平面PAC， 从而D1M∥平面PAC. 又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂α，D1B⊂α， 所以平面α∥平面PAC. (1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 线//线 面//面 线//面 各种平行之间的转化关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 面面平行的判定 面面平行的性质 课堂小结 [解]　存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1. 证明如下： 如图，取BB1的中点F，连接DF， 则DF∥B1C1.∵DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1， ∴DF∥平面AB1C1. ∵AB的中点为E，连接EF，ED，则EF∥AB1. ∵EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1. ∵DF∩EF＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1. $