8.5.3 平面与平面平行-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

课时夯基过关练 8.5.3平面与平面平行 入素养目标 1.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能运用其解决一些具体问题； 2.培养学生逻辑推理和直观想象的核心素养 核心素养达标夯实基础 一、选择题 A.BF∥平面ACGD 1.如图，在四棱柱ABCD B.CF∥平面ABED A1BCD中，平面ABB,A:∥ C.BC∥FG 平面CDDC,且AF∥EC, D.平面ABED∥平面CGF 则四边形AECF的形状是 6.如图所示，P是△ABC所在平 () 面外一点，平面a∥平面ABC, A.平行四边形 B矩形 平面a分别交线段PA,PB,PC C.菱形 D.正方形 于点AB,C若3概品则 2.（多选)设a,3为两个平面，则α∥B的必要不 49 AA 充分条件有() A C.g D.3 A.a内有无数条直线与B平行 二、填空题 B.α内有两条相交直线与B平行 7.过平面外一条直线可以作 个与已 C.a,β垂直于同一条直线 D.a,β垂直于同一平面 知平面平行的平面. 3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， 8.如图是某正方体的平面展开图（表面朝下）. 关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面 E,F分别为侧棱PC,PB上的点，且满足PC= DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面 4C,AF/平面BDE,则哈常-( AFN;④平面BDE∥平面NCF A B.2 C.3 D.4 4.(多选)已知a,b是两条不重合的直线，a,B 是两个不重合的平面，则下列说法中，正确 的有() A.若a∩B=b,aCa,则a与B一定相交 其中判断正确的序号是 B.若a∥B,aCa,则a∥g 9.下面能推出平面a∥平面β的是 C.若a∥b,bCa,则直线a平行于平面a内 (填序号). 的无数条直线 ①存在一条直线a,a∥a,a∥B; D.若a∥β，aCa,bCβ，则a与b是异面直线 ②存在一条直线a,aCa,a∥B; 5.如图，在多面体ABC ③存在两条平行直线a,b,aCa,bCB,a∥B, DEFG中，平面ABC∥平面 b∥a; DEFG,EF∥DG,且AB= ④存在两条异面直线a,b,aCa,bCB,a∥B, DE,DG=2EF,则( b∥a. …数学· 67 、第八章立体几何初步 10.已知正三棱柱ABCA1B1C1中，G是A1C 置并证明，若不存在说明理由. 的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平 行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形， 则截面的周长为 三、解答题 11.如图PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形， PA=AB=1,AD=2,点F是PB的中点， 点E是BC边上的任意一点.当E是BC 的中点时，线段AB上是否存在点G,使得 平面EFG∥平面PAC,若存在指出点G位 核心素养培优拓展提升 1.如图，各棱长均为1的正三棱柱 明；若不存在，请说明理由. ABC-A1B1C1中，M,N分别为 线段A1B,BC上的动点，且 MN∥平面ACC1A1,则这样的 MN有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 2.如图，在棱长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E为 A 棱BC的中点，F为底面 5.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平 ABCD内一动点（含边界）. 行四边形，点M,N,Q分别在PA,BD, 若D1F∥平面A1EC1,则动 PD上. 点F的轨迹长度为() A.√5 B.√5 C.2√2 D.√2 3.如图，在棱长为3的正方体 ABCDA1BCD中，M在线 图1 图2 段Bc上，且CM=号C,N (I)若PM:MA=BN:ND=PQ:QD,求 是侧面CDDC上一点，且 证：平面MNQ∥平面PBC; MN∥平面ABD,则线段MN的最大值 (2)如图2所示，若Q满足PQ:QD=2, 为 PM=tPA,当t为何值时，BM∥面AQC. 4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E,F,G分 别为棱AB,BC,BC的中点，连接B1E, A B,CG,BC,AG,EF. (1)证明：B1E∥平面ACG; (2)在线段CC1是否存在一点N,使得平面 NEF∥平面A1BC?若存在，请指出并证 68·数学·12.证明：如图所示， 在Rt△AOB中，OB=√AB2-OA2= √5，故BD=2OB=2√3， 所以SaD=2BD·0A=2X2V3X 1=3. 因为PA⊥平面ABC,所以PA为三棱 连接AC,由正方体的性质可知，AA' 锥P-ABD的高， CC,AA'∥CC,.四边形AA'C'C为 平行四边形，.A'C'=AC,A'C'∥AC. 所以三棱锥的体积V=3 SAABD·h= 又，M,N分别是CD,AD的中点， 号×8x2-2g 3 MN/AC,且MN=2AC.∴MN∥ (2)证明：取PA的中点G,连接GE,GB, A'C'且MN≠A'C'.∴.四边形MNA'C 是梯形. 核心素养培优·拓展提升 1,D2.D3.3y2 4 4.4 因为E为PD的中点，所以GE∥AD 5.证明：因为在梯形ABCD中，AB∥CD, E,F分别为BC,AD的中点， 且GE=2AD, 所以EF∥AB且EF=2(AB+CD), 又因为F为BC的中点，四边形ABCD 又因为CD∥EF,EF∥AB,所以CD∥AB. 为菱形，所以BF∥AD且BF=号AD, 因为G,H分别为AD',BC的中点， 所以BF∥GE且BF=GE. 故四边形BFEG为平行四边形，所以 BG∥EF. 因为BGC平面PAB,EF亡平面PAB, 所以EF∥平面PAB. 所以GH∥AB且GH=2(AB+CD) 证明线面平行的步骤 (AB+CD), 在平面内找到或作出一条 找 与已知直线平行的直线 所以GHLEF,所以四边形EFGH为平 证明已知直线与该直线平行 行四边形. 结论→由判定定理得出结论 8.5.2直线与平面平行 11.证明：AD∥BC,AD中平面BCEF, 核心素养达标·夯实基础 BCG平面BCEF, 1.D2.B3.B4.A5.D6.ABC ∴.AD∥平面BCEF 7.平行8.SE=AE9.6 又.ADC平面ADEF,且平面ADEF∩ 10.(1)解：设AC与BD的交点为O, 平面BCEF=EF, 因为底面ABCD是边长为2的菱形， .AD∥EF. 所以ACLBD,且OB=OD=BD, 规应用线面平行的性质定理可以得到线线 律 平行.解题关键是着力寻找过已知直线的 平面与已知平面的交线，有时为了得到交 因为AC=2,所以0A=0C=2AC=1. 结 线常需要作出辅助平面. 175 核心素养培优·拓展提升 又EF∩FG=F,即平面EFG∥平面 1.C2.W23.6 PAC, 4.(1)证明：菱形ABCD 综上，G为AB中，点时平面EFG∥平 .AB∥CD,又AB中平面PCD,CDC 面PAC. 平面PCD, ∴AB∥平面PCD,又ABC平面PAB, 平面PAB∩平面PCD=L, .AB∥L,.AB∥CD,∴.l∥CD (2)解：当F是棱PC的中点时，BF∥平 常见面面平行的判定方法： 面AEC (1)定义法：两个平面没有公共点. 证明如下，如图取PE的中点M,连接 (2)判定定理法：转化为线面平行 FM,由于M为PE中，点，F为PC中，点， (3)平行平面的传递性：两个平面都和第 ∴.FM∥CE, 伞 三个平面平行，则这两个平面平行. 由M为PE中点，得EM=PE=DE, 律 (4)利用平面与平面平行的判定定理的 总 推论：如果一个平面内的两条相交直线 知E是MD的中点， 分别平行于另一个平面内的两条相交直 连接BM,BD,设BD∩AC=O, 线，则这两个平面平行，即 ,四边形ABCD是平行四边形，则O为 aCa.bCa,aNb=P, a'CB,6'CB,a'Nb'=P',a//B. BD的中点， a∥a',b∥b ∴.BM∥OE, 核心素养培优·拓展提升 又FM∩BM=M,CE∩OE=E, ∴.平面BFM∥平面AEC, 1.D2.D3.√/14 又BFC平面BFM,.BF∥平面AEC. 4.证明：(1)取AC的中，点M,连接EM, GM, 在△ABC中，因为E,M分别为AB,AC 的中点， 所以EM/BC且EM=2BC 又G为B1C的中点，B1C1∥BC,所以 8.5.3平面与平面平行 B,C/BC且B,G=2BC, 核心素养达标·夯实基础 即B1G∥EM且B1G=EM, 1.A2.AD3.C4.BC5.A6.D 故四边形EMGB1为平行四边形，所以 7.1或08.①②③④9.④10.12 B1E∥GM, 11.解：存在G为AB中点，使得平面 又MGC平面ACG,B1EC平面ACG,所 EFG∥平面PAC,理由如下： 以B1E∥平面ACG. 当G为AB中点，连接FG,GE,EF,AC, 又F是PB的中点，E是BC的中点， 所以EF∥PC,FG∥PA, 而EF中平面PAC,PCC平面PAC, 所以EF∥平面PAC, 同理可证FG∥平面PAC, (2)当N为CC1的中，点时，平面NEF∥ 176 平面A1BC1. 证明如下：连接NE,NF. 因为N,F分别是CC1和BC的中点，所 以NF∥BC1. 因为NF中平面A1BC1,BC1C平面 ABC1,所以NF∥平面A1BC. 因为EF∥AC,AC∥AC,所以EF∥ AC1. 因为EFC平面A1BC1,A1C1C平面 A1BC1,所以EF∥平面A1BC. 又因为EFC平面NEF,NFC平面 NEF,NF∩EF=F, 所以平面NEF∥平面A1BC. 5.(1)证明：，PM:MA=PQ:QD, ∴.QM∥AD, AD∥BC,∴.QM∥BC, QM中平面PBC,BCC平面PBC, ∴.MQ∥平面PBC; BN:ND=PQ:QD,.QN∥PB, QNt平面PBC,PBC平面PBC, 又QM∩QN=Q,∴.平面MNQ∥平面 PBC; (2)解：连接AC,交BD于O,连接OQ, 取PQ的中点G,连接BG,则BG∥OQ, ,QOC平面AQC,BG中平面AQC, ∴.BG∥平面AQC, 取PA中，点M,连接GM,则GM∥AQ, ,AQC平面AQC,GM寸平面AQC, ∴.GM∥平面AQC, 又BG∩GM=G,∴.平面BGM∥平面 AQC, 则BM∥平面AQC,此时M为PA的 中点。 PM=IPA,= 1 EH,FH. 因为E是AB的中点，且AD=2, 图1 图2 8.6空间直线、平面的垂直 R C 8.6.1直线与直线垂直 所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥ BC,FH=1. 核心素养达标·夯实基础 所以∠EHF(或其补角)是异面直线 1.D2.C3.B4.D5.A6.ABD AD,BC所成的角. 7,90°8.19.90°10. 因为EF=√2，所以EH2十FH=EF, 6 所以△EFH是等腰直角三角形，EF是 11.(1)解：如图所示，连接AC,AB1. 斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成 的角是90°， 所以AD⊥BC. 核心素养培优·拓展提升 1.A2.D3.A4.C5.D6.90 由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体 7.解：(1)由题意，得V=π·OA2·AA1= 知，四边形AA1C1C为平行四边形， 4π·AA1=12π，解得AA1=3. ∴.AC∥AC1,故B,C与AC所成的角 由OA=2,∠AOP=120°，得∠BAP= 就是A1C1与B1C所成的角 30°，BP=2,AP=2√5， 在△AB1C中，由AB1=AC=B1C,可 知∠B1CA=60°， S8w=合×2X2V5=2V5, 即A1C1与B1C所成的角为60°. .三棱锥A1-APB的体积VA,APB (2)证明：如图所示，连接BD.由(1)知 AC∥A1C1, 35aB·AA:=}×23X3=2V5. (2)当，点M为AP的中，点时，异面直线 D OM与A1B所成的角的余孩值为号 证明如下： ,O,M分别为AB,AP的中点， .OM∥BP, AC与EF所成的角就是A1C1与EF ∠A1BP就是异面直线OM与A1B所 所成的角. 成的角 .EF是△ABD的中位线， AA1=3,AB=4,AA1⊥AB, ∴.EF∥BD. .AB=5. 又，AC⊥BD,∴.AC⊥EF, P在⊙O上，AB是⊙O的直径， .AC1与EF所成的角为90°，即EF⊥ AP⊥BP A1C1. AA1⊥平面PAB, 12.证明：如图所示，取BD的中点H,连接 177 .AA1⊥BP.又AP∩AA1=A, 利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂 ∴.BP⊥平面PAA1, 规 直的步骤： 又A1PC平面PAA1,∴.BP⊥A1P, 律 (1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和 cOs∠A1BP=BP=2 总 这两条直线垂直； A1B5’ 结 (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线； .当点M为AP的中点时，异面直线 (3)根据判定定理得出结论. OM与A,B所成的角的余弦值为导。 12.(1)证明：连接C0, 8.(1)证明：M,N,P,Q分别为CD,BE, 由3AD=DB知，点 AE,AD的中点， D为AO的中点. 又因为AB为圆O A ∴.PQ为△ADE的中位线，MN为梯形 BCDE的中位线， 的直径， ∴.PQ∥DE,MN∥DE, 所以AC⊥CB. .PQ∥MN, 由√3AC=BC知，∠CAB=60°， .P,Q,M,N四点共面」 所以△ACO为等边三角形.故CD⊥ (2)解：由题意得，PN∥AB,BC∥DE, AO. .∠ABC(或其补角)为异面直线DE与 因为点P在圆O所在平面上的正投影 PN所成角. 为点D, .AC⊥DE, 所以PD⊥平面ABC, 又因为CD二平面ABC,所以PD .AC⊥BC. CD, 在Rt△ABC中，tan∠ABC= =3, BC 由PDC平面PAB,AOC平面PAB, .∠ABC=60°， 且PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB. 即异面直线DE与PN所成角的大小为60°. (2)解：由(1)知∠CPD是直线PC与 平面PAB所成的角， 8.6.2直线与平面垂直 又因为△AOC是边长为2的正三角 核心素养达标·夯实基础 形，所以CD=√5. 1.C2.B3.C4.B5.A6.ACD 在Rt△PCD中，PD=DB=3,CD=√3， 7.①@④8.609810.5晋 所以nCPD品9，∠CPD-0, 11.证明：（1)因为SA=SC,D是AC的 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 中点， 1,求线面角的步骤及技巧： 所以SD⊥AC (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线： 在Rt△ABC中，AD=BD,又SA= (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的 SB,SD=SD,所以△ADS≌△BDS 射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即 (SSS),所以SD⊥BD. 规 为所求的角； 又因为AC∩BD=D,所以SD⊥平面 律 (3)把该角归结在某个三角形中，通过解 总 三角形，求出该角. ABC. 多 2.求线面角的技巧： (2)因为AB=BC,D为AC的中点，所 在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜 以BD⊥AC. 线在平面内的射影是作角的关键，几何图 由(1)知SD⊥BD,又因为SD∩AC 形的特征是找射影的依据，射影一般都是 D,所以BD⊥平面SAC. 一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等 178 核心素养培优·拓展提升 1.B2.D3.A4.1或2 5.证明：(1)设BD与AC交于点F,连接 EF, 因为底面ABCD是正方形，所以F为 BD的中点， 又因为E为SD的中点，所以EF∥SB, 因为SB中平面ACE,EFC平面ACE, 所以SB∥平面ACE. (2)因为底面ABCD是正方形，所以 AC⊥BD, 又因为SA⊥平面ABCD,BDC平面 ABCD,所以SA⊥BD, 又AC∩SA=A,AC,SAC平面SAC, 所以BD⊥平面SAC, 因为SCC平面SAC,所以SC⊥BD. 证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理。 规 律总 (3)如果两条平行直线中的一条直线垂直 于一个平面，那么另一条直线也垂直于这 个平面. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，那么它也垂直于另一个平面， 、 6.解：(1)存在点M,且点M为AE的中点 时，有MO∥平面CDE. 证明如下：当点M为AE的中点时，由 于O为正方形ABCD的中心， .OM为△AEC的中位线，∴.OM∥CE. 又，OM寸平面CDE,CEC平面CDE, .OM∥平面CDE. (2)连接EO.,四边形ABCD是正方 形，∴.BD⊥AC, AF⊥平面ABCD,DE∥AF,.DE⊥AC 又，BD∩DE=D, AC⊥平面BDE,