陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二第二学期第一次月考数学试题（A）及补偿练习

汉中市仁德学校高二第二学期第一次月考试题（A） 数 学 试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由（选择题）和（非选择题）组成；卷面总分：150分，考试时间：120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.为虚数单位，则复数 A. B. C. D. 3.设，向量且，则(    ) A. B. C. D. 4.已知等差数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. C. D. 5.若，则(    ) A. B. C. D. 6.设为数列的前项和若，则(    ) A. B. C. D. 7.曲线在点处的切线方程是(    ) A. B. C. D. 8.已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是(    ) A. 的值为 B. 数列的通项公式为 C. 数列为单调递减数列 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.记为等差数列的前项和，为的公差，，，则(    ) A. B. C. D. 10.对于函数，给出以下命题，其中正确的命题有(    ) A. 是增函数，无极值 B. 是减函数，无极值 C. 的递增区间为，，递减区间为 D. 是极大值，是极小值 11.过双曲线：左焦点的直线与圆：相切于点，与的一个交点为，则(    ) A. 与一定有两个交点 B. 点在的一条渐近线上 C. 若，则的离心率为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点且与直线垂直的直线方程是__________________． 13.已知是等比数列的前项和，，，则          ． 14.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，已知角，，的对边分别是，，，且． 求角的大小； 若，求的面积． 16.本小题分 为深入贯彻落实党的二十大关于“深化全民阅读活动”的重要精神和二十届四中全会关于“激发全民族文化创新活力”的战略部署，推进书香社会建设，某社区随机调查了名居民每周的阅读时间单位：小时，将全部样本数据分成，，，，九组，得到频率分布直方图，如图所示． 求的值 根据频率分布直方图，估计该社区居民每周阅读时间的平均值同一组数据用该组区间的中点值作代表 为进一步了解居民阅读偏好，从阅读时长在和的居民中，采用等比例分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行深度访谈，记阅读时长在内的人数为，求的分布列和数学期望． 17.本小题分 如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． 求证：平面 求直线与平面所成角的正弦值 已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 18.本小题分 数列满足，，． 求证：数列是等比数列 求数列的通项公式 若，求数列的前项和． 19.本小题分 已知是函数的一个极值点． 求实数的值 求函数的单调区间 若直线与函数的图象有个交点，求实数的取值范围。 汉中市仁德学校高二第二学期第一次月考试题（A） 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：不等式可化为，解得或， 所以集合， 所以， 又集合， 故． 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 解：． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量平行与垂直的坐标运算及向量的模，属于基础题． 分别根据求得，，根据模长公式求模即可． 【解答】 解：因为， 由可得，解得，所以， 由可得，解得，所以， 所以， 则． 故选C． 4.【答案】  【解析】解：根据题意，等差数列中， 若，， 则， 故，则， 则． 故选：． 由等差数列前项和性质，和等差数列通项公式列出等式求解即可． 本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的前项和，属于基础题． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数的概念，考查学生的计算能力，比较基础． 利用，即可得出结论． 【解答】 解：， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于中档题． 通过，得到的递推式，得为等比数列，然后可求出． 【解答】 解：， 当时，，即，解得， 当时，， 得，， 即， 解得， 数列是以为首项，公比为的等比数列， ， ． 故选B． 7.【答案】  【解析】解：因为，所以， 又因为曲线过点，， 由点斜式可得，化简可得，所以切线方程是， 故选A． 先要求出在给定点的函数值，然后再求出给定点的导数值．将所求代入点斜式方程即可． 考查了导数的几何意义，学生对切线方程的理解，要求写生能够熟练掌握． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查错位相减法求和，根据递推公式求数列的通项公式． 利用与的关系可求数列的通项公式，利用可判断单调性，利用错位相减法求． 【详解】 解：当时，，，故A正确 当时，， ， ， 上式对也成立，且，故B错误 ， 数列为单调递减数列，故C正确 ， ， 两式相减得，， ，故D正确． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：，解得，故选项A正确 ，故选项B正确 ，故选项C错误 ，得， ， 因，故，选项D正确． 故选ABD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了用导函数求函数的单调性和极值属于基础题． 利用导函数的正负即可求出函数的单调区间，从而求得函数的极值及相应的值，即可判定． 【解答】 解：，由得或， 由得，所以的递增区间为及，递减区间为， 所以C正确，是极大值，是极小值， 所以D正确，而，均错误． 故选CD． 11.【答案】  【解析】【分析】对于：分析可知，，进而分析斜率即可；对于：举反例说明即可；对于：结合双曲线定义可得，，结合勾股定理运算求解；对于：根据题意可得，，即可得面积． 【详解】对于选项B：由题意可知：，，， 可得，则直线的斜率， 可知直线即为双曲线的其中一条渐近线，所以点在的一条渐近线上，故 B正确； 对于选项A：若，则直线的斜率，且渐近线的斜率为， 可知直线与双曲线的一条渐近线平行，此时与有且仅有个交点，故A错误； 对于选项C：设双曲线的另一个焦点为， 若，可知点为的中点， 且为的中点，则，，可得， 由勾股定理可得：，即， 可得，所以双曲线的离心率为，故 C正确； 对于选项D：若，则，， 所以，故 D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了两条直线垂直的判定，以及直线的一般式方程，属于基础题． 设与直线垂直的直线方程为，把点代入可得的值，从而得到所求的直线方程． 【解答】 解：设与直线垂直的直线方程为， 把点代入可得， ， 故所求的直线的方程为， 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：设等比数列的公比为，因为为等比数列， 故易得数列，，，，仍为等比数列， 所以． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查分段函数、函数的零点与方程根的关系解题的关键是将函数有三个零点转化为函数的图象与轴有三个交点，利用导数分析函数的性质来解决． 【解答】 解：因为在上为增函数，值域为， 在有一个零点， 只要使得函数在有两个零点即可，即图象与轴有两个交点即可． ， 若图象与轴在上有两个交点， ， 又 时，；时，， 在上单调递增，在上单调递减， 时，取得最大值为， 若图象与轴在上有两个交点，则，解得． 故答案为 ． 15.【答案】解：由，以及正弦定理可得：， 即， 即， 又在中，，所以， 又，所以； 由余弦定理， 得，由得， 所以的面积．   【解析】本题考查三角形面积公式，考查正弦定理及变形，考查利用余弦定理解三角形等，属于中档题． 借助正弦定理与两角和的正弦公式计算即可得； 借助余弦定理与面积公式计算即可得． 16.【答案】解：由已知， 解得； 阅读时间的平均数为小时； 这名社区居民的阅读时间分配在与这两组内的学生分别有人，人， 所以分层随机抽样可知这人中在内的人数为人， 在内的人数为人， 所以随机变量的可能取值有，，， ， ， ， 故随机变量的分布列为 随机变量的数学期望．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：证明：取中点，连接，，如图所示： 因为，为，中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，为，中点，，为，中点，所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． 平面平面，平面平面，，平面，平面． 平面，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以，，， 设平面一个法向量为，所以， 所以，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 所以，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 设，且， 所以，， 所以，，解得，所以．  【解析】本题主要考查的是线面平行的判定，面面平行的判定与性质，直线与平面所成角的向量求法，直线与直线所成角的向量求法，属于中档题． 利用中位线得出线线平行，可得出面面平行，由面面平行的性质证明即可 建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦即可 设，利用向量法求直线与直线所成角即可得解． 18.【答案】解：， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列． 由得， 当时， ， 当时，，满足上式， ． 。 所以。 所以。   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：因为， 所以， 因此， 则，，， 可得在两边异号，即是函数的一个极值点， 故． 由知，，， 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是，，的单调减区间是； 由知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，， 所以的极大值为，极小值为． 因为，， 所以要使直线与函数的图象有个交点， 则在的三个单调区间，，内，直线与的图象各有一个交点， 当且仅当， 因此，的取值范围为．  【解析】本题考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数图象交点个数问题，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围． 先求导，再由求解 由确定，，再由和求得单调区间 由可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有，即可得结果 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期第一次月考数学（A）补偿练习 1.若向量与垂直，则(    ) A. B. C. D. 2.（多选题）已知数列满足，设数列的前n项和为，其中，则下列四个结论中，正确的是     A. 的值为2； B. 数列的通项公式为； C. 数列为递减数列； D. 3.（多选题）已知数列的通项公式为，的前n项和为，则下列说法正确的是     A. B. 数列是公差为4的等差数列 C. D. 数列的最大项为2 4.（多选题）对于函数，下列说法正确的是(    ) A. 是增函数，无极值 B. 是减函数，无极值 C. 的单调递增区间为，，单调递减区间为 D. 是极小值，是极大值 5.多选题已知等比数列公比为q，前n项和为，且满足，则下列说法正确的是    A. 为单调递增数列 B. C. ，，成等比数列 D. 6.已知函数若函数的零点有2个或3个，则实数a的取值范围为_____. 7.在中，分别是角A、B、C的对边，且 求角B的大小； 若，求的面积. 8.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：并整理得到频率分布直方图： 求a的值； 若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩每组成绩用中间值代替； 现将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取10人，用X表示其成绩在中的人数，求X数学期望及方差. 9.已知数列满足：， 求证：数列为等差数列； 设，求数列的前n项和； 设，求数列的前n项和 10.已知函数 当时，求在处的切线方程； 讨论的单调性； 若有两个零点，求a的取值范围． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：向量与垂直， 则，解得， 故， 所以 故选： 结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解． 本题主要考查向量模公式，属于基础题． 2.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查数列的递推公式、数列的函数特征、数列的求和，属于中档题. 由递推关系可得，以及的通项公式，然后判断其单调性，以及利用裂项相消求和. 【解答】 解：当时，，，故A正确; 当时，由，得， 两式相减，得， ，上式对也成立，，故B不正确； ， 数列为递减数列，故C正确; ， ，故D正确. 3.【答案】BC  【解析】解：数列的通项公式为，的前n项和为， 对于A，，，即，A错误； 对于B，，则， 故数列是公差为4的等差数列，B正确； 对于C，， 则，C正确； 对于D，，而， 当n增大时，的值随着增大，故随着n增大而减小， 故当时，数列取最大项为，D错误． 故选： 利用数列的通项公式可判断A；根据等差数列定义可判断B；利用等差数列的前n项和公式可判断C；求出的通项公式，判断其单调性，可判断 本题主要考查了等差数列通项公式及求和公式的应用，还考查了数列单调性的应用，属于中档题． 4.【答案】CD  【解析】解：定义域为R，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为， 的极小值为，极大值为， 故AB错误，CD正确． 故选： 对求导，利用导数求出函数的单调区间，从而可得函数的极值，再逐项判断即可得解． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于基础题． 5.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查等比数列的通项公式与前n项和以及数列的函数特征，属中档题． 由题意解得，若，则为单调递减数列，排除由等比数列前n项和公式判断由等比数列的性质以及前n项和公式判断由等比数列前n项和公式以及通项公式判断 【解答】 解：因为，所以，得 对A，若，则为单调递减数列，故 A错误. 对B，，故B正确. 对C，， ，故， 故，，不成等比数列，C错误. 对D，，因为， 所以， 故，D正确. 故选： 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数中的零点问题，属于较难题. 先分类求导数确定函数的单调性，极值，函数的变化趋势，作出大致图形，再作出直线，观察直线与函数图象有2个或3个交点时a的范围即得． 【解答】 解：时，，， 当时，，递增， 当时，，递减，且此时， 时，，， 当时，，递增， 当时，，递减，且此时， 所以，，， 在且，，的示意图如图所示，所以当它与有2个或3个交点时， 故答案为 7.【答案】解：因为，所以 ， 即 ， ，，， ； 由余弦定理：， ，  【解析】本题主要考查解三角形的应用，熟悉正弦定理公式是解答本题的关键，属于中档题. 根据正弦定理可把 转化为 ，  化简后得 ，从而求出B角.  根据余弦定理 ，可求出ac的值，再利用 求面积即可.  8.【答案】解：由题意得 解得； 由数据计算得， 即分； 由题意在80分及以上的学生中抽取一人成绩在中的概率为， 抽取10人时，， 由二项分布知，   【解析】考查频率分布直方图的应用，中位数，以及二项分布的数学期望与方差，是中档题. 由频率分布直方图先求得a的值， 由平均值等于各组频率乘以该组组中值之和计算即可； 先列出，再二项分布的数学期望、方差公式计算即可. 9.【答案】解：由题设，又， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 由可得，故， 所以， 则 由得，则， 所以， 两式作差得，即， 所以   【解析】本题考查等差数列判定，通项，裂项相消法和错位相减法求和，属于中档题. 由题设可得，结合等差数列定义即可证结论； 由题设，应用裂项相消法求和； 由题设，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求和. 10.【答案】解：当时，， ，， 又，故在处的切线方程为：； ， 当时，，故在R上单调递增， 当时，令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在R上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在R上单调递增，不符合题意，故， 由知，当时，， 有两个零点，， 又，， 令，则， 在上单调递减，且， 当时，，即， 又， 在上有一个零点， ， ， 当时，， 在上有一个零点， 综上所述，有两个零点时，a的取值范围是   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $